比估计与回归估计

1、第五章第五章 比估计与回归估计比估计与回归估计侯天宇侯天宇1.1 引言 1.比估计与回归估计的使用条件：（1）调查主要指标与辅助变量间有正线性相关关系正线性相关关系； 比估计与回归估计的使用效果的好坏取决于辅助变量的选择，要尽可能选择与调查指标相关程度的大小。 （如果辅助变量与调查主要指标间有负线性相关关系,则要采取乘积估计。）（2）适用面广,可以用于简单随机抽样,也可用于分层随机抽样等；（3）估计 或Y时 ，一般要求辅助变量的总体总量或均值是已知的。Y简单估计：在没有其他相关辅助变量信息可以利用的情况下，用样本特征直接估计总体特征，且样本特征与欲估的总体特征除了写法之分外，完全同形同构，简单

2、易记，因此有简单线性估计。身不属于比率估计量。，它本比率估计量的核心成分是简单估计量，是构成R1.2 比估计一、简单随机抽样下的比估计：一、简单随机抽样下的比估计：1.比估计定义：比估计定义： 比率：（1）R的比率估计量：XYXYR均值之比率：总体的两个指标总量或称为比率估计量。则xyR .是样本两个指标的均值，对于简单随机抽样，若xy（2）2.比估计的性质：比估计的性质：对于简单随机抽样，（1）比估计是有偏的，但当n大时，（2）XRNXRYXXRYXRyYYRR),(已知的比估计量：及RRE)()2(1)2(11)(1)()(22222222122xyxyxxyyNiiiSRSSRSXnfS

3、RRSSXnfNRXYXnfRVRMSE证明：RREnXXRYXxRyEXxRyExxRyERREXxnxxRyRxyRR）（大时，当）（）（）（）（大时，当0) 1 ( 11)()(111001)()()()()2(122122222222222NRXYXnfRMSERVNRXYnfSnfgVGgEgEgExRyExRygXRYGNiRXYGXxRyERRERMSERMSERVRRERERENiiiNiiigiii）（）（）（）（）（）（）（则，对每个总体单元，令）（）（又）（）（)2(1)2(11)()(2)(11)()(11)(1)()(2222222212222122122xyxyxx

4、yyNiiiiiNiiiNiiiSRSSRSXnfSRRSSXnfNXXRXXYYRYYXnfNXRRXYYXnfNRXYXnfRVRMSE3.比估计的方差估计：比估计的方差估计： （1）该估计是有偏的，但具有渐近无偏性。)2(11)(1)()(2222122xxyyNiiiSRRSSXnfNRXYXnfRVRMSE)2(11）（1）（的渐近无偏估计为：)(已知时，当22221221xxyyniiisRsRsXnfnxRyXnfRvRVX1)(12NRXYNiii其中估计可用niiixRyn12)(11（2）例：某小区有1920户，从中随机抽取了70户，调查各户的住房面积（单位：平方米）和家庭

5、人口，得数据： 试对人均住房面积作点估计和置信度为95%的区间估计。5 .7264,1110, 7 .52940260, 4 .182170170127012701701iiiiiiiiiiixyxyxy)2(111)(22221221xxyyniiisRsRsxnfnxRyxnfRvRVX）（）（的渐近无偏估计为：未知时，当 解：01. 72604 .1821701701iiiixyR085. 011)(1222nxRyxnfRvRVniii）（）（的渐近无偏估计为：92.56372)(7012270170127012iiiiiiiiiixRxyRyxRy58. 744. 6%952121，

6、）（，）（的置信区间为：的置信度为RvuRRvuRR3.估计估计R时样本量的确定：时样本量的确定：22222/100022222/122222/12/112222，其中11解得：）（）Y（11，其中1）（大时，当,的绝对误差限为1的置信度为如果dXSnNnndXNSdXSnRVdRXNSSXnfRVndRdddNiiidd估计。未知时，也可由）（11由的样本，抽一个容量为也可以通过试点调查时计，可以通过以往的资料估122，2xXxRynsnSniiidd4.估计估计 时样本量的确定：时样本量的确定：2222/10002222/12222/12/11222，其中11解得：）（）Y（11，其中1）

7、（大时，当,的绝对误差限为1如果置信度为dSnNnnNdSdSnYVdRXNSSnfYVnddddRNiiiddRRY例：某公司有1000名职工，为了估计职工今年与去年病假工时的比率，要抽一个容量为n的简单随机样本进行调查。先随机抽了10人作试点调查，数据如下：编号去年病假工时今年病假工时1121322425315154303253236626247101281516902101412希望以置信度95%，使估计R的绝对误差不超过0.01，应抽容量为多大的样本？已知公司职工去年病假工时为16300。解：05. 1178187101101iiiixyR4245,4066,4463178,18710

8、110121012101101iiiiiiiiiiixyxyxy由试点调查的数据得：5222/1210122701221011012101210603. 296. 101. 03 .1610001630016300474. 3)(91265.312)(dVXXxRysxRxyRyxRyiiidiiiiiiiiii，已知334100050215021,50200220NnnnVXSnd例：审计员想把一个医院的财产的现在价值与记录价值作一比较。从计算机存储的记录里查到，医院的财产有2100项，共计价值950000元。为了估计现在的价值，拟在2100项目中随机抽取n项。因为没有信息可用来确定n，先随

9、机抽了15项，获得数据整理如下： 试确定n，使估计量的绝对误差不超过500元（置信度为95%）。表示现在的价值。值，表示从计算机查到的价其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .24215115121511512151解:表示现在的价值。值，表示从计算机查到的价其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .2421511512151151215198. 00 .2425 .237151151iiiixyR406210050415041504)21005

10、00(4444. 796. 100222222/10NnnndSnd4444. 7)(1412218.1042)(151221512215115121512iiidiiiiiiiiiixRysxRxyRyxRy4.比估计与简单估计的比较：比估计与简单估计的比较：单估计更精确。，即比估计较相应的简21，则特别若2/2/20）2(1）2(11)()(）得：2（）1（1)(的方差为：的简单估计)2()2(1)(的方差为：的比估计足够大时，当)1(2222222222yxyxyxyxxyxxyxyyRyxyxyRRCCCCYSXSSRSSRSSRnfSRSSRSnfSnfyVyVSnfyVyYSRSS

11、RSnfyVyYn5.消除比估计偏倚的方法：消除比估计偏倚的方法： 小样本时，比估计的偏倚不能忽略。 有偏估计成为无偏估计的方法：（1）无偏的比率型估计量（2）改变抽样方法二、分层随机抽样下的比估计二、分层随机抽样下的比估计 在大样本时， 1. 分别比估计：分别比估计：若 各层的样本量比较大时，各层可分别进行比估计，再进行加权平均，所得估计量称为分别比估计。 LhxhhxyhhyhhhhLhhNihihhihhhLhRhhLhhhstLhhhhLhRhhLhhhstSRSRSnfWNXRYnfWyVWYVWYVXRWyWYWYh1222211221212111)2(11)(1)()(）（方差2

12、. 联合比估计：联合比估计：若 某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。对两个指标先求总体均值或总和的分层估计，然后用它们构造比估计，所得估计量称为联合比估计。 LhxhxyhyhhhhRcststcRcSRRSSnfWyVXxyXRy12222)2(1）（方差3. 分别比估计与联合比估计的比较：分别比估计与联合比估计的比较：1.3 回归估计Linear regression 估计精度就比较高。为常数）。这时，用比（可以认为又比较大，相关系数的回归直线通过原点，关于如果。估计其实质是用，已知计量：简单随机抽样中的比估aaxyxyXYxyXXxyYiiiiR)(的特征数呢？的信息来估计调查指

13、标如何利用辅助指标，的回归直线不通过原点关于如果yxxyii1.简单随机抽样中的回归估计量：简单随机抽样中的回归估计量：对于简单随机抽样，总体均值和总体总和的回归估计量分别为：lrlrYNYXxXbyY)(已知，其中YYEyYxXyYYXxxxyyyxyxylrlrlrlriiiiiiiii）（性质：记为以后）（的回归估计为时，当）（的回归值时，事先给定常数）若（据结构：具有一元线性回归的数与假定1000YYEXRXxyxXxyyyxyRxXyyyyxXyyYlrlrlrlrlr）（：性质）（即回归估计为比估计）（时，当计）（即回归估计为差估（时，当计）（即回归估计为简单估时，当）（的回归估计

14、为时，事先给定常数若110:00000）（）（：性质22002212xxyylrSSSnfyV）的无偏估计。（）是（）（性质：）（）（）（）（去估计均值的回归估计就是用样本或者说：（，其中（换个角度：证明：）（）（：性质lrxxyylrxxyyNiiiNiiiZlriiiniiniiilrxxyylryVsssnfyvSSSnfXXYYNnfYXXYNnfSnfyVYzYxXyzzznxXynxXyySSSnfyVi22002220022102102011002200221211111111)1)(1)212，即总体残差方差。1)(1）1（的相关系数。与为数，的（有限）总体回归系关于为其中）1

15、（1）（且）达到最小值，（时，）（）（当的最佳值）定理：（12122222min212100NiiNiiiyylrlrxxyNiiNiiieNEYYNSxyxyBSnfyVyVBSSXXXXYY证明：）（）（时，当）（得）（令）（）（22min2020220022002110, 021ylrxxylrxxylrxxyylrSnfyVBSSdyVdBSSdydVSSSnfyV)(21)(2121211,1122212212222121yxyyxxyyniiiniieelrylrlrlrlrniiniiiiiiiibssnnlblnxxbyynyynssnfyvnSnfyVyMSEnYyEnxXb

16、yyYxxxxyybBBxyxy）（）（）（其中样本残差）（大时性质：当）（）（）（大时，性质：当）（大时，性质：当）（的回归估计为：）（）（一般是未知的，本回归系数。根据样本计算时，为样）若（据结构：具有一元线性回归的数与假定例：总体由75308个农场组成，设yi为第i个农场养牛的头数， xi为第i个农场的面积。已知农场平均面积为31.25英亩，选取一个样本容量为2055的简单随机样本。经计算得： 试估计每个农场平均养牛头数及标准差。763.10073375525.35717915.27410065.30,53.12xxxyyylllxy解：355. 0 xxxyllb74.12)65.30

17、25.31(355. 053.12)(xXbyylr187.0)()(035.0)(2111)(2lrlrxyyyelryvysbllnnfsnfyv标准差为二、分层随机抽样下的回归估计二、分层随机抽样下的回归估计 在大样本时， 1. 分别回归估计：分别回归估计：若各层的样本量比较大时，各层可分别进行回归估计，再进行加权平均，所得估计量称为分别回归估计。 LhehhhhlrshLhhyhhhhLhlrhhLhhhlrshLhhhhhhLhlrhhLhhhlrssnfWYvSnfWyVWYVWYVxXyWyWYWY122122212121111:11)()(:)(）（未知时，当方差的样本估计）（

18、）（未知时，当方差2. 联合回归估计：联合回归估计：若 某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。对两个指标先求总体均值或总和的分层估计，然后用它们构造回归估计，所得估计量称为联合回归估计。 LhxhcxyhcyhhhhlrclrcLhxhhhhLhxyhhhhcststlrcSBSBSnfWyVyVSnfWSnfWBxXyy1222212212)2(111:)(）（）达到最小，即（时，取当当回归系数未知时，方差LhxhcxyhcyhhhhlrcLhxhhhhLhxyhhhhcsbsbsnfWyvsnfWsnfWb1222212212)2(111）（时，取当3. 分别回归估计与联合回归估计的

19、比较：分别回归估计与联合回归估计的比较：1.3 等概率整群抽样估计11niiniiyyM11niittniiyYM yMM2221122()()11( )11NNiiiiiiiiYYMMYYffV ynMNnMN222221()(1)( )( )( )1NiiitiYYMNfV YM V yN M V ynN估计量的方差分别是:21222222111()1( )111(2)1niiiinnniiiiiiiiyyMfv ynmnfyyMyM ynmn)(yV与 的样本估计分别是:)(YV22122222111()(1)( )1(1)1(2)1niiinnniiiiiiiyyMNfv YnnNfy

20、yMyM ynn例：某县有33个乡，726个村，该年度某种作物总种植面积30525亩，现采用等概抽样随机抽出10个乡，要求估计全县总产量，计算抽样误差。 调查资料如下：样本乡编号村庄数 Mi作物总产量（乡） yi（万公斤）种植面积（乡） xi（亩）iiiMyy 123456789101518261420282119311722.022.830.221.725.331.226.020.533.823.68007801000700880110085080012008301.46671.26671.16151.551.2651.11431.23811.0791.09031.3882合计 209 257.1 8940 分别采用几种方法估计1 无