数学第一章简易逻辑

1、中等职业学校中等职业学校通用通用材材第第一一章章简易逻辑简易逻辑 （下册下册）数数 学学第第1章章 简易逻辑简易逻辑命命 题题逻辑联结词逻辑联结词四种命题四种命题充分充分、必要和充要条件必要和充要条件1.1 命命 题题（1）长城属于中国。（2）雪是黑的。（3）5是自然数。（4）1125。 可以判断真假的陈述句称为命题命题，正确的命题称为真命题真命题，错误的命题称为假命题假命题。 小写字母p、q、r、s表示命题。 当命题p是真命题时，有时可简称为p为真真；当命题p是假命题时，也可简称为p为假假。1.1 命命 题题 例 下列语句是不是命题？如果是命题，指出它的真假；如果不是命题，说明理由： （1）

2、空集是任何集合的子集。 （2）对数函数是增函数吗？ （3） （4）x5。 （5）是有理数。 （6）上课请不要讲话！ 例题解析1.1 命命 题题不是命题不是命题不是命题真命题假命题不是命题1.1 命命 题题 命题可分为两类：上面列举的命题都是用一句简单的陈述句表达的，我们把这类命题称为简单命题简单命题；而另一类命题是由一些联结词把一些简单命题连接起来构成的，我们把这类命题称为复合命题复合命题。 课堂练习 下列语句是不是命题？如果是命题，指出它的真假；如果不是命题，说明理由：1.1 命命 题题1.2 逻辑联结词逻辑联结词 根据实验可知，如图所示电路中，只有开关A、B同时闭合，灯泡D才亮。因此，灯泡

3、D亮的条件是：开关A闭合_开关B闭合。 根据实验可知，如图所示电路中，开关A、B中只要有一个闭合，灯泡D就亮。因此，灯泡D亮的条件是：开关A闭合_ 开关B闭合。 根据实验可知，如图所示电路中，开关A断开时灯泡D亮，闭合时不亮。因此，灯泡D亮的条件是：开关A _ 闭合。条件和结论连在一起可表达为_ 开关A闭合，_灯泡D不亮1.2 逻辑联结词逻辑联结词 一般地，设p，q是两个命题，用“且”字联结p，q得到一个与p和q相关的新命题，记作pq，读作“p且q”。1.2 逻辑联结词逻辑联结词一、一、且且（and) 如图，灯泡D亮的条件是：开关A闭合“且”开关B闭合。 一般地，复合命题“pq”的真假情况与两

4、个简单命题p、q的真假情况之间的关系可以归纳为下表：1.2 逻辑联结词逻辑联结词例题解析 解 （1）pq：菱形的对角线互相垂直且平分。 （2）pq：今天上海下雨且刮风。1.2 逻辑联结词逻辑联结词 例例1 将下列命题写成“pq”形式的复合命题： （1）p：菱形的对角线互相垂直。 q：菱形的对角线互相平分。 （2）p：今天上海下雨。 q：今天上海刮风。1.2 逻辑联结词逻辑联结词 （3）因为“8是奇数”为假，“37”为假，所以“8是奇数且37”为假。 例例2 确定下列命题的真假： （1）358且112。 （2）6是偶数且3。 （3）8是奇数且37。 解 （1）因为“358”为真， “112”为真

5、，所以“358且112”为真。 （2）因为“6是偶数”为真， “3”为假，所以“6是偶数且3”为假。 一般地，设p、q是两个命题，用“或”字联结p、q得到一个与p和q相关的新命题，记作pq，读作“p或q”。1.2 逻辑联结词逻辑联结词二二、或或(or) 灯泡D亮的条件是：开关A闭合“或” 开关B闭合。 一般地，复合命题“pq”的真假情况与两个简单命题p、q的真假情况之间的关系可以归纳为下表： 1.2 逻辑联结词逻辑联结词例题解析 解 （1）因为“0.5是整数”为假，“0.5是实数”为真，所以“0.5是整数或0.5是实数”为真。1.2 逻辑联结词逻辑联结词 例例 确定下列命题的真假： （1）0.

6、5是整数或0.5是实数。 （2）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边。 （3）3是5的约数或3是8的约数。1.2 逻辑联结词逻辑联结词 （2）因为“三角形两边之和大于第三边”为真，“三角形两边之差小于第三边”为真，所以“三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边”为真。 （3）因为“3是5的约数”为假，“3是8的约数”为假，所以“3是5的约数或3是8的约数”为假。 一般地，设p是一个命题，对它进行否定得到一个新命题，记作 p，读作“非p”。1.2 逻辑联结词逻辑联结词三三、非非(not) 如图，灯泡D亮的条件是：开关A“非（不）”闭合。条件和结论连在一起可表达为“如果”开

7、关A闭合，“那么”灯泡D不亮。例题解析1.2 逻辑联结词逻辑联结词 （3） r：2是质数。因为r为假，所以 r为真。 例 写出下列命题的 p形式的命题，并确定其真假： （1）p：数学家华罗庚是中国人。 （2）q：平行线相交。 （3）r：2不是质数。 解 （1） p：数学家华罗庚不是中国人。因为p为真，所以 p为假。 （2） q：平行线不相交。因为q为假，所以 q为真。课堂练习 1 1分别写出由下列各组命题构成的“pq”“pq”形式的复合命题，并判断它们的真假： （1）p：27是3的倍数；q：27是9的倍数。 （2）p：（2）24；q： 4。 （3）p：1617；q：1617。 （4）p：正方形

8、的对角线相等；q：正方形的对角线垂直。 （5）p：垂直于同一平面的两平面平行；q：垂直于同一平面的两平面相交。1.2 逻辑联结词逻辑联结词2写出下列命题的非命题，并判断其真假： （1）p：x2 0。 （2）q：23。 （3）t：梯形有一组对边平行。 （4）s：树叶都是绿色的。1.2 逻辑联结词逻辑联结词 一般地，我们把“如果p，那么q”形式的复合命题称为条件命题条件命题，其中p称为命题的条件条件，q称为命题的结论结论。1.2 逻辑联结词逻辑联结词四四、如果如果，那么，那么1.2 逻辑联结词逻辑联结词例题解析 解 （1）如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。它是假命题。 例 把下列命题

9、改写成“如果p，那么q”的形式，并判断它们的真假： （1）面积相等的两个三角形全等。 （2）负数的立方是负数。 （3）奇函数的图像关于原点对称。 （4）垂直于同一平面的两个平面平行。 （4）如果两个平面都垂直于同一平面，那么这两个平面平行。它是假命题。1.2 逻辑联结词逻辑联结词 （2）如果一个数是负数，那么这个数的立方是负数。它是真命题。 （3）如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图像关于原点对称。它是真命题。课堂练习 21判断下列命题的真假：（1）如果x3，那么x2。（2）如果x能被2整除，那么x是偶数。（3）如果xy0，那么x0。（4）如果ab，那么a 2b2 。1.2 逻辑联结词逻辑联

10、结词 2把下列命题改写成“如果，那么”的形式，判断它们的真假： （1）若ab、c0，则acbc。 （2）平行四边形的对角线互相平分。 （3）两个全等三角形的面积相等。 （4）垂直于同一直线的两平面平行。1.2 逻辑联结词逻辑联结词1.3 四种命题四种命题如果天下雨，那么露天的地面湿。 （1）变化1 把命题（1）的条件与结论互换，得如果露天的地面湿，那么天下雨。 （2）变化2 把命题（1）的条件与结论都否定，得如果天没下雨，那么露天的地面不湿。 （3）变化3 把命题（1）的条件与结论互换后再否定，得如果露天的地面不湿，那么天没下雨。 （4）1.3 四种命题四种命题 一般地，用p和q分别表示原命题

11、的条件和结论，用 p和 q分别表示p和q的否定，于是4种的形式就是： 原命题原命题 若p则q； 逆命题逆命题 若q则p； 否命题否命题 若 p则 q；逆否命题逆否命题 若 q则 p。例题解析1.3 四种命题四种命题 例 把下列命题改成“如果，那么”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并说明它们的真假： （1）负数的平方是正数。 （2）正方形的四条边相等。 逆命题：如果一个数的平方是正数，那么它是负数。它是假命题。 否命题：如果一个数不是负数，那么它的平方不是正数。它是假命题。 逆否命题：如果一个数的平方不是正数，那么它不是负数。它是真命题。 1.3 四种命题四种命题 解 （1）原命题可

12、以写成：如果一个数是负数，那么它的平方是正数。它是真命题。 逆命题：如果一个四边形的四条边相等，那么它是正方形。它是假命题。 否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。它是假命题。 逆否命题：如果一个四边形的四条边不相等，那么它不是正方形。它是真命题。1.3 四种命题四种命题 （2）原命题可以写成：如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。它是真命题。课堂练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并说明它们的真假： （1）电话是一种通信工具。 （2）如果a0，那么ab0。1.3 四种命题四种命题1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件Z整数N自然数1.4 充分充分、必

13、要和充要条件必要和充要条件 一般地，用p、q分别表示两个命题，如果p成立可以推出q也成立，那么我们就说由p可推出q，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件。 pq也可以写成qp；而由p不能推出q可记作pq。p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个内角相等。1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件 一般地，如果p q且q p，则记作p q，并称p是q的充分必要条件充分必要条件，简称充要条件充要条件。例题解析1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件 例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件：（在 “充分而不必要条件”“必要而不充分条

14、件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选择） （1）p：（x4）（x5）0；q：x40。 （2）直线l1、l2都与直线l3相交。p：同位角相等；q：直线l1、l2平行。 （3）p：四边形ABCD 是平行四边形；q：四边形ABCD 的对角线相等。 （4）p：点（x，y）在第一象限；q：xy0。1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件 （2）直线l1、l2都与直线l3相交。p：同位角相等；q：直线l1，l2平行。 解 因为 同位角相等直线l1，l2平行 且 直线l1，l2平行 同位角相等 所以p是q的充要条件。 （1）p：（x4）（x5）0；q：x40。 解因为 x40（x4）（x5）0

15、 而（x4）（x5）0成立时不一定有x40，所以p是q的必要而不充分条件。 （4）p：点（x，y）在第一象限；q：xy0 解 因为 点（x，y）在第一象限 xy0 而满足xy0的点（x，y）不一定在第一象限，所以p是q的充分而不必要条件。1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件 （3）p：四边形ABCD 是平行四边形；q：四边形ABCD 的对角线相等。 解 因为平行四边形的对角线不一定相等，而对角线相等的四边形也不一定是平行四边形，所以p是q的既不充分也不必要条件。1.4 充分充分、必要和充要条件必要和充要条件 解 因为p q且q r，所以p r，即p是r的充分条件。 例2 如果p是q的充分条件，且r是q的必要条件，那么p是r的什么条件？课堂练习 2下列各题中，p是q的什么条件： （1）p：自然数a能被4整除；q：a是偶数。 （2）