函数的奇偶性知识点与题型

1、百度文库-让每个人平等地提升自我函数的奇偶性一、基本概念：1、1 .偶函数：一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个 X,都有f x f x，那么函数f x就叫做偶函数。偶的图像关于 y轴对称，并在y轴两侧的单调性相反，反之成立；若f x、g x都是偶函数，那么在f x与g x的公共定义域上，f x + g x为偶函数，f x g x为偶函数.当g x W0时，f(x) 为偶函数。g(x)一2.奇函数：一般地，如果对于函数f x的定义域内任一个 x,都有f x f x，那么函数f x 就叫做奇函数一个函数如果是偶函数或者是奇函数，我们称这个函数具有奇偶性奇函数的图像关于坐标原点对称,并在原

2、点两侧的单调性相同，反之成立若f x , g x都是奇函数，那么在 f x与g x的公共定义域上，f x + g x是奇函数，f (x)f x g x是奇函数，f x g x是偶函数，当g x W0时，一 是偶函数。g(x)若f (x)和g(x) 一个为奇函数，另一个为偶函数，则 f(x)g(x)既不是奇函数又不是偶函数，f (x) g(x)为奇函数3、常见函数的奇偶性一次函数y kx b当bw0时是非奇非偶，当 b=0时是奇函数。二次函数y ax2 bx c 当bw0时是非奇非偶，当 b=0时是偶函数。k /反比例函数y (kw0)是奇函数。x.常函数fx cc为常数是僵函数f x 0既是偶

3、函数又是奇函数二、判断奇偶函数的常用方法1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数5若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f x f x之一是否成立./ f ( x)2 .验证法：判断f x与f x的关系，只需验证f x f x. 0及二一)= 1是否成立即可 f(x)3 .图像法：奇(偶)函数等价于它的图像关于原点(y轴)对称。性来判断，题型一判断函数的奇偶性/例1(1) 一般函数的奇偶性 G x f x f x ,x R f x(2)分段函数的奇偶性x2 2x 3 (x 0)判断函数f(x) 0(x 0)是否加x2 2x 3 (x 0)(3)

4、抽象函数的奇偶性设函数f x对于任意x, y R都有f x y f x题型2、利用奇偶性求函数值'例 1:已知 f (x) x5 ax3 bx 8且 f( 2) 1x 1 J1, x 1,1 1 x子函数，并证明。:f y求证：f x是奇函数0 ,那么f (2)4.性质法：利用上述性质来判断，即利用奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性、，以及复合函数的奇偶题型3、利用奇偶性比较大小例2:已知偶函数f(x)在 ，0上为减函数，比较f( 5), f(1), f(3)的大小。题型4、利用奇偶性求解析式例3:已知f(x)为偶函数当0 x 1时，f(x) 1 x,当1 x O寸，求f(x)的解 析式

5、题型5、利用奇偶性讨论函数的单调性例5:若f(x) (k 2)x2 (k 3)x 3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间。题型6、利用奇偶性求参数的值例6 :定义在 R上的偶函数f(x)在(，0)是单调递减，若f (2a2 a 1) f (3a2 2a 1),则a的取值范围是如何？练习21 .已知函数f x 1 x , xR则（）f x 0 Df x不是偶函数A. f x f x B. f x 为偶函数 C. f x2 .若f x是偶函数，则kf x （ k为常数）（）A.是偶函数B.不是偶函数C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数 一,1,x 0.3 .函数f x =则f x为（）1,x 0

6、D.既不是奇函数又不是偶函数（ ）D.既是奇函数又是偶函数A.偶函数 B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数4 .已知f x为奇函数，则f x x为A奇函数 B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数例5已知f x是奇函数，且当x 0时f xx x 2,求x 0时，f x的表达式。例6函数f x x 0是奇函数，且当x 0,时是增函数，若f 10,求不等1 -式f x 0的解集。2例 7 已知 f （x） x7 bx5 cx3 dx 6,且 f （ 3） 12,则 f 例8.已知函数1f x ,当x, y R时，恒f x y f x f y .且x 0寸，f x 0,又1f 1 一（1）求证：f x是奇函数；（2）求证：f （x）在R上是减函数；（3）求f x在区 2间 2,6上的最值./