平面向量的基本概念及线性运算-教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上平面向量的基本概念及线性运算概述适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点向量的有关概念向量的线性运算平面向量共线定理教学目标1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义教学重点理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义；掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义教学难点掌握向量加法、减法

2、的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义【教学建议】一.易忽视零向量这一特殊向量二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.(1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关.三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.四. 进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.五.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非

3、零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.六证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【知识导图】教学过程一、导入考情展望1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值二、知识讲解知识点1向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定

4、：0与任一向量平行5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量知识点2向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.(a)a；() aaa；(ab)ab拓展延伸 向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“

5、多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”知识点3平面向量共线定理 向量b与a (a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.巧用系数判共线(，R)，若A，B，C三点共线，则1；反之，也成立三、例题精析例题1【题干】给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是()A. B. C. D.【答案】A【解析】根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误.例题2【题干】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD

6、的中点，则EB=A 34AB-14AC B 14AB-34AC C 34AB+14AC D 14AB+34AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得BE=12BA+12BC=12BA+12(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故选A.例题3【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若(，R)，则等于()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】E为线段AO的中点，×，.例题4【题干】设平面向量a,b不共线，若ABa5b，BC2a8b，CD3(a-b)，则A A,B,D三点共线 B A

7、、B、C三点共线C B、C、D三点共线 D A、C、D三点共线【答案】A【解析】因为AB= a +5b，BC= -2a +8b，CD= 3a-b，AD=AB+BC+CD=a+5b+-2a+8b+3a-b=22a+5b=2AB，AD与AB共线，即A,B,D三点共线，故选A.例题5【题干】如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线(1)设PG=PQ，将OG用，OP，OQ表示；(2)设OP=xOA，OQ=yOB，证明：1x+1y是定值【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】 (1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB

8、的重心，× ().而，不共线，由，得解得3(定值)四 、课堂运用基础1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】()()224.2. 设向量e1,e2不共线，向量e1+2e2与e1+4e2平行，则实数=_【答案】12【解析】e1+2e2与e1+4e2平行，e1,e2向量不共线，存在实数k使得e1+2e2=k（e1+4e2）=ke1+4ke2，=k2=4k=12.故答案为：123.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】E是AD的中点，又

9、知D是BC的中点，()，因此().巩固1.如图所示，已知3，a，b，c，则下列等式中成立的是()A.cbaB.c2baC.c2abD.cab【答案】A【解析】因为3，a，b，所以()ba.2.已知AB=a+2b,BC=-5a+8b,CD=8a-2b， 则一定共线的三点是( )A A、B、C B A、B、D C A、C、D D B、C、D【答案】B【解析】对于A，由于向量AB,BC不共线，所以A、B、C三点不共线，故A不正确对于B，由题意得BD=BC+CD=3a+6b，又AB=a+2b，所以AB,BD共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确对于C，由题意得AC=-4a+10b，又CD=8a-2

10、b，所以AC,CD不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确对于D，由题意得BC,CD不共线，所以B、C、D三点不共线故选B3.设a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b2a)共线，则_.【答案】【解析】依题意知向量ab与2ab共线，设abk(2ab)，则有(12k)a(k)b0，所以解得k，.4.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab【答案】D【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.拔高1.在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x

11、)，则x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】设y，因为yy()y(1y).因为3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y，因为x(1x)，所以xy，所以x.2. 如图，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P(0,1)的直线l与圆O交于点A,B，与x轴交于点Q，设QA=PA,QB=uPB，求证：+u为定值.【答案】证明见解析.【解析】当AB与x轴垂直时，此时点Q与点O重合，从而=2，u=23，+u=83.当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Q-1k,0.由题设，得x1+1k=x1,x2+1k=ux

12、2，即=1+1x1k,u=1+1x2k.所以+u=1+1x1k+1+1kx2=2+x1+x2kx1x2将y=kx+1代入x2+y2=4，得(1+k2)x2+2kx-3=0，则>0，x1+x2=-2k1+k2，x1x2=-31+k2，所以+u=2+-2k1+k2k-31+k2=83，综上，+u为定值83.3.在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则实数_.【答案】【解析】如图，由得，.课堂小结1向量的有关概念(1)向量的定义：既有_又有_的量叫做向量（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，用字母a，b，或用，表示(3)模：

13、向量的_叫向量的模，记作_或_(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_(5)单位向量：长度为_单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(7)相等向量：长度_且方向_的向量2向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的 ，记作 ，即 =+= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做

14、向量加法的 . (3)加法运算律ab_ (交换律)；(ab)c_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_、_的向量，叫做a的相反向量，记作_(2)向量的减法定义aba_，即减去一个向量相当于加上这个向量的_如图，a，b，则 ，_.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：|a|_；当>0时，a与a的方向_；当<0时，a与a的方向_；当0时，a_.(2)运算律设，是两个实数，则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a (a0)共线的充要条件是存在唯一一

15、个实数，使ba.5重要结论()G为ABC的_；0P为ABC的_【答案】1.（1）大小 方向 （2）有向线段 （3）长度 |a|(4)任意的(5)1个±(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法则(2)平行四边形法则(3)baa(bc)3.(1)长度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反0(2)()aaaab5.(1)重心(2)重心扩展延伸基础1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0成立的是()A.a2b B.abC.ab D.ab【答案】C【解析】由0得0，即a·|a|0，则a与b共线且方向相反，因此当

16、向量a与向量b共线且方向相反时，能使0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直.2.给出下列四个命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()A. B. C. D.【答案】A【解析】不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同

17、，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.3.在锐角ABC中，3，xy(x，yR)，则_.【答案】3【解析】由题设可得(A)，则x，y.故3.4.设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.【答案】(1)见解析，(2) k±1【解析】(1)ab，2a8b，3(ab).2a8b3

18、(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k±1.巩固1.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为()A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2.2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e

19、1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值【答案】(1)见解析，(2) k12【解析】(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又与有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线，存在实数，使，即3e1ke2e14e2，得解得k12.3.给出下列命题：ab的充要条件是|a|b|且a/b；若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；任一向量与它的相反向

20、量不相等其中真命题的序号是_【答案】【解析】当a与b是相反向量时，满足|a|b|且a/b，但ab，故假；向量不能比较大小，故假；0与任意向量平行，故假；当a与b中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故假；由相等向量定义知，真；0的相反向量仍是0，故假拔高1.设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为_.【答案】【解析】由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k.2.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在