线性空间定义

1、第三章第三章 线性空间线性空间3.1 线性空间的定义线性空间的定义 3.2 线性空间基与维数线性空间基与维数 3.3 线性映射与线性变换线性映射与线性变换 3.4 特征向量与矩阵的对角化特征向量与矩阵的对角化3.1 线性空间的定义线性空间的定义一一 线性空间定义线性空间定义二二 线性空间例子线性空间例子三三 线性空间的子空间线性空间的子空间设V是一个非空集合， 在V上任意两元素元运算 + 满足如下性质：交换律交换律 ,V 有结合律结合律,V ()()有OV使得对任意,V对任意存在V使得O1）2）3）存在4）一一 线性空间定义线性空间定义定义定义1对任意的对任意的O有,V, 定义运算并记为,且,

2、V设R为实数域， 对V中的任意元素及R中的任意元素k定义运算并记为,k且,kV运算 满足如下性质：k” “1律律”15）结合律结合律6）,k lRV( )( )()klk ll k都有7）分配律分配律,k lRV都有()k lkl8）分配律分配律,kRV 都有()kkk则称V为R上的一个线性空间上的一个线性空间，简称为实线性空间实线性空间，线性空间中的元素称为向量向量。对任意的对任意的对任意的运算+称为加法加法运算，称为数乘数乘运算， 它们统称为k线性运算线性运算。O O称为零向量零向量，,O若则称为的负向量向量，并把的负向量记为。注注（1）零向量 是唯一；设OO也是零向量，则OOO由零向量

3、可得OOOO设12, 都是 的负向量，则11O12122O2（3）由负向量我们可以定义向量间的减法“-”： OO（2） 负向量是唯一的；0;O（4）对数零0及任意向量有0;O00000（5）V若数0,k 对有,kO则必有OkO11kOkk1kOkO（6）思考是否存在只有一个向量的线性空间？若存在只有一个向量的线性空间-这唯一的会是谁？称这样的空间为零空间零空间。存在- 这唯一的向量不是别的只能是零向量零向量，0;O（4）对数零0及任意向量有0;O00000（5）1; （6）0O1 ( 1) ( 1) 1; 称这样的空间为零空间零空间。进一步思考实向量空间的向量个数。思考是否存在一个向量的实线性

4、空间？存在- 这唯一的向量不是别的只能是零向量零向量，要么一个（零空间），要么无数个（非零空间）。（7）若实线性空间不是零空间，（零空间），则实线性空间必要无数个向量。设实线性空间V不是零空间， 则存在非零向量,V对不同实数12,k k必有12,kk（若12,kk这意味着12,kkO导致,O矛盾）。 对实数k,kV当实数k遍历所有实数时k在V中产生无数个向量。综上所述对于实线性空间-要么只有一个向量要么无数个向量（非零空间）。（8）定义中的实数域可以是其它域如复数域、有限域, 相应地称V为复数域、有限域上的线性空间。本书不作声明， 都是指实数域上线性空间。 简称线性空间。不过本书关于实数域上线

5、性空间大部分理论对于一般域上线性空间也成立！二二 线性空间例子线性空间例子nR例例1表示全体n维实向量形成的集合，即12,1ninaaRaRinanR关于关于n维实向量加法和数乘是线性空间。维实向量加法和数乘是线性空间。12,naaa即对12nbbb:kR1122,nnababab12,nkakakkanR显然在 零向量00,0O 12naaa向量的负向量12naaa注注nR是最重要的实线性空间。类似有复线性空间nC例例2设C是复数集，则复数集C关于复数的加法和实数乘复数为一个实线性空间。12,aa iC12,bb iCkR其中1212,a a b bR21.i 则 1122ababi12kk

6、aka i在实线性空间C中零向量为数字0；12aa i的负向量12aai 例例3m n阶实矩阵全体m nM关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间实矩阵空间）。特别的n阶实方阵全体nM关于矩阵线性运算是一个线性空间。111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb ,m nMkR111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababA Bababab 111212122212,nnmmmnkakakakakakakAkakaka 111212122212nnmmmnaaaaaaAaa

7、a m nM中的零向量为m n零矩阵。向量的负向量111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 注注nR是实矩阵空间1 nM例例4定义在集合D实值函数全体记为.F对,f gF定义 fgxf xg xkR kfxkf xxD则F关于“+”与kf成为一个线性空间(函数空间函数空间）。在函数空间F零向量为常值函数0， 即xD对任意 0O x 有f向量的负向量是f例例5 实系数多项式全体记为 ,R x则 R x关于多项式的加法于数乘多项式成为一个线性空间. 2012,mmaa xa xa xR x 2012,nnbb xb xb xR xkR 100111mmnmmmnabab xabxb

8、xb x不妨假设mn2012mmkkaka xka xka x R x中零向量为零多项式零多项式向量的负向量2012mmaa xa xa x 例例6 设为V为空间里有向线段全体形成的集合有向线段定义+：定义数乘:k长度是长度的k倍。方向是当0k 时与相同;当时与相反。kk0k 空间的有向线段集空间的有向线段集V关于加法数乘是一个线性空间关于加法数乘是一个线性空间V中的零向量为零线段（长对为零的线段）的负向量设V是一个线性空间， V 的非空子集W关于V的三三 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义2加法与数乘成为一个线性空间， 则称W是线性空间线性空间V的一个的一个线性子空间线性子空间，（简称

9、子空间）。注注（1） 子空间本身就是一个线性空间。为子空间是它在一个更大的线性空间里，之所以称其而且两者线性运算一样。（2）任何线性空间V都有子空间V和 O（零子空间零子空间），它两成为V的平凡子空间平凡子空间。三三 线性空间的子空间线性空间的子空间线性空间V 任意子集W未必是V的子空间。nR例线性空间的子集12100010,001nWeee 不是nR的子空间。（为什么？）思考思考线性空间的一个子集不含零向量零向量，这个子集是否有可能成为子空间。定理定理1线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当,W 1）对任意的有W2）对任意的,kRW有kW注注 （1）线性空间V 的非空子集W是V的子空间

10、当且仅当对加法与数乘封闭。（2）若,OW则W一定不是V的子空间（为什么？）。推论推论1 线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的, ,k lRW 有.klW推论推论1*线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的11,mmkkRW有2m 11mmkkW例例7设S是n元齐次线性方程组解向量集，11 1122121 122221 12200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxa x即A其中nSRAO为方程组的系数矩阵。 显然S是nR的非空子集，且,S 有A对任意即S对任意,kRS有A kk AkOO即kS定理定理 2 n元齐次线性方程组解向量集S

11、是nR的子空间。OOOAA思考思考 n元非齐次线性方程组解向量集是否是nR的子空间。例例9n阶上（下）三角方阵全体是nM思考思考的一个非平凡线性子空间。 记该子空间为nTM（1） 请举出nTM一的个非平凡线性子空间，这样的子空间是 的一个非平凡线性子空间吗？nM（2）一般地，若0V是 的一个（非平凡）子空间，1V1V是 的一个（非平凡）子空间,2V那么0V是否是 的一个（非平凡）子空间？2V例例8复数集C关于复数的加法与实数乘复数成实线性空间，C的真子集实数集R是C的一个非平凡线性子空间。例例10定义在区间若F, a b实值函数全体，我们前面知道它关于函数的加法与常数乘函数形成线性空间。用,a bC表示定义在区间, a b连续实值函数全体；,a bD表示定义在区间, a b可导实值函数全体。则,a bC是F的一个非平凡线性子空间；,a bD是,a bC的一个非平凡线性子空间；是F的一个非平凡线性子空间。,a bD例例11例例12有向线段全体是V的一个非平凡子空间。nP表示次数小于n的实系数多项式全体， 则nP是 R x的一个非平凡线性子空间。V为是空间有向线段全体关于有向线段的加法与