双曲线及其标准方程(公开课)

1、关于双曲线及其标准方程(公开课)现在学习的是第一页，共18页问题1：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。问题2：椭圆的标准方程是怎样的?) 0( 1) 0( 122222222babxaybabyax或 ， ， 关系如何？abc222cba问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？现在学习的是第二页，共18页平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。通常情况下，

2、我们把|F1F2|记为2c（c0)； 常数记为2a(a0).问题4:定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即02a2c,则轨迹是什么？若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2F1F2分3种情况来看：现在学习的是第四页，共18页二、双曲线标准方程的推导 建系1F2F使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。x21,FF21,FFyxyO 设点设 是双曲线上任一点，),(yxMM 焦距为 ，那么 焦点 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 。)0(2cc)0,(),0,(21cFcFa2 列

3、式aMFMF221即aycxycx2)()(2222现在学习的是第五页，共18页aycxycx22222将上述方程化为： aycxycx22222移项两边平方后整理得： 222ycxaacx两边再平方后整理得： 22222222acayaxac由双曲线定义知： ac22 即：ac 022ac设 0222bbac代入上式整理得： 122222acyax两边同时除以 得：222aca)0,0(12222babyax化简这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.现在学习的是第六页，共18页类比椭圆的标准方程，请思考

4、焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).现在学习的是第七页，共18页)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三.双曲线两种标准方程的比较 方程用“”号连接。 分母是 但 大小不定。0, 0,22bababa, 。 222bac如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy现在学习的是第八页，共18页定 义 方 程 焦 点a.

5、b.c的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab现在学习的是第九页，共18页判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。cba, )0, 0( 1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案： )0 ,6).(0 ,6(6,2, 21cba )0 , 2).(0

6、, 2(2,2,22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba )0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。现在学习的是第十页，共18页变式训练解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为.191622yx题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量。两条射线轨迹不存在例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。1.若|PF1|-|PF2|=8呢？2.若|PF1|-|PF2|=10

7、呢？3.若|PF1|-|PF2|=12呢？)0.(191622xyx所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5那么b2=c2-a2=25-16=9根据已知条件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8，现在学习的是第十一页，共18页求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴 上， ； 焦点在在轴 上，经过点 .xx3,4ba)2,315(),3,2(答案: 191622yx)0, 0(12222babyax设双曲线的标准方程为代入点 得)2,315(),3,2(12351322222baba令221,1bnam则1235132nmnm解得311nm故所求双曲线的标准方程为.1322

8、yx现在学习的是第十二页，共18页 使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则340 2680PAPB即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx2222280

9、0,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2现在学习的是第十三页，共18页双曲线的定义双曲线的标准方程应用51页练习A组1、2；56页习题2.3 A组1、2题。现在学习的是第十四页，共18页当 2a=| | MF1|MF2| |=0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。几点说明： OF1F2M通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a.| | MF1|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的F2F1PQ当2a=|F1F2|时（2）定义中为什么 02a|F1F2|？射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。现在学习的是第十五页，共18页（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。