第三节三重积分 ppt课件

1、设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域任意分成任意分成 n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第 i个小闭区域，也表示它个小闭区域，也表示它 的体积的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和式，并作和式, , 如果当如果当各小闭区域的直径中的最大值各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区在闭区域域上的上的三重积

2、分三重积分，记为，记为 dvzyxf),(, , 第三节第三节 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则.积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz1. 坐标面投影法坐标面投影法 (“先一后二法先一后二法)二、利用直角坐标系计算三重积分二、利用直角坐标系计算三重积分 Dyxyxzzyxz),(),(),(:21函函

3、数数，作作定定积积分分的的只只看看作作将将看看作作定定值值，先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(yxzyxzdzzyxfxyzo D1z2z),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx设设空空间间闭闭区区域域,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz记作记作 ),(yxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区域域再再计计算算DyxF),( DyxzyxzDddzzyxfdyxF ),(),(),(),(21.),(),(),(21 Dyxzyxzdzzyxfd 记作记作 .),(),(),(),(21 Dyxzyxz

4、dzzyxfddvzyxf 即即则则若若此此时时,),()(:,21bxaxyyxyD .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf三次积分法三次积分法“先一后二法其中其中 为三个坐标为三个坐标例例1. 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 .1xyz121解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线

5、投投影影区区域域, 122 yx.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解,1110:222 xyxyxzxyz(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z2. 坐标轴投影法坐标轴投影法(截面法截面法) (“先二后一法先二后一法)解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21

6、dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111解解xyzozD,2dxdydzz . 1:222222 czbyax例例5 计算三重积分计算三重积分其中其中 : czc 2222221:czbyaxDz ccdzczabz)1(222 zyxzddd2zDyxddcczz d2.1543abc 1zxy1 o1分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”, 则有则有zxxyyIyzxdd1d2221201 zxxyyzxdd1d121022 计算较繁计算较繁! 采用

7、采用“三次积分三次积分较好较好.dyydzdxxIxxzx 111111222221dxzzxxx21032112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 解解: 1122 yzx2211xzx 11 xdzzxdxxxx 111122222211zxy1 o1考虑考虑: 若被积函数为若被积函数为 f ( y ) 时时, 如何计算简便如何计算简便? 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积

8、分表示用三次积分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中由由提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面六个平面所围成所围成 ,:zD1zD24 (4) .计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中是两个球是两个球 ( R 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺由于被积函数缺 x , y ,原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用利用“先二后一先二后一” 计算方计算方便便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(

9、2222548059RRzyxo2RP152一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其

10、值为_._.练练 习习 题题 4 4、若若 : :是是由由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所所围围成成, ,则则三三重重积积 分分 dvzyxf),(可可化化为为：( (1 1) ) 次次序序为为xyz的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .( (2 2) )次次序序为为zxy的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . ( (3 3) )次次序序为为yzx的的三三次次积积分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、计计算算 dxdydzzxy32, ,其其中中 是是由

11、由曲曲面面xyz , ,与与平平 面面01, zxxy和和所所围围成成的的闭闭区区域域 . .三、计算三、计算 xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. .一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22；