中国石油大学华东线性代数第1章-行列式

1、1线线 性性 代代 数数 主讲：吕巍然主讲：吕巍然 教材：线性代数（第三版），教材：线性代数（第三版）， 中国石油大学出版社中国石油大学出版社2 一、学习必要性一、学习必要性 二、课程特点二、课程特点1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门门 重要的基础理论课；重要的基础理论课； 2、线性代数是一门必修课、线性代数是一门必修课,考研必考内容考研必考内容. 1、概念多、符号多、定理多；、概念多、符号多、定理多；2、内容抽象；应用广、内容抽象；应用广.3三、主要内容三、主要内容:1、行列式、行列式2、矩阵、矩阵3、向量组及其相关知识、向量组及其相关知识4、线

2、性方程组、线性方程组5、相似矩阵及二次型、相似矩阵及二次型6、线性空间和线性变换、线性空间和线性变换4 本章主要内容本章主要内容 1.1.排列的一些性质排列的一些性质 2.n 2.n 阶行列式的定义、性质和计算阶行列式的定义、性质和计算 3.3.克莱姆克莱姆法则法则 学习重点学习重点 行列式的性质和计算行列式的性质和计算第一章第一章 n n阶行列式阶行列式51. 1. 全排列及其逆序数全排列及其逆序数（1）全排列及其）全排列及其逆序数逆序数 现约定现约定, ,这里所说的这里所说的 n n个元素是指从个元素是指从 1 1 至至 n n 这这 n n 个个自然数自然数. . 规定由小到大的排列顺序

3、为规定由小到大的排列顺序为标准顺序标准顺序，当某两，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说排列中有一个元素的先后次序与标准次序不同时，就说排列中有一个个逆序逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆逆序数序数. . !nPn 种排法种排法.我们知道，将我们知道，将 n 个不同元素排成一列共有个不同元素排成一列共有6定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列的奇偶性排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列

4、.注：注：标准排列标准排列为偶排列（逆序数为为偶排列（逆序数为0）.7计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数. 如如 排列排列 32514 的逆序数为的逆序数为 ，是，是 排列排列. 5 5奇奇8 12321.n nn 例例如如，求求 的的逆逆序序数数解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.

5、34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n9（2 2）对换的定义及性质）对换的定义及性质定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如a bmlbbabaa11b anmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab10定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbba

6、baa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,11当当 时，时，ba 经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b12次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcb

7、abaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab13二阶行列式的计算二阶行列式的计算；2112221122211211aaaaaaaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算323122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa .322311332112312213aaaaaaaaa 2 2、行列式的

8、定义、行列式的定义14333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa 其中其中t t为列标排列为列标排列 的逆序数，的逆序数，表示表示对对1 1，2 2，3 3三个数的所有排列取和三个数的所有排列取和. .321ppp15n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnpppta

9、aaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa16 nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa2121212222111211)1( 其中其中 为自然数为自然数 1,2,1,2,n ,n 的一个排列，的一个排列，t t为这个排列的逆序数，为这个排列的逆序数，表示对表示对 1 1，2 2，n n 的所有排列的所有排列取和取和.

10、.nppp21定义定义 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义 ?2 则则行行列列式式的的值值多多，数数比比阶阶行行列列式式，零零元元素素的的个个一一个个nnn思考思考: :17关于定义,请注意以下几点： n n 阶行列式是由阶行列式是由n!n!项组成的，结果是一个项组成的，结果是一个数；数； 定义式的右边每一项都是定义式的右边每一项都是 n n 个元素的乘积个元素的乘积 （称为一个（称为一个乘积项乘积项）, , 这这n n 个元素是由行列个元素是由行列式的式的不同行、不同列不同行、不同列的元素构成的的元素构成的. . 某一乘积项符号的确定：先把该项的某一乘积项符号的确定：先把该项的n n个元素

11、个元素 按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列 的奇偶性来决定这一项的符号的奇偶性来决定这一项的符号. .18333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa 322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 133221231231332211aaaaaaaaa 233211331221132231aaaaaaaaa .)( 321211nqqqsaaa19 nqqqsnnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212222111211211)( 其中其中 为自然数为自然数 1,2,

12、1,2,n ,n 的一个排列，的一个排列，s s为这个排列的逆序数，为这个排列的逆序数，表示对表示对 1 1，2 2，n n 的所有排列的所有排列取和取和. .nqqq,21定义定义 n n 阶行列式阶行列式 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义20例例1 1 对角行列式对角行列式;2121nn .)1(212)1(21nnnn 21nnnnaaaaaa00022211211上三角行列式上三角行列式；nnaaa2211 nnnnaaaaaa21222111000下三角行列式下三角行列式；nnaaa2211 22则 nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110 ,

13、)(11111kkkkijaaaaaD ,)(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 例例2设设233 3、行列式的性质、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211；nTnDD 1)(2411121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa25nnnniniinaaakakakaaaa 212111211nnnniniinaaaaaa

14、aaa 212111211 111intpipnpakaa L LL L 111intpipnpaaa LLLLkk26k 11121121212niiiniiinnnnnaaaaaaaaaaaa 11121121212niiiniiinnnnnaaaaaakakakaaaa 0 0 DD27zyxfedcba 321 例例如如 321fedcbazyxfedcba(6) 行行列列式式中中如如果果某某行行的的元元素素都都是是两两个个数数之之和和，则则此此行行列列式式等等于于两两个个行行列列式式之之和和. .这这两两个个行行列列式式除除这这一一行行外外，其其他他各各行行全全与与原原来来行行列列式

15、式的的对对应应行行一一样样；28(7) k行行列列式式中中某某行行（或或列列）元元素素的的 倍倍加加到到另另一一行行（或或列列）的的对对应应元元素素上上，行行列列式式的的值值不不变变. .987654321 例例如如9873k62k5k4321 293 例例计计算算三三阶阶行行列列式式12301110198103 310021001100110321 321110321100100100110321 111110321100 230110321100 .500 304 ,1124012a baDbb 例例求求使使 行行 列列 式式bbabaD213001120 分分析析：. 0,2102112

16、03 baab31 例例 5 计算行列式计算行列式31111311.11311113D 20000200002011116141312rrrrrr .4886 解解 这个行列式的特点是每一列的这个行列式的特点是每一列的4个数之和都相等，个数之和都相等， 我们可将其它各行都加到第一行我们可将其它各行都加到第一行.31111311113166664321rrrrD 31111311113111116 32 通常把各行（或各列）元素之和相等的通常把各行（或各列）元素之和相等的行列式叫做行列式叫做 典型字母行列式典型字母行列式. . 如：如：xaaaxaaaxDn nnnnaaaaaaaaaD 111

17、212121 niinaaxanx11)1)() 1( ; 都是典型字母行列式，你能很快说出它们的结果吗？都是典型字母行列式，你能很快说出它们的结果吗？33,56333222111 cbacbacbaD已已知知例例.333333222222111111*baaccbbaaccbbaaccbD 求求解解：由由行行列列式式的的性性质质知知.1022333222111333222111* cbacbacbaacbacbacbD34Can You Answer Them? ) ( ?,0,.212多多少少开开式式中中为为零零的的项项至至少少有有按按定定义义的的展展问问其其中中是是五五阶阶行行列列式式设

18、设DaD 24 1.在在6 阶行列式中，阶行列式中， 的项应的项应 带什么符号？带什么符号？425665311423aaaaaa( + )35112111().3211121xxfxxx 其其 中中33.( )f xx求求中中的的系系数数，的的多多项项式式，且且是是根根据据行行列列式式的的定定义义，解解：xxf)(的的项项有有两两项项：容容易易看看出出，含含有有最最高高次次幂幂为为33.xx.121)(,22133433422113 为为的的系系数数中中所所以以的的项项和和对对应应于于主主对对角角线线上上元元素素的的积积xxfxxxxaaaax36,3122133321123223113221

19、13312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 4 4、余子式与代数余子式、余子式与代数余子式37在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA

20、 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 38引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .1444241242221

21、1412113333aaaaaaaaaa 例如例如39证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 从而从而.1111AaD 在证一般情形在证一般情形, 此时此时40nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行行对对调调第第行行第第行行行行依依次次与与第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija41,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjj

22、D得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija42 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija43nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija44故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ij

23、ijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija45定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 5 5、行列式按行（列）展开法则、行列式按行（列）展开法则46nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa2111

24、21100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 47推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 48,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当

25、ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同49关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中50例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 510551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 52 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ,

26、 )(12 jijixx）式式成成立立时时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(53，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 54)()()(211312jjininnxxxxxxxxD )

27、.(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式551789007022220403 D的的代代数数余余子子是是ijijaA, 444342414443424121MMMMAAAAaMijij）的的余余子子式式，则则是是式式，例例1-1. 1-1. 设设 ，0 .-28解解2）虽然可以直接计算，但如下方法更加简单）虽然可以直接计算，但如下方法更加简单.解解1）由代数余子式的重要性质即可知；）由代数余子式的重要性质即可知；561111007022220403 M41424344( 1) ( 1)MAAAA

28、构造行列式构造行列式另一方面，容易计算另一方面，容易计算 M 的值，的值，M 与与 D 的区别仅仅是第四行元素，因元素的余子式与的区别仅仅是第四行元素，因元素的余子式与该元素所在行（列）的元素无关，因而该元素所在行（列）的元素无关，因而 M 与与 D 的第四的第四行元素的余子式对应相同，将行元素的余子式对应相同，将 M 按第四行展开，得按第四行展开，得.44434241MMMM 1112220437 M1114000437 .281143)4(7 57已已知知例例2.-1,270513422111542131122254321 D.434241AAA 求求.90)(227)(243424145

29、444342414544434241 AAAAAAAAAAAAA解解：58例例1-3 1-3 计算行列式计算行列式解：按照其特点，得解：按照其特点，得 nniinaaaaD00001111101,0010010011112101nnaaaaD . 021 naaa其其中中59例例1-4 1-4 计算行列式计算行列式解法解法 1 1 （递推法递推法）按最后一行拆项，建立递推公式）按最后一行拆项，建立递推公式. 0;1111111112121 nnnaaaaaaD其其中中nnaaaaaD001111111111111112121 1121 nnnDaaaa601121 nnnnDaaaaD)11

30、(121 niinnaaaaD)(21221121 nnnnnDaaaaaaaa)1 ( 12121121aaaaaaaaaannnnn 61解法解法 2 2 （加边法）（加边法）nnaaaD 1110111011101111211naaa001001001111121 nniiaaaa00000000011111211 )11(11 niinaaa 62评注：评注：加边法主要用于主对角线上的元素不加边法主要用于主对角线上的元素不同，其余元素相同的行列式同，其余元素相同的行列式. . 例如：例如：nnabbbbabbbbabbbbaD321 ),2 , 1,(nibai 121000nbbba

31、bbbabbba)1)()(11 niinbabbaba63解法解法 3 3 （提取公因子）（提取公因子）)11(11 niinaaa nnnnnaaaaaaaaaaaaD11111111111122211121 （此为（此为典型字典型字母行列式）母行列式）nnnniinaaaaaaaaaa1111111111111222121 64 例例1-5 1-5 计算计算 行列式：行列式：1112212221212121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD解解1010101221222121212121 nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxD10001000112121nnxx

32、xxxx 10000100001012112nnjjxxxx njjx121加边法加边法箭形箭形行列式行列式65注：此行列式也称为注：此行列式也称为三对角行列式三对角行列式. .baabbaabbaabbaDn 解解 按第一列展开，有按第一列展开，有例例1-6 1-6 计算计算.)(21 nnnabDDbaD).(211 nnnnaDDbaDD从从而而66,2221babaDbaD 于是，有于是，有由于由于 所以所以.nnnnnnnbabbaabaDD 111 .,)1(11babababaanDnnnn从从而而211221()().nnnnnDaDb DaDbDaD.nb 67注：此行列式也

33、称为注：此行列式也称为双对角行列式双对角行列式. .)2()2(2nnndcdcdcbababaD 解解 按第一行展开，有按第一行展开，有例例1-7 1-7 计算计算68以此作递推公式，可得以此作递推公式，可得ddcdcbabaaDn00002 0000) 1(21cdcdcbababn .)()1()1(2)1(2112)1(2 nnnnDbcadDbcadD222(1)2(2)()()nnnDadbc DadbcD dcbabcadDbcadnn121)()( .)( nbcad 69引入引入 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabx

34、axa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x 6 6、克莱姆法则、克莱姆法则70;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.71对于线性方程对于线性方程

35、组组11112211211222221122(4)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 来说，满足一定的条件，它的解可用来说，满足一定的条件，它的解可用 n 阶行列式表示，这便是阶行列式表示，这便是克莱姆法则克莱姆法则. .72 那么，方程组（那么，方程组（4）有唯一解）有唯一解 其中其中01111 nnnnaaaaD.,2211DDxDDxDDxnn .1,1,111, 111, 111nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD 如果线性方程组（如果线性方程组（4 4）的系数行列式不等于零，即）的系数行列式不等于零，即克莱姆法则克莱姆法则 73 定理定理6 6

36、如果线性方程组（如果线性方程组（4 4）的系数行列）的系数行列式式 D0D0，则（，则（4 4）一定有解，且解是唯一）一定有解，且解是唯一的的. .克莱姆法则在理论上十分重要克莱姆法则在理论上十分重要. .定理定理7 7 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 D0D0，则它只有零解，则它只有零解. .定理定理7 7/ / 如果齐次线性方程组有非零解，则如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式它的系数行列式 D=0 .D=0 .74例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxx

37、xxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 7512772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 7660412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx77xaxaxaxaxaxaxaxaxaxf 333231232221131211)(0)1(21)1(41

38、1211111)(11122 nnnxnxnxnxf11, 2 , 1 n1、已知多项式、已知多项式)(xf则则 的次数至多是的次数至多是 .2、方程、方程 的全部根是的全部根是 .781112223333.,abcDabcmabc 已已 知知111111*222222333333222222.222abbccaDabbccaabbcca 求求提提示示：由由行行列列式式的的性性质质.98333222111333222111*mcbacbacbaacbacbacbD 79223100( ),20201xxxxf xxxxx 4 4. .已已知知4.x求求的的系系数数( )f xx根根据据行行列列式式的的定定义义，是是解解：的的多多项项式式，且且的的项项有有两两项项：容容易易看看出出，含含有有最最高高次次幂幂为为