第三章量子力学中的力学量

1、量子力学中的力学量量子力学中的力学量 经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念一个重要的基本概念算符，用它表示量子力学

2、中的力学算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。始终。 本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容：习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示；算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；三个力学量计算值：

3、确定值、可能值、平均值； 四个本征态及本征值：坐标四个本征态及本征值：坐标 或或 、动量、动量 或或 、角动量、角动量 及及 、能量（哈密顿量、能量（哈密顿量 ）。）。 本部分的难点是任意态本部分的难点是任意态 与力学量算符本征态与力学量算符本征态 及力及力 学量概率态学量概率态 的区别。的区别。xrxpp2LzLH),(txnnC 1 厄米算符厄米算符 1.1 算符：算符算符：算符 只是代表对函数施加某种运算的符号，只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如是一种数学语言工具。例如 等。量子力学中的力学等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量

4、在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量量 与与 相当，自由粒子体系的能量相当，自由粒子体系的能量 与与 相当。相当。 于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。 1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数上，总会得到另一个构造不同的函数但在特殊情况下，得到但在特殊情况下，得到F、dxdp iE222FF（1） （2） (本征方程本征方程) 1.3 厄米算符：厄米算符： （1）算符）算符 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符中所有复量换成共轭复量，

5、称为共轭算符 例如例如 ，则，则 ，一般来说，一般来说， （2）算符）算符 的转置算符定义为的转置算符定义为 ，即，即 一般为任意函数，一般为任意函数， ，例如算符，例如算符 的转置算符为的转置算符为这是因为这是因为 F*F ip ip*ppFFdxFdxF*,* FFxxxdxxdxx*dxxdxx)(|*（3） （4） （3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 ，即，即 一般来讲一般来讲 但动量算符却例外但动量算符却例外 （4）厄米算符）厄米算符 满足满足 的算符称为厄米算符，又的算符称为厄米算符，又称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标称

6、自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标记，但它都包含转置共轭的性质，如记，但它都包含转置共轭的性质，如 为厄米算符，则有为厄米算符，则有 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果：此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数厄米算符的本征值都是实数 FF*dxFdxFdxF*)( （5） FFxipxxxpxip（6） FFFdxFdxFdxF*)(（7） 2 力学量用厄米算符表示力学量用厄米算符表示 当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作

7、用，的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量 可可以用一个线性厄米算符以用一个线性厄米算符 来表示，简称为力学量算符来表示，简称为力学量算符 ，所，所谓谓“线性线性”，无非是要求，

8、无非是要求 满足运算满足运算以以 为基础，原则上可以得出所有力学量算符为基础，原则上可以得出所有力学量算符 FFFF22112211)(FcFcccF（8） iprr,),(),(irFprFF（9） 3 力学量算符的本征态和本征值力学量算符的本征态和本征值 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 假定体系处于力学量算符假定体系处于力学量算符 的本征态的本征态 ，本征方程为，本征方程为 说明力学量算符对应着确定的实数本征值说明力学量算符对应着确定

9、的实数本征值 ，这时的，这时的力学量没有别的选择，只能是力学量没有别的选择，只能是 即当体系处于力学量算符即当体系处于力学量算符 的本征态时，力学量的本征态时，力学量 具有具有确定值。这种确定的关系可以表示为确定值。这种确定的关系可以表示为 FFFFFFFFF的本征态）力学量( 确定值（10） （11） 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符 的的本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱

10、中哈密顿算符 的本征态（能量本征态）的本征态（能量本征态） 势阱宽势阱宽 ，本征值，本征值 力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱F2222dxdHxanaxnsin2)()0(a3 , 2 , 1,22222nnaEEn 大致可分为三类：大致可分为三类： （1）连续谱）连续谱本征值可取任何实数值。如自由粒子的本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；坐标和动量的本征值谱； （2）带谱）带谱本征值被限定在某些区域，本征值被限定在某些区域， 例如固体中的能带；例如固体中的能带； （3）分立谱）分立谱本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在本

11、征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。束缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或或 ，分，分立谱记为立谱记为 。对应的本征函数分别记为。对应的本征函数分别记为 及及 。 二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情个）本征态对应一个本征值，称这种情况为况为 度简并。度简并。,43211xFxxFx), 2 , 1(nn,nss四个特例四个特例 3.1 球坐标中的角动量球坐标中的角动量 首先看角动量的首先看角动

12、量的 分量分量 的本征函数的本征函数 设其本征函数为设其本征函数为 对应的本征值为对应的本征值为 本征方程为本征方程为 将其变为将其变为 可解出可解出 z iLz)(zLzLiimLizln)(mLzimmCe)( 由波函数单值性要求由波函数单值性要求 故故 必须是整数必须是整数 可见本征值可见本征值 是量子化的分立谱。是量子化的分立谱。利用归一化条件利用归一化条件 得归一化的波函数为得归一化的波函数为 角动量平方算符角动量平方算符 imimee)2(m, 2, 1, 0mmLz202*12Cdimme21)(), 2, 1, 0(m22222sin1sinsin1L 本征方程本征方程 对应的

13、本征值对应的本征值 本征态本征态 注意以下三点：注意以下三点： （1） 取负值时取负值时 所以只需注所以只需注 意意 为正值时的为正值时的 即可；即可； （2）当）当 一定时，角动量平方算符的本征值一定时，角动量平方算符的本征值 一定，但一定，但 可取可取 个值，所以本征态有个值，所以本征态有 共共 个，即角动量平方算符的本征个，即角动量平方算符的本征 ),() 1(),(22YllYL22) 1(llLimmllmePmlmllY)(cos)!(4)!)(12(),(, 2 , 1 , 0llm , 2, 1, 0mm),() 1(),(*mlmlmYYmlmYl22) 1(llLm) 12

14、(lmlllmYYY,0) 12(l 值是值是 度简并的；度简并的；（3） ，说明，说明 也是也是 的本征的本征态。由此可见，当态。由此可见，当 给定后，本征值给定后，本征值 只与一个确定的本只与一个确定的本征态征态 相对应，说明相对应，说明 共同消除了简并，确定了共同消除了简并，确定了一个共同的本征函数一个共同的本征函数 。例如，给定。例如，给定 ，则，则对应对应7个简并态个简并态 ；进一步给定；进一步给定 ，则，则 ，二者，二者共同确定一个本征态共同确定一个本征态 。3.2 坐标算符坐标算符 的本征态的本征态 设坐标算符设坐标算符 的本征函数为的本征函数为 ，本征值为，本征值为 ，则，则本

15、征方程为本征方程为 即即 利用利用 函数函数的性质可得的性质可得 ) 12(l),(),(lmlmzYmYL),(lmYzLlm),(lmYzLL,2),(lmY3l2212LmY32m2zL),(32Yxx)(xxx)()(xxxxxx0)()(xxxx)()(xxxx 讨论：讨论： （1）在以）在以 为变量的坐标系中，力学量为变量的坐标系中，力学量 的算符就的算符就 是自身，而本征函数为是自身，而本征函数为 函数；函数； （2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函 数的归一化写成数的归一化写成 即归一化为即归一化为 函数函数xx )()()()

16、()(*xxdxxxxxdxxxxx 3.3 动量算符动量算符 的本征方程的本征方程 对应本征值对应本征值 的本征函数的本征函数 具有确定动量具有确定动量 的平面波函数，本征值组成连续谱，只的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为能归一化为 函数函数 对于三维情况对于三维情况 归一化为归一化为 xipx)()(xpxxixxpxp xp/21)(xippxxexxp/2/3)2(1)(rp iperppppppdrrpp, 0)()()(* 3.4 关于关于 的本征态（能量本征态）的本征态（能量本征态） （1）定态）定态 方程方程 ，本征值，本征值是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线

17、性谐振子是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子等。等。 （2）电子在库仑场中运动的氢原子问题）电子在库仑场中运动的氢原子问题能量本征值能量本征值 本征态本征态dingeroSchr nEHnE),(),(rErHnlmnnlm, 3 , 2 , 1,22242nnezEsn),()(),(lmnlnlmYrRrH 注意分析结果后回答几个问题：注意分析结果后回答几个问题： （a）能级简并度？）能级简并度？ （b） 是是 的本征态吗？假若是的话，的本征态吗？假若是的话， 对应的本征值各是多少？对应的本征值各是多少？ （c） 能确定唯一的本征态吗？能确定唯一的本征态吗？ 和和 能共同能共

18、同 确定本征态吗？确定本征态吗？ 三者呢？三者呢？),(lmYzLL,2HH2LzLLH,2 4.1 厄米算符的三个基本性质：厄米算符的三个基本性质： 实数性、正交性、完备性。实数性、正交性、完备性。 量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。（1）厄米算符的本征值都是实数，表示为）厄米算符的本征值都是实数，表示为 。（2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交，）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交， 分立谱为分立谱为 连续谱为连续谱为

19、* 0)()(*xxnm0)()(*xx4 任意状态下力学量的可能值任意状态下力学量的可能值 一般与归一化结合在一起，表示为一般与归一化结合在一起，表示为 # 这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值的。若属于同一本征值的本征态有的。若属于同一本征值的本征态有 个，即个，即 度简并，则这度简并，则这 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力学量学量 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量 的的态函数，如果是，那么对态函数，如果是，那么对 的本

20、征值是否还简并？如球谐的本征值是否还简并？如球谐函数函数 ，它是角动量平方算符，它是角动量平方算符 的本征函数，对应的本征函数，对应的本征值的本征值 有有 度简并，但度简并，但 也是角动量的也是角动量的 分量分量 的本征函数，对应的本征值的本征函数，对应的本征值 。不过。不过 mnnmxx)()(*)()()(*xx（12） nm,sssFQQF,),(lmY2L2) 1(ll) 12(l),(lmYzzLm2) 1(ll和和 只能对应一个本征函数只能对应一个本征函数 ，简并消除了，正，简并消除了，正交问题自然解决了（这涉及到共同本征函数问题，见下一交问题自然解决了（这涉及到共同本征函数问题，

21、见下一讲）。讲）。 （3）厄米算符本征态具有完备性，即这些本征态的线性）厄米算符本征态具有完备性，即这些本征态的线性组合足以描述任何态组合足以描述任何态4.2 任意状态下力学量的可能值任意状态下力学量的可能值 微观粒子处于力学量算符微观粒子处于力学量算符 的本征态的本征态 时，力学量与时，力学量与本征值有确定的对应。如果粒子不是出于本征值有确定的对应。如果粒子不是出于 的本征态的本征态 而而是处于任意态是处于任意态 ，如何理解任意态，如何理解任意态 ？ m),(lmYnnnnccc2211（13） FnFn 厄米算符本征态的完备性已明确告诉我们，可用厄米算符厄米算符本征态的完备性已明确告诉我们

22、，可用厄米算符 的本征态的本征态 的线性组合描述的线性组合描述 ，即，即 这正是态叠加原理的具体表现。在这正是态叠加原理的具体表现。在 态中对力学量态中对力学量 进进行测量时，得到的可能值是行测量时，得到的可能值是 ，也可能是，也可能是 ，而决，而决不会是本征值之外的其它值。将不会是本征值之外的其它值。将 归一化归一化将（将（14）（）（15）联系起来看，）联系起来看， 表示任意态表示任意态 处于本征态处于本征态的概率（或者说本征态的概率（或者说本征态 在任意态在任意态 中所占的概率）。若中所占的概率）。若从力学量的角度看，从力学量的角度看， 是在是在 态中测量力学量态中测量力学量 得到可能得

23、到可能值值 的概率（或说力学量的概率（或说力学量 的值的值 在在 态中测到的概率）态中测到的概率）Fn,21nnnnnxcxcxcxcx)()()()()(2211（14） F121)()(2*nncdxxx2nc2ncnnFnFn（15） 展开系数展开系数 体系处于任意态体系处于任意态 时力学量时力学量 的概率分布函数的概率分布函数 综上所述，当体系处于任意态综上所述，当体系处于任意态 时，测量力学量时，测量力学量 所得所得的数值，将会出现各种不同的结果，但必定是算符的数值，将会出现各种不同的结果，但必定是算符 的本的本征值之一，测得力学量征值之一，测得力学量 的值为的值为 的概率为的概率为

24、 。 注意以下两点：注意以下两点： （1）面对任意态）面对任意态 ，你将，你将 用哪一个力学量的本用哪一个力学量的本征态展开？这取决于你要讨论的物理量。认定物理量后，就征态展开？这取决于你要讨论的物理量。认定物理量后，就用该力学量的本征态展开任意态用该力学量的本征态展开任意态 ； （2）任意态）任意态 和力学量算符和力学量算符 的本征态的本征态 都是坐都是坐标的函数，他们的模平方都描述各自态中的位置概率分布，标的函数，他们的模平方都描述各自态中的位置概率分布，只不过在只不过在 中力学量中力学量 有确定值罢了。有确定值罢了。 dxxxcnn)()(*（16） FFFFn2nc)(x)(x)(x)

25、(xF)(xn)(xnF 被称为力学量被称为力学量 的概率分布函数，是因为的概率分布函数，是因为 一般已不一般已不是坐标的函数是坐标的函数 ，而是力学量，而是力学量 的函数的函数（对分立谱，它是量子数（对分立谱，它是量子数 的函数；对于连续谱，它是本的函数；对于连续谱，它是本征值征值 的函数）。的函数）。 表示在任意态表示在任意态 中力学量中力学量 的概的概率分布。率分布。 例如，任意态例如，任意态 用动量算符的本征态用动量算符的本征态展开时，展开时， 表示该态的坐标概率分布，表示该态的坐标概率分布， 表示本征态表示本征态的坐标概率分布，但的坐标概率分布，但 描述的是描述的是 态中动量的概率分

26、布。态中动量的概率分布。dxxxcnn)()(*Fnc)()(除外xxxxFn2nc)(x)(xF/21)(xippxxex2)(x2xpdxxepcxipxx)(21)(/2)(xpc)(x 5 平均值问题平均值问题 当讨论微观粒子体系的任意态时，对于某一力学量的研当讨论微观粒子体系的任意态时，对于某一力学量的研究其结果只能是以一定概率出现的一系列数值，不过测量结究其结果只能是以一定概率出现的一系列数值，不过测量结果的平均值总是趋于一个确定值。所以在任意态中对力学量果的平均值总是趋于一个确定值。所以在任意态中对力学量平均值的研究，显得更具有实际意义。不仅如此，微观态力平均值的研究，显得更具有

27、实际意义。不仅如此，微观态力学量的平均值还可以对宏观量给予适当描述。学量的平均值还可以对宏观量给予适当描述。 对于任意的微观态对于任意的微观态 ，知道了力学量的全部可能取，知道了力学量的全部可能取值值 及概率及概率 后，该状态下力学量的平均值由以下公式给后，该状态下力学量的平均值由以下公式给出出 该方法常被称为概率平均法该方法常被称为概率平均法)(xn2ncnnncF2 （17） 考虑到厄米算符本征态的完备性考虑到厄米算符本征态的完备性 及正交及正交归一性可得归一性可得该方法又被称为状态平均法，只要已知算符该方法又被称为状态平均法，只要已知算符 ，不必通过，不必通过的本征态及本征值，可直接在任

28、意态的本征态及本征值，可直接在任意态 下求出平均值。下求出平均值。nnnxcx)()(2,*)()()()(nnnnmnmmnnmnnmnmcccdxxFxccdxxFxdxxFxF)()(*（18） FF)(x 6 任意态在连续谱任意态在连续谱 情况下的展开情况下的展开 在此情况下，求和应变为积分（在此情况下，求和应变为积分（ 代表某力学量）代表某力学量）dxcx)()(dxxxc)()(*12dcdxxFxdcF)()(*2)14()16()15()18( 例题一例题一 设粒子处于范围在设粒子处于范围在 的一维无限深势阱中，的一维无限深势阱中， 状态用波函数状态用波函数 描述，求粒子能量的

29、可能值及相应概率。描述，求粒子能量的可能值及相应概率。 解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为 求解该问题，首先必须弄清任意态求解该问题，首先必须弄清任意态 究竟包含了能量究竟包含了能量本征态中的那几个。本征态中的那几个。 解法解法1 利用利用 求求 （能量分布函数）（能量分布函数） , 0aaxaxax2cossin4)(, 3 , 2 , 1,2,sin22222nnaEaxnann)(xnnncncaanndxaxaxaxnadxxxc002*cossinsin24)()( 利用三角函数公式及正交性，得利用三角函数公式及正交性，得 仅有仅有 所以能量的可能值及概率为所以能量的可能值及概率为 概率概率 概率概率andxaxaxaxnac0)2cos1 (sinsin222, 12, 11 ,22222nnn3 ,1 ,1 ,3 ,1 ,222222222nnnnn221c223c22212 aE2121c222329aE2123c 解法解法2 直接将直接将 展开展开 所以能量的可