线性代数版chap-1new40学时

1、第一章第一章 行列式行列式1.1 全排列及其逆序数全排列及其逆序数一、全排列的定义一、全排列的定义 对于对于n n 个不同的元素，规定各元素之间由小到个不同的元素，规定各元素之间由小到大为标准排序大为标准排序. .例例 (1) 求排列求排列3412中逆序数中逆序数. 当某两个元素的先后次序与标准排序不同时，就当某两个元素的先后次序与标准排序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。列的逆序数。定义定义二、排列的逆序数二、排列的逆序数 212321.n nn逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数

2、为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.三、排列的奇偶性三、排列的奇偶性定理：对换改变排列的奇偶性定理：对换改变排列的奇偶性. 1.2 行列式的定义行列式的定义用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa 2x两式相减消去，得例例1 1;212221121122211baabxaaaa ）（1x类似地，消去 ，得,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaa

3、a方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. .一、二阶行列式一、二阶行列式 1112112212212122.aaa aa aaa二元线性方程组例二元线性方程组例1 1的解可以表示为：的解可以表示为：1122221111122122,babaDxaaDaa注意注意 分母都为原方程组的系数构成的行列式分母都为原方程组的系数构成的行列式. .1112122211122122.ababDxaaDaa .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1

4、223 D)4(3 ,07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 ,2714 DDx22 .3721 一个三元线性方程组的解问题？一个三元线性方程组的解问题？111122133121122223323113223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231, a a aa a aa a aa a aa a aa a a三、三、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义3221133123123322

5、11aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa （1 1）每项都是位于不同行不同列的三个的乘积共）每项都是位于不同行不同列的三个的乘积共6 6项项. . （2）每项的行标为标准排序，列标为）每项的行标为标准排序，列标为1,2,3的全排列，每的全排列，每项正负号都取决于列标逆序数的奇偶性项正负号都取决于列标逆序数的奇偶性333231232221131211aaaaaaaaa1 2 3123111213()212223123313233( 1).t p p ppppaaaaaaa aaaaa 1212np ppnt其中为自然数 ， ， 的一个排列， 为这个排列的逆序

6、数121212111212122212121nnnnt p ppnppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaan 阶行列式的定义阶行列式的定义说明说明例例5 5计算三角形行列式的值计算三角形行列式的值11121222000nnnnaaaaaa(1)40008300592018711122答案：nna aa(2)11212212000nnnnaaaaaa 1000940037501896D1122答案：nna aa(3)(1)21211( 1)n nnnna aa （4）(1)21211( 1)n nnnna aa n 21(1)2121.n nn ;21n n 21对角行列式对角行列式反

7、对角行列式反对角行列式1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.推论推论1 1 如果行列式两行（列）完全相同，则此行列式为如果行列式两行（列）完全相同，则此行列式为0.0.推论推论2 2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。提到行列式符号的外面。 推论推论3 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此则此 行列式等于行列式等于0.0

8、.性质性质3 数数k乘以行列式乘以行列式D，等于，等于D中某行（列）元素乘以中某行（列）元素乘以k. 性质性质4 4 若行列式中某一行（列）元素均为两数之和，若行列式中某一行（列）元素均为两数之和， 则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和，则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和， 其他各行保持不变其他各行保持不变. .性质性质5 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数 然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列 式值不变式值不变. . （注意哪一行的数在变，哪一行的数没变（注意哪一行的数在变，哪一行的数没变.

9、.）（每次只能按照一行或者一列分拆）（每次只能按照一行或者一列分拆）行列式计算的方法之一：行列式计算的方法之一： 任一任一n阶行列式均可以只经过行（列）变换化为上阶行列式均可以只经过行（列）变换化为上（下）三角形行列式（下）三角形行列式 .1213718523.58213024D 例计算121304219023140615D1213023140421906115 1213023143200084700020 r2-7r1r3-5r1r4-3r123rrr3+2r2r4-3r2r4+r31213023140084700827 12(1)(1)(1)nanb bbanb abcccanb ba 解

10、：解：D 11(1)1bbabanbba 1100(1)2,3,00ibbrrabanbinab 1()(1)nabanb 例例4abbbbabbbbabbbba 例例5答案：答案：120 121212111020010301004cc 131613111020000301004cc 1411214111020000300004cc 2例例 71.4 1.4 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 1122 3323 3212

11、23 3121 331321 3222 31222323212122111213323333313132222321232122111213323331333132()()()a a aa aaa aa aaa aa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1123456789D 2456789xyzD 11 11156( 1)389A 11 21246( 1)679A 11 31345( 1)378A 21 11156( 1)389A 21 21246( 1)679A 21 31345( 1)378A 第一个行列式第一个行列式D1第一行元素的代数余子式第一行元素的代数余

12、子式第二个行列式第二个行列式D2第一行元素的代数余子式第一行元素的代数余子式性质：两个行列式仅第性质：两个行列式仅第i行元素不同，其他行元素一样，则两个行列式行元素不同，其他行元素一样，则两个行列式第第i行元素的代数余子式对应相等行元素的代数余子式对应相等.二、有关定理二、有关定理1122,(1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain ), 2 , 1( ,2211njAaAaAaDnjnjjjjj ai1 ai2 ain Ai1 Ai2 Ain + + + D=Laplace 定理：定理：行列式行列式D等于等于某一行（列）元素某一行（列）元素与其代数余子式与其代数余子式的乘积的乘积

13、之和之和.11411DAa A按第一列展开41a 1 110( 1)01001aa 4 100( 1)1001aaaa 2211 14 1133422433000( 1)0( 1)0000abbababababa 141 4232 3()().a abba ab b1211000010000010001 nnnaaDaa例3 计算行列式1121( 1)nna aa 答案：方法：按第一列展开方法：按第一列展开 行列式计算的方法之二行列式计算的方法之二: : 利用性质将行列式利用性质将行列式D D化为某行（某列）只有一个化为某行（某列）只有一个非零元素，然后按该行（列）将行列式展开非零元素，然后按

14、该行（列）将行列式展开. .0655011012120112 造造0655110112 第第1列列展开展开2 重点题型结论：拉普拉斯公式结论：拉普拉斯公式 1111123461214916182764D 答案例 （：）222233331111123412341234D (2 1)(3 1)(4 1)(32)(42)(43) 12 2227例 b ca ca bDabcabc ()()()()abcbacacb222+ = ()()()()bc aacbabcDabcabcabc ba ca cb45645607892222111213456789xyzDxAyAzA111213xAyAzA11

15、1213456AAA某行代数余子式的数乘之和某行代数余子式的数乘之和.展开逆定理：已知展开逆定理：已知Dn，求，求k1Ai1+k2Ai2+.+knAin方法：将方法：将D中第中第i行元素换成系数行元素换成系数k1, k2, . , kn，构成新行列式，构成新行列式D1， 求求D1即得即得.行列式计算的方法之三行列式计算的方法之三: : 递推法，利用行列式展开定理，建立高阶行递推法，利用行列式展开定理，建立高阶行列式与低阶行列式之间的关系，利用递推法计算。列式与低阶行列式之间的关系，利用递推法计算。 例例10 计算行列式计算行列式521000121006012100012100012答 案：D证明证明1212112211000010000000001 nnnnnnnxxxaxa xa x axaaaaa 例例11 证明证明 n 阶行列式阶行列式2121211212121121()nnnnnnnnnnnnnnnnnDxDax xDaax DaxaxDa x