概率论与数理统计期末考试卷附答案

1、概率论与数理统计期末考试卷课程名称：概率论与数理统计考试时间3分，共18分)专业 班学号 姓名题号一一三四五总得分得分评卷人复核人,A, A2, A3相互独立，则(1) A，A2，A3至少出现一个的概率为 ； (2) A1, A2, A3恰好出现一个的概率为2.设 XN(1,22), YP(1), xy 0.6 ,则 E(2X Y 1)23 .设X,Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为Fx(x) , FY(y)则Z max X , Y的分布函数是 。2 .4 .若随机变量 X服从正态分布N( , ), Xi,X2,X20是来自X的一个样本，令1020Y 3 Xi 4 Xi,则Y服从

2、分布。 i 1i 11_xe xy, y 05 .若对任意给定的 x 0,随机变量y的条件概率密度 fyz(yx)则y0，其它y关于x的回归函数 y|x (x) .得分 二、单项选择题(每小题2分，共10分)1 .设函数f (x)在区间a, b上等于sinx ,而在此区间外等于0,若f (x)可以做为某连续型随机变量 X的密度函数，则区间 口，3为()。(A)0,；2(C) , 0；2(B)(D)0,；0,。与方差 2都存在，样2 .假设随机变量 X的概率密度为f (x),即Xf (x),期望本Xi,X2, ,Xn(n 1)取自X, X是样本均值，则有()(A) X f(x)；(B)minXi

3、 f(x);1 i nn(C) maxXi f(x) ;(D) (Xi，X2，,Xn) f(xj1 i ni 1223.总体XN(,), 已知，n ()时，才能使总体均值的置信度为0.95的置信区间长不大于 L。( (1.96) 0,975)(A) 15 2/L2；(B) 15.3664 2/L2；22(C) 16 2/L2;(D) 16。4.对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，F 检验法和t检验法，下列说法正确的()。(A) F检验法最有效；(B) t检验法最有效；(C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的；(D) F检验法和t检验法，可以代替相关系数的检验法。22

4、X5.设X1,X2, ,Xn来自正态总体 N( , 2)的样本(2已知),令u 尸，并且u/ . n 5满足uv2/21?ex/2dx 1(0u 1 -1),则在检验水平下，检3金H。0时，第一类和第二类错误的概率分别是()和().(A) P| u | u | 当 H 0 成立;1 .2(B) P| u | u|当 H 0 不成立;1 _2(C) P| u | u |当 Ho成立;1 -2(D) P| u | u|当 H 0不成立。1 .2三、计算题(每小题10分，共20分)1.设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.

5、2,被命中两发而被击毁的概率为0.6,被命中三发而被击毁的概率为 0.9,求：(1)三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；(2)在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。解：设事件A, B,C分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标， D表示目标被击毁， Hi表示有i门炮同时击中目标(i 1,2,3),由题设知事件 A, B,C相互独立，故P(A) 0.2, P(B) 0.3, P(C) 0.5;P(D | Hi) 0.2, P(D|H2) 0.6, P(D | H 3) 0.9P(Hi) P(ABC ABC ABC)P(ABC) P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P

6、(C) P(A)P(B)P(C)0.47P(H2) 0.22, P(H3) 0.03(1)由全概率公式，得 3P(D) P(Hi)P(D|Hi) i 10.47 0.2 0.22 0.6 0.03 0.9 0.253（2）由贝叶斯公式，得P(ABCD)P(ABC|D) ()P(D)P(ABC)P(D | ABC )P(D)0.2 0.7 0.5 0.20.2530.05542.随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量1 若 U 1 vX，YX 1 若 U -10试求：（1） X和丫的联合概率分布; E(X Y) ； (3) Z22 .X Y的概率分布。解：（1）因随机变量U在区间2,2上

7、服从均匀分布，故P(X 1,Y1) P(U1,U 1) P(U 1)11-dx24P(X 1,Y0) P(UP(X 1,Y1) P(UP(X 1,Y0) P(U1,U11) P( ) 0;1 111,U1) P( 1 U 1) dx 1422111,U1) P(U 1) dx 1 44故X和Y的联合概率分布如下:31E(Y) ( 1) 4 0 413 1故 E(X) ( 1) - 1 -44 2_13E(X Y) E(X) E(Y) 2 4(3) Z X2 Y2的概率分布为一22Z X Y12p1/43/4四、计算题(每小题10分，共20分)1.设随机变量X具有概率密度函数f(x)当0 x0

8、其他试求(1)常数A; (2) Y sinX的概率密度函数；(3) P(| sin X | 1/2)。解：(1)由 f(x)dx 1 得Ax 12 A-dx 2 Ax |0- 1,得 A 2 ;022 22(2)由于X在(0,)内取值，Ysin X的取值区间为(0, 1),故Y的可能取值区间外，fY(y) 0,故Y y 0 X arcsin y arcsin y XarcsinyfX(x)dxarcsin yFY(y) PY y 0 fX (x)dx2x .arcsinyf在上式两端对y求导，得,、 2arcsin y 2(p - arcsin y) 2 pY(y) =+= - .2 2 .

9、2 2 2 p 1- y p 1- y p 1- y1(3) P(| sin X < 1)= 21、22.2.二 1dy = 一 arcsin y =p2 1- y2p2.设二维随机变量（X, Y）的联合分布密度为24(1 x)y p(x y) 00 x 1, 0 y x其它求随机变量X与Y的边际分布;(2)若X ,Y分别为一矩形木板的长与宽，求木板面积的数学期望;求条件分布密度Pyix （y I解：（1）Px(X)p(x, y)dy1x )。2x0 24(1x) ydy 12(1x)x2PY(y)0p(x, y)dx y24(1x)ydx212y2(y 2)(2)E(XY)xyp( x

10、, y)dxdyD (x,y)|01,0 y xD1dx04151时,1当x 一时,2（ 每小题10分,x0 24xy(1 x) ydyPyix (y |x)P(x,y)Px(x)2y2 x1Pyix (y I x 2)8y共20分）1、设总体X的分布律为P(X x) p(1 p)x1,x 1,2,L ,其中p 0为未知参数,Xi,X2, ,Xn是来自总体X的样本，试求：(1) 参数p的矩估计量；(2)参数p的极大似然估计量(只需列出方程) 。2、假设随机变量 X服从正态分布N( ,1), x1,x2, ,x10是来自X的10个观察值，要在0.05的水平下检验Ho：00, H1：0取拒绝域为R

11、 | x | C。求C ?；(2)若已知x 1,是否可以据此样本推断0(0.05);0的拒绝域，试求检验的显著水平。(3.64) 0.99985 。(3)如果以其中(1.96)|x| 1.15作为该检验Ho :0.975 ,(1.64) 0.950,解：(1) H0 :00； Hi:0选择统计量当 0时，Ux N(0,1)0 /、n0.05因此拒绝域 R | U | 1.96 .10x 1.96 | x | 0.62即 C 0.62(2)对于x 1 0.62,即x R,因此不能据此样本推断0;对于 0.05,查表知 P| U | 1.96(3) P| x | 1.15P| . 10x | 1.15.101 P| J0x | 1.15,10 1 2 (3.64) 1 0.0003由于检验的显著水平就是在0时成立时拒绝H 0的概率PU R P| . 10x | 1.15.10 0.00031.设 P(A) 0,试证：P(B | A)1 Pjf)P(A)证明： 因为 P(A B) 1,即 P(A) P(B) P(AB) 1P(A) P(B) P(