动态微分方程

1、动态微分方程第一页，共11页。二、列写系统微分方程的步骤二、列写系统微分方程的步骤 1、确定系统的输入量和输出量 2、根据系统所遵循的基本定律，依次列写出 各元件的微分方程 3、消中间变量，得到只含输入、输出量的标 准形式第二页，共11页。L iU2U1RC三、举例三、举例 例1：设有由电感L，电容C和电阻R组成的电路，如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的微分方程。第三页，共11页。U2U1RLCi（1 1）确定电路的输入量和输出量）确定电路的输入量和输出量解解：U1U1为输入量，为输入量，U2U2为输出量为输出量（2 2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方

2、程）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程（3 3）消去中间变量，得到）消去中间变量，得到U2与与U1的关系方程的关系方程)3()2(1) 1 (2121UdtdiLRiUidtCUUdtdiLURiUUUUUCLRCLR对（2）式求导得 22,1UCiiCU即代入（3）式并整理得 122222UUdtdURCdtUdLC第四页，共11页。例2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受到外力作用产生位移Y，求该系统的微分方程。解：解： （1 1）确定输入量和输出量）确定输入量和输出量输入量：外力输入量：外力F F（t) t) 输出量输出量: :位移位移y(t)y(t)（3 3）消去中间

3、变量，得到）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程输入与输出的关系方程（2 2）列写原始微分方程）列写原始微分方程KBFFFFma其中其中dtdyfFB阻尼器的粘性摩擦力阻尼器的粘性摩擦力KyFK弹簧的弹力弹簧的弹力（1 1）将以上各式代入（1）式得 整理得 KydtdyfFdtydm22FKydtdyfdtydm22第五页，共11页。例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统微分方程。解：解：raxu Cxn （1）确定输入输出量 输入量ua， 设 输出量n，设 （2）列微分方程等效电路如图所示 电枢回路的微分方程： nCEeanCdtdilriueaaaaaeC-电势常数 电动机机械

4、微分方程 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：dtdnGDTTTfunian3752（2-2）（2-1）第六页，共11页。电动机机械微分方程 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：dtdnGDTTTfunian3752其中dtdfwfTnian.，通常忽略不计。 电动机电磁转距与电枢电流成正比 amiCT （3）消去中间变量 将（2-3）带入（2-4）得 （2-3）（2-4）（2-5）（2-6）dtCdnGDima3752222375dtndCGDdtdima第七页，共11页。将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得 eaemaemcundtdnCCrGDdtndCCRaGDRaLa37

5、53752222（2-7）令： aaarLT -电动机机电时间常数 meamCCrGDT3752-电动机电磁时间常数 得 eammaCundtdnTdtndTT2（2-8）若以 为输入，电动机转角 为输出 audtdwwn602dtdn302230dtddtdn332230dtddtnd 将（2-9）（2-10）（2-11）带入（2-8）得 eammaCudtddtdTdtdTT105. 02233（2-9） （2-10） （2-11） （2-12） 第八页，共11页。例例4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统 微分方程。 第九页，共11页。(2)编写各环节的微分方程解：(1)确定系统输入输出量 输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速n=Xc. 1）比例放大环节 0321III0120201RURURUkfg假定0201RR)()()(10112020112fgfgfgkUUKRUURRURURU，有2）可控硅整流功率放大环节Ud=KsUk ； Ks-电压放大系数 (2-15) (2-16) 第十页，共11页。3）直流电动机edmmdCUndtdnTdtndTT22其中 memCCRGDT3752RLLTdsd R电动机回路和可控硅整流电路总电阻 4）反馈环节sffnKUsfK比例系数 (3) 消去中间变量 (2-17) 将式（2-15）（2-16