高中知识点汇总Word 文档

1、第一章集合一、元素与集合1集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性2集合中元素与集合的关系： 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.3常见集合的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN*或NZQR4集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图二、集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB子集A中任意一元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或B A空集空集是任何集合的子集B空集是任何非空集合的真子集B(B)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集

2、符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA第二章函数第一节 函数及其表示1函数的概念(1)函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系

3、(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数求函数的解析式函数解析式的求法 (1)配凑法 (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)

4、(3)换元法 (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 例 (1)已知f(1)x2，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x) （ 3）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，求f(x)第二节 函数的定义域和值域1常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)yax，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ytan x的定义域为. (6)

5、函数f(x)x0的定义域为x|x0(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约(8)对抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R. (3)y(k0)的值域是y|y0 (2)yax2bxc(a0)的值域是：当a>0时，值域为 ；当a<0时，值域为 .(4)yax(a>0且a1)的值域是y|y>0 (5)ylogax(a>0且a1

6、)的值域是R. (6)ysin x，ycos x的值域是1,1 (7)ytan x的值域是R.求函数值域常用的方法 (1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(2)换元法 (3)基本不等式法 (4)单调性法(例(4) (5)分离常数法第三节 函数的单调性与最值一、函数的单调性 1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象

7、描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义 若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间二、函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值例1证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数自主解答设x1，x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且x1<x2.则f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)因此f(x1)f(

8、x2) 0，即f(x1) f(x2)，故f(x)在(，0)上是 函数由题悟法 定义法证单调性基本步骤为取值、作差、变形、判断第四节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0

9、)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反二、周期性1周期函数 对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二次函数1二次函数的定义 形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数2二次函数解析式的三种形式 1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点

10、式：f(x)a(xm)2n(a0)； (3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质a>0a<0图象图象特点对称轴：x；顶点：性质定义域xR值域yy奇偶性b0时为偶函数，b0时既非奇函数也非偶函数单调性x，时递减，x，时递增x时递增，x时递减第七节指数与指数函数一、根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数±(a>0)负数没有偶次方根2两个重要公式(1)(2)()n

11、a(注意a必须使有意义)二、有理数指数幂1幂的有关概念 2有理数指数幂的性质 (1)正分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)； (1)arasars(a>0，r，sQ)；(2)负分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)； (2)(ar)sars(a>0，r，sQ)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (3)(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)三、指数函数的图象和性质函数yax(a>0，且a1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域R值域(0，)单调性减函

12、数增函数函数值变化规律当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x0时，y1第八节对数与对数函数1对数的概念(1)对数的定义：如果axN(a>0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数当a10时叫常用对数记作xlg_N，当ae时叫自然对数，记作xln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：loga10. logaa1. 对数恒等式：alogaNN. 换底公式：logab.推广logab， logab·

13、logbc·logcdlogad.(3)对数的运算法则：如果a>0，且a1，M >0，N>0，那么：loga(M·N)logaMlogaN； logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)； log amMnlogaM.2对数函数的概念(1)把ylogax(a>0，a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)函数ylogax(a>0，a1)是指数函数yax的反函数，函数yax与ylogax(a>0，a1)的图象关于yx对称3对数函数的图象与性质ylogaxa>10<a<1图象性质定义域

14、：(0，)值域：R过点(1,0)，即x1时，y0当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)第九节函数与方程1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根

15、、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a>0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)·

16、f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法第十节函数模型及其应用1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a>0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a>0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数yax(a>1)ylogax

17、(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而不同立 体 几 何第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球

18、半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体四、平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45°(或135°)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别

19、是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的线第二节空间几何体的表面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rlVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3第三节空间点、直线、平面间的位置关系一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

20、公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理： 平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理 ： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角) (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：. 三、直线与平面的位置关系 四、平面与平面的位置关系直线、平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言直线与平面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 a直线与平面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线

21、的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ab平面与平面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面与平面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ab一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直直线、平面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言直线与平面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l直线与平面垂直判定的推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面b直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab平

22、面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 l平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角 (1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为0，)_2直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_， 倾斜角是90°的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的

23、斜率公式为k.二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为kyy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为bykxb不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b0)1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为0)三、两条直线的位置关系斜截式一般式方程yk1xb1yk2xb2A1xB1yC10(AB0)A2xB2yC20(AB0)相交k1k2A1B2A2B10垂直k1或k1k21A1A2B1B20 平行k1k2

24、且b1b2或重合k1k2且b1b2A1A2，B1B2，C1C2(0)四、两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立五、几种距离1两点间的距离 两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)|AB|.2点到直线的距离 点P(x1，y1)到直线l：AxByC0的距离d.3两条平行线间的距离 两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d.六 圆_的_方_程 1圆的定义及方程定义平面内与

25、定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圆心：，半径：2点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2<r2.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr二、圆与圆的位置关系(

26、O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量化dr1r2dr1r2|r1r2|d r1r2d|r1r2|d|r1r2| 三角函数第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的分类： 按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角： 终边与角相同的角可写成k·360°(kZ)(3)弧度制： 1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取

27、的r的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算：360°2弧度；180°弧度弧长公式：l|r， 扇形面积公式：S扇形lr|r2.2任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21(R) (2)商数关系：tan .2六组诱导公式角函

28、数2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_对于角“±”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”第三节三角函数图象与性质1周期函数(1)周期函数的定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数T叫做这个函数的周期(2)最小

29、正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRk，kZ值域1,11,1R单调性2k (kZ)上递增；2k (kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减k) (kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ) (kZ)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22第四节函数ysin(x)的

30、图象及三角函数模型的简单应用一、yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx二、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0三、函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) cos()cos_cos_sin_sin_； (2) cos()cos_cos_sin_sin_；(3) sin()sin_cos_cos_sin_

31、； (4) sin()sin_cos_cos_sin_；(5) tan(). (6) tan()；2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 22sin_cos_；(2) cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3) tan 2.3常用的公式变形(1)tan ±tan tan(±)(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.第六节简单的三角恒等变换半角公式(不要求记忆)1sin2； cos2； tan2.2sin± ； cos&#

32、177; ； tan± .3用sin ，cos 表示tan. tan.第七节正弦定理和余弦定理1正弦定理分类内容定理2R(R是ABC外接圆的半径)变形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin Asin Bsin Cabc，sin A，sin B，sin C解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2余弦定理分类内容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形公式cos A；cos B；cos C解决的问题已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三

33、边和其他两个角3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四

34、边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.2运算律：设，是两个实数，则：(a)()a； ()a a a； (ab)ab.四、共线向量定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.第二节平面向量的基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2

35、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的正交分解 ：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使ax iyj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标(2)设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐

36、标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)二、平面向量坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)2向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.三、平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.若abx1y2x2y10.第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例一、两个向量的夹角1定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角

37、的范围是0°180°，a与b同向时，夹角0°；a与b反向时，夹角180°.3向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|·cos 叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a与b的夹角 规定0·a0. 当ab时，90°，这时a·b0.2a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，

38、则a·ee·a. 2aba·b0.3a·a|a|2，|a|. 4cos .(为a与b的夹角) 5|a·b|a|b|.四、数量积的运算律 1交换律：a·bb·a.2分配律：(ab)·ca·cb·c. 3对R，(a·b)(a)·ba·(b)五、数量积的坐标运算 设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1a·ba1b1a2b2. 2aba1b1a2b20. 3|a|.4cos .(为a与b的夹角)第一章集合一、元素与集合1集合中元素的三个特性：确定性、互异性、

39、无序性2集合中元素与集合的关系： 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.3常见集合的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN*或NZQR4集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图二、集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB子集A中任意一元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或B A空集空集是任何集合的子集B空集是任何非空集合的真子集B(B)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|

40、xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA第二章函数第一节 函数及其表示1函数的概念(1)函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个

41、函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数求函数的解析式函数解析式的求法 (1)配凑法 (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) (3)换元法 (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(x)的表

42、达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 例 (1)已知f(1)x2，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x) （ 3）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，求f(x)第二节 函数的定义域和值域1常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)yax，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ytan x的定义域为. (6)函数f(x)x0的定义域为x|x0(7)实际问题中的函数定义域，

43、除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约(8)对抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R. (3)y(k0)的值域是y|y0 (2)yax2bxc(a0)的值域是：当a>0时，值域为 ；当a<0时，值域为 .(4)yax(a>0且a1)的值域是y|y>0 (5)ylogax(a>0且a1)的值域是R. (6)ysin x，ycos x的值域是1,1

44、(7)ytan x的值域是R.求函数值域常用的方法 (1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(2)换元法 (3)基本不等式法 (4)单调性法(例(4) (5)分离常数法第三节 函数的单调性与最值一、函数的单调性 1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义

45、 若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间二、函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值例1证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数自主解答设x1，x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且x1<x2.则f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)因此f(x1)f(x2) 0，即f(x1) f(x2)，故f(x)在(，0)上是

46、函数由题悟法 定义法证单调性基本步骤为取值、作差、变形、判断第四节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反二、周期性1周期函数 对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二次函数1二次函数的定义 形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数2二次函数解析式的三种形式 1)一般式：f