2014级线代课件：陈建利 化二次型为标准形(冲突时的文件备份2014-09-26 11-32-19)

1、5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形 一、一、用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 二、二、拉格朗日配方法拉格朗日配方法 一、用正交变换化二次型为标准形一、用正交变换化二次型为标准形 对于二次型对于二次型, 我们讨论的主要问题是我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形将二次型化为标准形.由上可知由上可知: 即寻找可逆矩阵即寻找可逆矩阵 C 使使 CTAC 为对角阵为对角阵.此问题称为把对称阵此问题称为把对称阵 A 合同对角化合同对角化. 设设对称阵对称阵 A 的的n个特征值为个特征值为: 1, 2, , n, 对角阵对角阵 = dia

2、g ( 1, 2, , n), 则总存在则总存在正交阵正交阵 P 使得使得 P 1AP= , 即即 PTAP= . 定理定理 5.2 任给二次型任给二次型 f = xTAx, 总有总有正交变换正交变换 x = Py, 使使 f 化为标准形化为标准形:其中其中 1, 2, , n是是 f 的矩阵的矩阵 A 的的n个特征值个特征值. ,2222211nnyyyf 推论推论 任给二次型任给二次型 f = xTAx, 总有总有可逆可逆变换变换 x=Cz, 使使 f 化为规范性化为规范性:其中其中 r 是是 f 的秩的秩. ,221221rppzzzzf 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化

3、二次型为标准形的具体步骤:1. 写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵 A . 2. 求出矩阵求出矩阵 A 的所有特征值的所有特征值: 1, 2, , n. 3. 对每个对每个 = i 求出对应方程求出对应方程(A E)x=0的基础的基础解系解系, 并正交、单位化得并正交、单位化得: P1, P2, ,Pn. 4. 得正交矩阵得正交矩阵: P = (P1, P2, ,Pn). 5. 正交变换正交变换 x = Py 将将 f 化为标准形化为标准形:.2222211nnyyyf 3231212322213214844),(xxxxxxxxxxxxf 例例1 1 求一个求一个正交变换正交变换 x =

4、 Py, 将二次型将二次型 f 化为标准形化为标准形. 解解f 的矩阵为的矩阵为:,124242421 A 124242421|EA,)5)(4(2 A的特征值为的特征值为:. 5, 4321 对对 1= 4, 5242824254EA由由,0002110101 r,212:1 得得.21231:1 P单位化得单位化得对对 2 = 3= 5, 4242124245EA由由,0000001211 r,120,021:32 得得正交化得：正交化得：,02122 524513 单位化得：单位化得：,021512 P,5241553 P得正交矩阵得正交矩阵: P = (P1, P2, P3),3503

5、21552523115545132 故正交变换故正交变换 将将 f 化为标准形化为标准形: 321321yyyPxxx.554232221yyyf ,515121332211 zyzyzy若再令若再令说明说明: 321321510005100021zzzyyy,321 zzzC 则则可逆变换可逆变换 (其中其中 K=PC ),321321 zzzKxxx将将 f 化为规范形化为规范形: .232221zzzf 323121232221222xxxxxbxxaxxf 例例2 2 二次型二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形: 321321yyyPxxx,42321yyf 求求 a, b

6、 及正交矩阵及正交矩阵P.解解f 的矩阵为的矩阵为:,111111 abbA由由 f 的标准形可知的标准形可知A的特征值为的特征值为:. 4, 0, 1321 ,0)1(|522 bAa故有故有.13 ba对对 1=1, 011121110EA由由,000110101 r,111:1 得得.11131:1 P单位化得单位化得对对 2 = 0, 111131111A由由,000010101 r,101:2 得得.10121:2 P单位化得单位化得对对 3 = 4, 3111111134EA由由,000210101 r,121:3 得得.12161:3 P单位化得单位化得故所求正交阵为故所求正交阵

7、为 P = (P1, P2, P3).61213162031612131 二、拉格朗日配方法二、拉格朗日配方法1. 若二次型含有若二次型含有 xi 的平方项的平方项, 则先把含有则先把含有 xi 的乘积项的乘积项先集中先集中, 然后配方然后配方, 再对其余的变量同样进行再对其余的变量同样进行,直到都配直到都配成平方项为止成平方项为止.323121232221321222),(xxxxxxxxxxxxf 例例3 3 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形, 并求所用变换矩阵并求所用变换矩阵. 解解323121232221321222),(xxxxxxxxxxxxf 3223223121

8、212)22(xxxxxxxxx 3222232142)(xxxxxx 2323223212)( 2)(xxxxxx ,333223211 xyxxyxxxy令令,100110011321321 yyyxxx即即可将可将 f 化为标准形化为标准形:.22232221yyyf 所用变换矩阵为所用变换矩阵为).01|(|,100110011 CC kkjijjiiyxyyxyyx), 2 , 1(jiknk 且且2. 若二次型中不含有平方项若二次型中不含有平方项, 但有但有 aij 0 (i j ), 则先作可逆变换则先作可逆变换化二次型为含有平方项的二次型再按化二次型为含有平方项的二次型再按 1 中方法配方中方法配方.323121622xxxxxxf 例例4 4 化二次型化二次型 为标准形为标准形, 并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵. , 33212211 yxyyxyyx令令解解.8422 : 32312221yyyyyyf 代入二次型得代入二次型得323121622xxxxxxf 例例4 4 化二次型化二次型 为标准形为标准形, 并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵. .6)2(2)(2:,23232231yyyyyf 得得配方配方,2 33322311 yzyyzyyz再再令令,2 33322311 zyzzyzzy即即可将可将 f