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文档简介
1、«6.2.1向量的加法运算教学设计【教材分析】本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册(人教A版)第六章平面向量及其应用,本节课是本章第2课时,向量的加法是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算,向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础;其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解向量加法的意
2、义;B.掌握向量加法的几何表示法,理解向量加法的另两个运算法则;C.理解向量的运算律;D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识。1 .数学抽象:向量的加法;2 .逻辑推理:向量的加法法则;3 .数学运算:求向量的和;4 .直观想象:向量加法的集合意义。【教学重点】:两个向量的和的概念及其几何意义;【教学难点】:向量加法的运算律。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾,温故知新1 .向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么?【答案】向量:既有方向又有大小的量。平行向量:方向相同或相反的向量。相等向量:方向相同并且长度相等的向量。2 .用后向线段表不问重,问重的大
3、小和方向是如何反映的?什么叫零向量和单位向量?通过复习上节所学,引入本节新课。建立知识间的联系,提高学生概括、类比推理的能力。【答案】向量的大小:有向线段的长度。向量的方向:有向线段的方向。零向量:长度为零的向量叫零向量;单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。二、探索新知思考1:如图,某质点从点A经过点B到点C,则这个质点的位移怎通过思考,由质点的位移引入向量加法的三角形法则,提高学生的解决问题、分析问题的能力。么表不?【答案】从运算的角度看,AC可以认为是AB与BC的和,即位移、可以看作向量的加法。1 .已知向量£和b,如图在平面内任取一点0,彳oAa,aBb,则向量OB
4、叫做£和b的和,记作ab.即abOAABOB°求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.【口诀】首尾相连首尾连。思考2:某物体受到Fi,F2作用,则该物体所受合力怎么求?【答案】从运算的角度看,可以认为是F与F/口F2的和,即力通过口诀,让学生更容易识记法则。通过思考,由力的合成引入向量加法的的合成可以看作向量的加法。2 .向量加法的平行四边形法则如图,以同一点o为起点的两个已知向量a和b为邻边作平行四边形平行四边形法则,提高学生的解决问题、分析问题的能力。OCOAOBOACB则以O为起点的对角线OC就是a和b的和,
5、我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.通过思考,进一步理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则,提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题讲解,让学生理解怎样用向量【口诀】起点相同,对角线为和。思考3:向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么?【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。注:向量的加法运算结果还是向量对于零向量与任一向量a.我们规定a00a0。例1.如图,已知向量a和b,求作向量ab°图心2*503S.2-6解:作法】上任平团内任取一点0f图6.(1)3作函=n+=人则屈作法。在平国内任职一点色(e.2-£(2)3作出
6、匚。,o5=b,以5为邻边作COUTB,连接8,则说*示+道,&+卜.探究1:如果向量a和b共线,它们的加法与数的加法有什么关系?你能做出向量ab吗?TT【答案】(1)当a和b同向时,3b"ABCabABBCAC(2)当a和b反向时,a-'b.B_CA*翱*=pif.9VabABBCAC探究2:结合例1,探索|ab|,|a|,|b|之间的关系。【答案】由例1和探究1可得,当a和b反向或不共线时,|ab|a|b|;当a和b同向时,|ab|a|b|。所以,|ab|G|b|。结论:一般地,有|ab|a|b|。的三角形法则与平行四边形法则求向量的和,提高学生解决问题的能力。通
7、过探究,求共线向量的和,进一步理解向量的求和法则,提高学生的解决问题、分析问题的能力。ACADDCba,所以abba。通过探索探究3:数的加法满足交换律、结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?在图(2)中,ADABBCCDACCD(ab)c,ADABBCCDABBDa(bc),所以,(ab)ca(b(C)°结论:向量加法的交换律和结合律TTfTfabba,(ab)ca(b0例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输,如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以2,3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及
8、船实际航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表|ab|,|2|,向之间的关系,进一步理解向量的求和法则,提高学生的解决问题、分析问题的能力。示)。通过探究,结合向量的求和法则推导加法运算律,进一步理解向量的求和法则,提高学生的解决问题、分析问题的能力。解:(1)如图所示,AD表示船速,AB表示水速,以ADAB为邻边作平行四边形ABCD,则AC表示船实际航行的速度。在RtABC中,|AB|2,|BC|2®,所以,|AC|:|AB|2|BC|2、,22(2.3)24,因为,tanCAB坦£1V3,所以CAB60。|AB|2所以,船实际航行速度为4
9、km/h,方向与水的流速间的夹角为60。三、达标检测1 .化简Or屯西S酌结果等于()通过例题进一步理解的运算,用向量解决实际问题,提高学生用向量解决问题的能力。通过练习巩固本节a.Qpb.Oqc.spd.SQ解析OFPCHPSSFOO0=OQ【答案】B2 .在四边形ABC用,AC>AB+At),则一定有()A.四边形ABCO矩形B.四边形ABCO菱形C.四边形ABCO正方形D.四边形ABCO平行四边形【解析】由AC=Ab+AD#Ad>配即AD=BG且AD/BG所以四边形ABCE组对边平行且相等,故为平行四边形.【答案】D3.(多选题)下列命题中正确的命题是()A.如果非零向量a与
10、b的方向相同或相反,那么(a+b)/a;B.在平行四边形ABCDK必有BC=ADC.若§b=At则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点;D.若a,b均为非零向量,则|a+b|<|a|十|b|.【解析】选项A,正确;选项B,在平行四边形ABC由,BC/AD且BC=AD所以Bb=AD正确;选项C,A,B,C,D可能共线,所以错误;选项D,为向量的三角不等式,所以正确的命题为ABD【答案】ABD4 .若|a|=|b|=1,则|a+b|的最大值为.【解析】由|a+b|<|a|十|b|知|a+b|的最大值为2.【答案】2所学知识,通过学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强
11、学生的应用意识。5 .已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c.【解】在平面内任取一点O,作OA=a,Ab=b,BG=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得Ob=a+b,OCa+b+c,通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。O唧为所作向量.四、小结1 .向量加法的三角形和平行四边形法则;2 .|ab|a|b|;3 .向量加法的运算律。五、作业习题3.16,7,9题【教学反思】本节课教学环节严谨,学案课前预习一一课件动画引入一一合作探究(三个探究问题)一一个体展示一一例题精讲一一课堂练习一课堂小结。在整个教学环节中,合作讨论让整个课堂更活跃了
12、,更增加了课堂趣味性。还有课后练习展示答案,可以很清楚的掌握全班同学对本节课所学知识的掌握情况,从而调整课下和下一节的辅导和教学。总体说这节课比较成功,主要有以下几个亮点:1 .形式上,黑板与多媒体结合有效防止视觉疲劳,动手与思考结合形成主动学习,主动接受老师给予,与书本探究结合有利于课后复习和作业。2、教学方法采用多媒体教学,动画效果非常逼真,三角形法则和平行四边形法则做和的几何画法让学生得到了感性和理性的认识3、培养目标明确,除了学习物理中的数学外,还参透培养演绎思维,化归转化思想。«6.2.1向量的加法运算导学案【学习目标】1.理解向量加法的意义;2 .掌握向量加法的几何表示法
13、,理解向量加法的另两个运算法则;3 .理解向量的运算律;4 .理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识。【教学重点】:两个向量的和的概念及其几何意义;【教学难点】:向量加法的运算律。【知识梳理】1 .向量加法的定义定义:求的运算,叫做向量的加法.对于零向量与任一向量a,规定2 .向量求和的法则三角形法则已知非零向量a,叫做a与b的和,b,在平卸内任取一点A作AB=a,BC-b,则向量AC记作,即a+b=AB+BC=04XaA已知两个不共线向量a,b,作收a,«Ab=b,以届AD为邻边作?ABCD平行四边形法则则对角线上的向量_y=a+b.3.向量的运算律交换律
14、结合律a+b=(a+b)+c=【学习过程】、探索新知思考1:如图,某质点从点A经过点B到点C,则这个质点的位移怎么表示?1 .已知向量a和b,如图在平面内任取一点0,彳oAa,aBb,则向量OB叫做a根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.口诀:。思考2:某物体受到Fi,F2作用,则该物体所受合力怎么求?2 .向量加法的平行四边形法则如图,以同一点0为起点的两个已知向量a和b为邻边作平行四边形OACB则以0为起点的对角线0C就是a和b的和,我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.0COA0B口诀思考3:向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什
15、么?注:向量的加法运算结果还是向量。对于零向量与任一向量a.我们规定例1.如图,已知向量a和6,求作向量ab°国&窑匕探究1:如果向量a和b共线,它们的加法与数的加法有什么关系?你能做出向量ab吗?探究2:结合例1,探索|ab|,|a|,|b|之间的关系。结论,一般地,有。探究3:数的加法满足交换律、结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?结论:向量加法的交换律和结合律:例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输,如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以2石km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以
16、及船实际航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表示)。【达标检测】1 .化简O丹乱即SP的结果等于()1 .QPB.OQC.SPD.SQ2 .在四边形ABCW,AC=XB+XD则一定有()A.四边形ABC国矩形B.四边形ABC四菱形C.四边形ABC国正方形D.四边形ABC国平行四边形3 .(多选题)下列命题中正确的命题是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)/a;8 .在平行四边形ABCDK必有底>ADC.若配=AD则AB,C,D为平行四边形的四个顶点;D.若a,b均为非零向量,则|a+b|<|a|+|b|.9 .若|a|=|b|
17、=1,则|a+b|的最大值为.10 已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c.参考答案:思考i.从运算的角度看,AC可以认为是AB与BC的和,即位移、可以看作向量的加法。1 .【口诀】首尾相连首尾连。思考2.从运算的角度看,可以认为是F.与F;和F;的和,即力的合成可以看作向量的加法。2 .口诀:起点相同,对角线为和。思考3.一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。作法h在平生内任取一总。图626L作砺AB=b.则宙=#十人作法加在平面内任职一咫g.,作瀛口*OB=b,以3,0日力例1.郭边作RA连接E,成3+朝肌探究1.(1)当a和b同向时,ab'ABCbabABBCAC(2)当
18、a和b反向时,a"b*BCA1IjabABBCAC探究2.由例1和探究1可得,当a和b反向或不共线时,|2b|a|b|;当a和b同向时,而b|a|而。所以,而b|向向。结论:|ab|a|b|探究3.在平行四边形ABCDKACABBCab,acADDCba,所以abba。在图(2)中,ADAbBeCdacCd(ab)c,AdAbBcCdAbbda(bC),所以,FFfFF(ab)ca(b。结论:向量加法的交换律和结合律abba,(ab)ca(b。解:(1)如图所示,AD表示船速,AB表示水速,以ADAB为邻边作平行四边形ABCD,则AC表示船实际航行的速度。(3)在RtABC中,|AB
19、|2,|BC|2«,所以,|AC|.|AB|2|BC|2.22(2“3)24,*"J-因为,tanCAB11£4至3g,所以CAB60。|AB|2所以,船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60o。达标检测1 .解析OrP>禽+弄=Ooo=Oq2 .【解析】由和超而导向=配即AD=BC且AD/BC所以四边形ABCE组对边平行且相等,故为平行四边形.【答案】D3 .【解析】选项A,正确;选项B,在平行四边形ABCD,BC/AD且BC=AQ所以命=AD,正确;选项C,A,B,C,D可能共线,所以错误;选项D,为向量的三角不等式,所以正确的命题为AB
20、D【答案】ABD4 .【解析】由|a+b|<|a|十|b|知|a+b|的最大值为2.5 .【解】在平面内任取一点Q作OA=a,Ab=b,BC=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得OB=a+b,Oc=a+b+c,O即为所作向量.«6.2.1向量的加法运算同步练习、选择题1.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的个数为(A.5B.4C.3D.22.A.在平行四边形ABCD43,下列结论错俣.的是().ABcD0B.aDaBaCC-aDBDABDADcB03.向量aBmBbObCom化简后
21、等于(A.1AM*B.0已知有向线段不平行,则(4.A.C.C.B.D.D.5.(多选题)已知点D,E,F分别是AABC的边的中点,则下列等式中正确的是()A.FDC.B.D.fDdEfEda+dE=fD6.(多选题)下列结论中,不正确结论的是A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;B.在ABC43,必有称BC+CA=0;c.若ANBC>CA=0,则a,bc为一个三角形的三个顶点;D.若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.二、填空题7 .设A,B,C是平面内任意三点,计算:ABbCcA8 .给出下面四个结论:若线段
22、AC=AB+BC则向量aCABbC;若向量aCABBC,则线段AC=AB+BC;若向量aB与bC共线,则线段AC=AB+BC;其中正确的结论有.9 .当非零向量a,b满足时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.10 .若a表示“向东走8km”,b表示"向北走8km",贝U|a+b|=,a+b的方向是.三.解答题11 .已知1sA=|a|=3,|OB=|b|=3,/AOB=60°,求|a+b|.12 .如图,已知D,E,F分别为ABCW三边BCACAB的中点.求证:ABeCf=«6.2.1向量的加法运算同步练习答案解析一、选择题1.已知a,b,c是
23、非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的个数为()A.5B.4C.3D.2【解析】依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与a+b+c相等,故选A.2.在平行四边形ABCD43,下列结论错误的是()A.ABcD0B.aDaBaCc-ADBDABD.aDcB0【解析】画出图像如下图所示.对于A选项,大小相等方向相反,结论正确.对于B选项,根据向量加法的平行四边形法则可知,对于C选项,由于,结论正确.大小相等方向相,结论正确.故选C.反,.化简后等于()3.向量*IaDdBAB,故结论错误.对于D选项,IAaMB.0C.
24、0D.AC【解析】MBBOBcGMABbOoMmBbCAOOMMBBCaMmBBCABBCAC,故选D.4.已知有向线段不平行,则(A.C.B.D.【解析】所以本题中,cD,故选d。由向量的不等式,等号当且仅当a,b平行的时候取到,5.(多选题)已知点DE,F分别是4ABC的边的中点,则下列等式中正确的是()B.FDDeFEcdEdAeCD.Da+De=fD【答案】ABC【解析】由向量加法的平行四边形法则可知,dAdEDFfD,故选ABC6.(多选题)下列结论中,不正确结论的是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;B.在ABC43,必有称BCCA=0;c.若ABB>CA=0,则a,bc为一个三角形的三个顶点;D.若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的
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