第三节极限运算ppt课件

1、第一章函数极限连续第一章函数极限连续第三节极限运算第三节极限运算一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算二、极限的运算法则二、极限的运算法则三、两个重要极限三、两个重要极限一、无穷小量及其运算一、无穷小量及其运算若函数若函数 a = a (x) 在在 x 的某种趋向下以零为极限，的某种趋向下以零为极限，则称函数则称函数 a = a (x) 为为 x 的这种趋向下的无穷小量，的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小简称为无穷小.例如，函数例如，函数 a (x) = x - x0，当当 xx 0 时，时，a (x)0，所以所以 a (x) = x - x 0 是当是当 x x0 时的无穷小量时的无穷小

2、量 . ,21)( xx 又又如如它是当它是当 x 时的无穷小量时的无穷小量.)1()( aaxx 而而是当是当 x + 时的无穷小量时的无穷小量.定理定理 1若函数若函数 y = f( x ) 在在 x x0 (或或 x )时时的极限为的极限为 A，那么，那么 f ( x ) = A a ( x )(简记简记 y = A a )， 定理定理 2有限个无穷小有限个无穷小(当当 x x0 或或 x 时时)的代数和仍然是无穷小量的代数和仍然是无穷小量 . 0)(lim 0)(lim 0) )或或( ( xxxxx 其其中中反之若反之若，)()(xAxf ，) )( (0)(lim 0)(lim 0

3、 xxxxx 其中其中那么那么 A 为为 f(x) 的极限，的极限，).)(lim()(lim 0AxfAxfxxx 或即即定理定理 3 3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. .证设函数证设函数 f (x) 有界有界.| f (x) | M .又又 a (x) 是无穷小量，即是无穷小量，即 | a (x) | e (e 为任意小的为任意小的正数正数)，那么，那么| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | M (M 0) 时，时，0 x有有那么那么OxRABC.1sinlim0 xxx证证明明证证 AOB 面积面积 扇形扇形AO

4、B 面积面积 M，M 0 时时 )， 满足满足 u ( x ) v ( x ) 或或 u ( x ) M, M 0 时时)，f ( x ) 0(或或 0)，lim f ( x ) 0 (或或 0).那么那么那那么么 . 11 的的极极限限存存在在证证明明数数列列 nnnu2.第二个重要极限第二个重要极限. e11lim xxx定理定理 8 8单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 . .证因为由证因为由nnnnnnnnnnnnnnnu 1!) 1() 1(1! 2) 1(1! 11112 2111! 3111! 212 nnn, 112111!1 nnnnn例例.11121111)!1(11

5、11 111!1 121111! 31111! 2121 nnnnnnnnnnnnun由此可知，由此可知，un+1 的前的前 n 项不小于项不小于 un 的相应项，的相应项， 而且而且 un + 1 比比 un 的展开式的展开式,11121111)!1(1 nnnnn还还多多一一个个正正项项 所以所以 un+1 un. 因而因而un 是单调递增数列是单调递增数列.此外，由此外，由 un 的展开式可得的展开式可得所以所以 un 是有界数列是有界数列. 综上所述，综上所述，un 是单调有界数列，因此极是单调有界数列，因此极限存在限存在. !1! 31! 21211nnunn 21121112121

6、211112 nn. 32131 n我们还可以证明，我们还可以证明，, 11)(时时当当函函数数 xxxfx时，时，当当或者或者 0 )1()(1 xxxfx都有极限，且都有极限，且，nnxxxxnxx 11lim)1(lim11lim10人们记这个极限为数人们记这个极限为数 e，于是有，于是有.e)1(lim11lim10 xxxxxx数数 e 是一个无理数，是一个无理数， 它的近似值可由它的近似值可由nn 11展开式中取前若干项计算，展开式中取前若干项计算，以以 e 为底的指数函数为底的指数函数 y = ex 的反函数的反函数 y = logex，叫做自然对数，在工程技术中经，叫做自然对数

7、，在工程技术中经常被运用，常简记为常被运用，常简记为 y = ln x. 它的前八位数是它的前八位数是 e = 2.718 281 8 .11lim2xxx 计计算算解因为解因为， 1111212 xxxx，且且e11lim xxx所以，有所以，有21211lim11lim xxxxxx.e11lim2121 xxx例例 1414 .1lim20 xxx 计计算算例例 1515 解方法一令解方法一令 u = -x， 因为因为 x 0 时时 u 0， uuxxux2020)1(lim1lim 210)1(1lim uuu.e12 所以所以方法二掌握熟练后可不设新变量方法二掌握熟练后可不设新变量

8、2)1(020)(1lim1lim xxxxxx 2)1(0)(1lim xxx.e12 .)1ln(lim0 xxx 计计算算例例 1616解解， )1ln(lim)1ln(lim100 xxxxxx 则当则当 x 0 时，时，u e，.1)1ln(lim0 xxx，令令xxu1)1( 所以原式所以原式 = 1，即，即.1elim0 xxx 计计算算例例 1717解令解令 u = ex - 1 ，那么，那么 x = ln(1 + u)，当当 x 0 时时 u 0. .1)1ln(lim1elim00 uuxuxx.11elim0 xxx所以所以.32lim2 xxxx计计算算例例 1818解因为解因为.3113)1(332 xxxxx所以