冈萨雷斯-数字图像处理第3版习题-143

1、4.16证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的首先列出平移和旋转性质：f(x,y)ej2(UoX/Mv°y/N)F(uu°,vv0)(4.6-3)f(xx°,yy°)F(u,v)ej2(X)r/My°v/N)(4.6-4)旋转性质：xrcos,yrsin,ucos,vsinf(r,°)F(,°)(4.6-5)证明：由式(4.5-15)得:3伏工»把屋醴曲必+9叫二ZZf(xry)e+?一/2北("重/屈+"17.)由式(4.5-16)得:3Tf/MG2dz依次类推证明其它项。J=flJ

2、=OM-1JV-1x=D=0F(W-E加.-哂IAY-1N1加2区出“,0eT"(MuM=0v=0xej2n(ux/M-uy/N)府与空uMXej2n1(it(x-x)/M+r(y-)/V)f(x-xy-y4.17由习题4.3可以推出1(u,v)和(t,z)1。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数f(t,z)Acos(2u°t2v°z)的傅里叶变换是一、Ar,、F(u,v)-(uu°,vv°)证明：(uu°,vv°)精选F(u,v)f(t,z)ej2(utvz)dtdzj2(utvz)Acos(2uot2v0z)

3、edtdzj2(uotvoz)j2(uotvoz)j2(utvz)eeedtdzj2(uotvz)j2(utvz)eedtdzAj2(uotvz)j2(utvz)Aeedtdz一22(uuo,vv0)(uu0,vvo)2一(uuo,vvo)(uuo,vvo)24.18 证明离散函数f(x,y)1的DFT是1(u,v)1,uv00,其它证明：离散傅里叶变换F(u,v)f(x,y)ex0y0j2(ux/Mvy/N)1j2(ux/Mvy/N)j2(ux/Mvy/N)如果uv0,11,否贝U:M1N11cos2(ux/Mvy/N)jsin2(ux/Mvy/N)x0y0M1N1考虑实部，1cos2(ux

4、/Mvy/N),cos2(ux/Mvy/N)的值介x0y0M1N1于-1,1,可以想象，1cos2(ux/Mvy/N)0,虚部相同，所以x0y01(u,v)1,uv00,其它4.19 证明离散函数cos(2uox2voy)的DFT是1rF(u,v)-(uMuo,vNvo)(uMuo,vNvo)精选证明:F(u,v)cos(20UoX2、j2(ux/Mvy/N)v°y)e(u°xv°y)j2(u0xv0y)j2(ux/Mvy/N)e00e(u°xv0y)eMj2(ux/Mvy/N)j2(u°xv°y)j2(ux/Mvy/N),e)M1N

5、1ej21N(Mu°x/MNv°y/N)j2(ux/Mvy/N)ej2(Mu°x/MNv°y/N)j2(ux/Mvy/N),e)1r万(uMU0，vNV。)(UMU0,vNV0)j2(ux/Mvy/N)f(x,y)e04.20 下列问题与表4.1中的性质有关。 (a)证明性质1的正确性。 (b)证明性质3的正确性。(c)证明性质6的正确性。 (d)证明性质7的正确性。(e)证明性质9的正确性。(f)证明Tt质10的正确性。 (g)证明性质11的正确性。(h)证明性质12的正确性。(i)证明性质13的正确性。精选表4.1二维DFT及其反变换的某些对称性质“

6、印u,V)和uM分别是Fiu.v)的实吝联口虚部7术语复函数指出一个函数有非零实部和虚部空间城3)4)5)6)7)田4)10)11)/(AV)麻函数G/(Aty)实函数=外小尸)虚的数=/(一二-芋)实函数0/口£-)复函数0/*(司功篁函数=八匕.刃实函数和偶函数=ff¥._V)突函数和奇函数=f*.F)冷函数和偶函数=fiy)虑函敕和奇函较ofq._v)复函数和儡函数0/(匕用且函数和奇函数0股率域，F，回忆可知.印，是离散(整数)变鼠，工和口在区间似MT1内.V和但在区间以川71内一布一个发函数是偶函数意味若其实部和虚郡都是阳函数,称-个复函数为奇函教同群克味苕苴实部

7、和虚即都是价函数(a)当f(x,y)为实函数，则*M1N1F(u,v)f(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)x0y0M1N1*f(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)x0y0M1N1f(x,y)exp(2ux/Mvy/N)x0y0F(u,v)(b)当f(x,y)为实函数，则F(u,v)R(u,v)jl(u,v)和F(u,v)R(u,v)jI(u,v)*并且F(u,v)R(u,v)jI(u,v)。而且F(u,v)F(u,v),所以可以得到：R(u,v)jI(u,v)R(u,v)jI(u,v),便是R(u,v)R(u,v)为偶函数和I(u,v)I(u,v)为奇函数。精选(”,/)F(n)F*

8、=-Fu.v)阳Hja)假函数;/(W,V)奇函数R(U.V)力函数:7(UhV)偶函数产气如甘)复函数F(T,f)熨函数复函数F(w.vi实函数和偶函数Rmj虚函数和奇函数F(出门虚函数和科函数Fg)寰函数和奇函数F(u,v)复函数和偶函数四明门复函数和奇函数当f(x,y)为复函数，由下式得:f(x,M1N1y)f(m,n)exp(j2m0n0um/Mvn/N)1*0f(m'n)exp(j2um/Mvn/N)F(u,v)所以得证；*(d)当f(x,y)为复函数，由下式得:*f(x,y)M1N1*f(x,y)exp(j2m0n0ux/Mvy/N)m0n0*F(u,v)所以得证；f(x,

9、y)exp(j2ux/Mvy/N)(e)当f(x,y)为实函数、奇函数，则F(u,v)的实部为0,即为虚数，且也是奇数。F(u,v)M1N1f(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)x0y0M1N1f(x,y)exp(j2(ux/M)exp(j2vy/N)x0y0M1N1oddevenjoddevenjoddx0y0M1N1oddevenM1N12jevenevenx0y01N1oddeven由式可知，为虚数。当f(x,y)为虚函数、偶函数，由下式得:精选F(u,v)M1N1f(x,y)exp(2ux/Mvy/N)x0y0M1Njg(x,y)exp(j2ux/M)exp(j2vy/N)M1Nj

10、evenevenjoddevenjoddx0yM1Njeveneveneven2jevenoddoddoddevenevenx0y01N1evenoddM1NM1N1jevenevenx0y0所以F(u,v)为一虚数。(g)当f(x,y)为虚函数、奇函数，由下式得:M1N1F(u,v)joddx0y0M1N1joddevenx0y0M1N1joddevenx0y0可知，结果为一实数。eveneven2jevenjoddevenjoddM1N12evenevenx0y0odd1Noddodd1oddeven0y0(h)当f(x,y)为复函数、偶函数，由下式得:f(x,y)fre(x,y)jM1N

11、1f.(x,y)F(u,x)fre(x,y)jfie(x，y)exp(j2ux/Mvy/N)x0y0M1N1fre(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)1N1fie(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)x0y0由式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数。(i)当f(x,y)为复函数、奇函数，由下式得：M1N1F(u,v)f(x,y)jf(x,y)exp(j2ux/M,vy/N)八八roiox0y0M1N1M1N1fro(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)jfio(x,y)exp(j2ux/Mvy/N)x0y0x0y0由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。节中

12、在讨论频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0值(见上面的左图)。如果我们把图精选像放在中心，四周填充0值（见上面的右图），而不改变所用0值的总数，会有区别吗？试解释原因。答：如下图所示精选fg)0200400(i)E4.36左边：两个离散函数的卷板口右边:相同函数的卷积，考虑DET周期性的应用。注意在（j）中铸近周期的数据如何混漕卷积结果观察上图，左图是正确的结果，右图是缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充，只有通过填充之后获得适当的间距才能得到正确的卷积结果。精选关键在于得到适当的间距”，左右两种填充可以得到

13、相同的结果。4.22同一幅图像的两个傅里叶频谱如右图所示。左边的频谱对应于原图像，右边的频谱图像使用0值填充后得到的。解释右图所示的谱沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的原因答：除非原图像中所有的边界都是黑色的，用0值填充图像的边界将不可避免地在图像的一条或多条边界上引入灰度值变化的不连续性，即新增了水平边界和垂直边界"，边界”意味着高频分量，所以，对应到频域中，我们看到了沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的现象。4.23由表4.2可知DFT的直流项F(0,0)与其对应的空间图像的平均值成正比。假定图像尺寸是MN0假如对图像进行0填充后，图彳a的尺寸为PQ,其中P和Q分别由式

14、(4.6-31)和式(4.6-32)给出。令Fp(0,0)代表填充后的函数的DFT的直流项。(a)原图像平均值和填充后图像平均值的比值是多少？(b)Fp(0,0)F(0,0)吗?假设从数学角度回答。解：(a)图像灰度平均值的计算：精选M-1jV-1f(xfy)=诉/=oy=Q所以p_Q_1fP(xty)而£Z%(x，y)YxOy=07x0y=0MN-原图像平均值和填充后图像平均值的比值是(b)是的，它们相等。解释:我们知道F(O,O)=MN/(x,y)%(O,O)=PQfp(x,y)结合(a)的结论，可以证明。4.24 证明表4.2中的周期性质(性质8)精选表42DFT定义及相应表达

15、式小结石穆赛达式口小工钟的胤敌那甲叫变押DHroE母广加的离假佛里明反也换IDFT1MTNT门二W=77Z72.2-RwJ*MNii|3堤小近表示FfUdUFlfirj%洒"'4)潸fl-Re*J(fJ：却相储<MtLT=an?jn_ffui.lI酊助率请热HEI.Ffut.ri-n均被W1/(j.y)VVfLtBv>*MM±七:Ml8）周神鬼和身为整世F(uMmFUi+A.jV/.t>-Fbi.Visf(m1Mfix.y)-/i|,i+1:M,v1/(x¥+1Ml=/1/+氏/。、+Jt?")*赣相M-liV-lfix.y)=

16、£工y-ifr)apdf»4l10）相美y)=££jf=mn加flrlwnH）二rtDFT时以即曳件图像的仃刖：廿首吃DFT口换.优后沿清果的砥£-转变撞M4JL1节使用正变捶独居于州用叶反奥Hpal4-ritt折册,梅门心人卅筲止叁操的将法n：就右触中.播用，网n”取贰其树郝憾晚可增出希般的反常弹V.4,!12W证明：离散傅里叶变换M1N1F(u,v)f(x,y)ej2(ux/MSx0y0MINIf(x,y)vy/N)1j2(ux/MF(u,v)eMNu0voMINIF(uk1M,v)f(x,y)ex0y0j2(ukiM)x/Mvy/NMIN

17、If(x,y)ex0y0j2ux/Mkixvy/NMINIf(x,y)ex0y0j2(ux/Mvy/N)j2kixef(x,y)e0j2(ux/Mvy/N)F(u,v)精选MINIF(u,vk?N)f(x,y)ex0y0j2ux/M(vkzN)y/NMINIf(x,y)ex0y0MINIf(x,y)ex0y0MINIf(x,y)ex0y0j2ux/Mvy/Nk2yj2(ux/Mvy/N)j2k2yej2(ux/Mvy/N)F(u,v)其它证明类似。4.25 下列问题与表4.3中的性质有关。(a)证明一维情况下离散卷积定理的正确性。(b)对于二维情况，重复(a)(c)证明性质9的正确性。(d)证

18、明性质13的正确性。(注意：习题4.18、习题4.19和习题4.31也与表4.3有关)表43DFT对的小结第12项和第13项中的闭合表达式仅对连螳变量樗效一通过对闹合影式的连续表达式取样后、它们也可用于西散变量名称OFTfl1)见表4一2)钱件用甚11f九J"C口'面,*1|*力与旧力3)科维停)八3¥讪【心前v0网时4)平昨回粒利不的中工小心小门1点/UrX-lL'0r(U-lfZ2,M-V/2人上心<F2,T-用/好0f&以-1广5)旋转1/恒的日u血ie5/1毕-一松解昵电八4>)*AU,v)O/f1用F幽工jrj07)相关定Lt门

19、+用i.V*Fifl»«)离荒单位冲激19)蚯形端trreel口/|e*u疟加%汨厘(MmltmbhkdiEttm"加茄m+*”2+*端一加"一N%)精选名称._旷V；余晟落数L2Ml+2x1-1y)»!|捅面+M叫卜r*N'J+占(闻*仙5*=N*“i-一!K琳蟆晔壹及时推导.力比除鹏帆期j和；K卡网变时f"和新浏霹变M一概蝎何收悍G二W也聚回用产DFT处理、就才建地的表山隈定/HJ=u：停图加4-M"山):珀方沙色-1-estiljtjtf1；1j2xvF(p.v)Jr去”:MJA0"(4是#出it电速

20、超由就亡部过。埴先向册列/犷履珞祖和烟工一星站台曲一出用汁"i：川“证明：(a)一维情况下离散卷积定理的证明由(4410)以及一维离散傅里叶变换的定义可知M1f(x)*h(x)f(m)h(xm)(4.4-10)m0一维傅里叶变换：M1F(u)f(x)ej2ux/M,u0,1,2,.,M1(4.4-6)x0M11j2ux/Mf(x)F(u)e,x0,1,2,.,M1(4.4-7)Mu0Vf-lx=o=zzfmhxm)g-芦j“八忖x=Qm=0M-M-l=h(x2Mg/m?n=0x=0而：MIZm)ej2r:ux/M=3h(x-m)=H(_u)ej27imu/Mx=0所以：精选M-l3f

21、WhW=Zf(m)e-j2nmu/MH(u)=F(u)Hku(b)由(a)可知MTNT££f(x,y'十叩/N)x=0y=0M-N-1zzf(mrnh(xmty-n=(J«=0Af-1N-szjr=Oy=0Xg-/27r(h/M+叩/N)mryn)£工/(加川£矛(父一m=0"=0x=0y=0X©J24HK/M+uy/N)AJ-1N-izz/(m,02-WmwW/N)H(心功m=0“=0F(utv)H(ufv(c)矩形波recta,b的傅里叶变换:sin(ua)sin(ub)j阳vb)9recta,babeuaub(

22、d)证明性质13的正确性。2222222性质13A22e2(tz)Ae(uv)/24.26(a)证明连续变量t和z的连续函数f(t,z)的拉普拉斯变换满足下列傅里叶变换对拉普拉斯变换的定义见式(3.6.3):2-222_f(t,z)4(uv)F(u,v)(提示：研究表4.3中的性质12并参阅习题4.25(d)(b)前面闭合显示的表达式仅适用于连续变量。然而，使用MN滤波器222H(u,v)4(uv)它可能是离散频率域实现拉普拉斯的基础，H(u,v)42(u2v2),精选u0,1,2,.,M1,v0,1,2,.,N1o解释您怎样实现这个滤波器。(c)正如您在例4.20中看到的那样，频率域的拉普拉

23、斯结果类似于使用中心系数为-8的空间模板的结果。请说明频率域拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间模板的结果不同的原因。(a)证明：由第3章可知，两个连续变量的拉普拉斯函数f(t,z)定义为根据表4.3中的性质12,可得拉普拉斯函数的傅里叶变换为3铲小匐=§帘+3驾呵1at1dzL'J=F(p,v)+(J2nv)2F(p,v)=-4荷/+吟F(my).得证。(b)答：由前面的推导可以看出，拉普拉斯滤波器适用于连续变量。对离散傅里叶变换，我们可以通过对拉普拉斯函数进行采样来构造相应的滤波器：月(4”)二一4n2(小十#)其中，u0,1,2,.,M1,v0,1,2,.,N10当傅里叶

24、变换是圆形形式时，频域的拉普拉斯滤波器可以表示为H(u,i/)=-4tt2(w-M/22+v-N/2)总之，对空域和频域之间的变换，我们使用以下拉普拉斯傅里叶变换对：八犬-4tt2(uM/22+vN/2iF(u,v)核心思想是：离散的拉普拉斯傅里叶变换是通过对连续的拉普拉斯傅里叶变换进行采样得到的。(c)由于拉普拉斯变换是各向同性的，如果空域中的模板包含了对角分量，则拉普拉斯变换的对称性的近似程度更大。所以，相比于中心系数为-4的空间模板,中心系数为-8的空间模板更加类似于频率域的拉普拉斯结果。4.27考虑大小为55的空间模板，它平均与点(x,y)最靠近的12个邻点，但平均值排除该点本身。精选

25、(a)在频率域找出与其等价的滤波器H(u,v)(b)证明您的结果是一个低通滤波器。解：为了节省时间，以下不用55,而根据英文版习题答案进行回答空域的均值(中心点除外)为以/)=1f(x.y+l)+f(x+lty)+f(x-+-1)4由表4.3中的性质3可得:£小”/¥+炭如"时+e-j2u/Mfe-j2zv/Nutr)其中/(UjU)=-cos(27Tzz/M)+COS(2fTP/Af)(b)为了解释这是一个低通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式(以廿)=;cos(2ttu+cos(2jtpN/2/N为了便于解释，我们先考虑一个变量。当u从0增加到M-1时，

26、cos(2uM/2/M)的值从-1增加到1,又从1减小到-1,当uM/2时，达到最大值1。因此，越远离中心点，该滤波器的值越小，这就是低通滤波。4.28 基于式(3.6.4),近似二维离散微分的一种方法是计算形如f(x1,y)f(x1,y)2f(x,y)和f(x,y1)f(x,y1)的差。(a)在频率域找出与其等价的滤波器H(u,v)。(b)证明您的结果是一个高通滤波器。(a)解：根据离散傅里叶变换DFT的定义和表4.3性质3可得f(x1,y)f(x1,y)2f(x,y)ej2u/MF(u,v)ej2u/MF(u,v)2F(u,v)所以f(x1,y)f(x1,y)2f(x,y)H(u,v)F(

27、u,v)精选其中j2u/Mj2u/McH(u,v)ee22cos(2u/M)1(b)为了解释这是一个高通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式H(u,v)2cos2(uM/2)/M1当u从0增加到M-1时，cos2(uM/2)的值最初为-1,在uM/2时为1,在uM1时为-1,H(u,v)的值从-4变到0,再从0变到-4。所以，越靠近中心点，H(u,v)的幅度越小，因此，这是一个高通滤波。4.29 找出一个等价的滤波器H(u,v),它在频率域实现使用图3.37(a)中的拉普拉斯模板执行的空间操作。解：滤波函数如下：)=f(x+l»y)+/(x-Ly)+f(xty+1)+f(xty-

28、1)-4/(x,y)正如4.28,=H(uty)F(utv)其中，+e-j2nu/M+e-j2JN_4=2cos(2nu/M)+cos(2nv/N)-2.将频率转移到中心点，H(utv)=2cos(2u-M/2/M)+cos(27rN/2/N)2当5M=(M/2,N/2)时H5M=0。越远离中心点，廿)的幅度越大。最重要的一点在于：直流分量被滤除，保留了高频分量，所以这是一个高通滤波器。4.30 您能想出一种使用傅里叶变换计算(或分部计算)用于图像差分的梯度幅度见式(3.6-11)的方法吗？如果您的回答是可以，那么请给出一种方法去实现它。如果您的回答是不可以，请解释原因。答：M(x,y)mag

29、(f).g2g；(3.6-11)精选无法通过傅里叶变换进行上式的计算，因为傅里叶变换是一个线性过程，而该式中涉及到平方和平方根等非线性计算。我们能够利用傅里叶变换计算差值，但是,不能用其处理平方、平方根、绝对值等运算，只能在空域里面处理这些运算。4.31在连续频率域中，一个连续高斯低通滤波器有如下传递函数：H(u,v),22、JuV)e证明相应的空间域滤波器是h(t,z)e22(t2z2)证明:Wewarntoshowthat丁收-四回JW=及皿2小小印“叫Theexplanationwillbedearerifwestartwithonevariable.Wewanttoshowthat,i

30、fthenh(t)=3-1H=Ie-舟*=产.Wecanexpresstheintegralintheprecedingequationsas/2(f)=广才M寸也炉R1加-oaMakinguseoftheidentity£?T)21f2f2(zn)2(r3r2e2e2=1inTheprecedingintegralyields/j(f)=enr'OOc点/一J4mT，rHl4口J-0'2Next,wemakethechangeofvariablesr=*一j2;rcr?r.Then,dr=diandtheprecedingintegralbecomes精选och(r

31、j=edr.J-CKFinally,wemultiplyanddividetherightsideofthisequationby/STrcandobtain2)=而“-"焉TheexpressioninsidethebracketsisrecognizedastheGaussianprobabilitydensityfunctionwhosevalueironi-ooiooois1.lThereibrehh(t)=ae-22tWiththeprecedingresultsasbackground,wearenowreadytoshowthat=衣卡+M2=42m%I/f,+*.By

32、substiditingdirectlyintodiedefinitionoftheinverseFouriertransformwehave:£(一事一I-heintegralinsidethebracketsisrecognizedfromhepreviousdiscussiontobeequalLua-rThenjheprecedingintegralbecomeshttz)=Ay/27t(ye-ocWenowrecognizeiheremainingintegraltobeequaltoy/2n<je2zZij2zfromwliicliwehavethefinalres

33、ult:=42m5纭尸俨/L4.32 如式(4.9-1)说明的那样，从低通滤波器的传递函数得到高通滤波器的传递函数Hhp是可能的:Hhp1Hlp使用习题4.31中给出的信息，回答空间域高斯高通滤波器是什么形式?解：对Hhp进行傅里叶反变换得_2,22、hHP(t,z)(t,z)e(z)精选4.33 考虑右侧所示的图像。右侧的图像是通过如下步骤得到的：(a)用(1)(xy)乘以左侧的图像；(b)计算DFT;(c)取该变换的复共轲；(d)计算反DFT;(e)用(1)(xy)乘以结果的实部。(从数学上)解释为什么右边的图像会出现该现象。D.IPd*I*(I证明：取共腕的傅里叶逆变换:f(x,y)MI

34、NIF(u,v)*ej2MNuov0(ux/Mvy/N)M1N1而u0v0F(u'v)ej2(ux/Mvy/N)*M1N1F(u,v)ej2(ux/M0小)MNu0v0M1N11j2u(x)/Mv(y)/NF(u,v)eMNu0v0f(x,y)所以变换后的图像与原图像关于原点对称。4.34图4.41(b)的水平轴上近似周期性的亮点的来源是什么？答：这些亮点的来源是左图中左下角等间距的垂直线条。4.35图4.53中的每一个滤波器在其中心处都有一个很强的尖刺，解释这些尖刺的来源。答：这是由于高通滤波器的频域表示为Hhp1Hlp式中的1,逆变换会空间与是一个冲击响应(x,y),因此，空域上的

35、中心处出现了一个尖刺。4.36 考虑下面所示的图像。右边的图像是对左边图像用高斯低通滤波器进行低通滤波，然后用高斯高通滤波器对其结果再进行高通滤波得到的。图像大小为420344,两个滤波器均使用了D。25。(a)解释右侧图像中戒指的中心部分明亮且实心的原因，考虑滤波后图像的支配精选特性是物体(如手指、腕骨)的外边界上的边缘及这些边缘之间的暗区域。换句话说，您并不希望高通滤波器将戒指内部的恒定区域渲染为暗色，因为高通滤波消除了直流项？(b)如果颠倒滤波处理的顺序，您认为结果会有区别吗？答：(a)如果只进行高通滤波，戒指的中心是黑色的。然而，通过低通滤波，我们将黑色中心区域平均化。最终结果中戒指如

36、此明亮的原因在于，戒指边缘的灰度不连续性比图像中其它任何部分都大，因而对显示结果影响最大。(b)由于傅里叶变换是线性的，先后顺序对结果没有影响。4.37 给出一幅大小为MN的图像，要求做一个实验，实验所用截止频率为D0的高斯低通滤波器重复对该图像进行低通滤波。而且忽略计算上的舍入误差。令Cm.是实验所用机器可表示的最小正数。(a)令K表示该滤波器使用的次数。在进行实验前，您能预测K为足够大的值时的结果(图像)将是什么吗？如果能，结果是什么？(b)推导出保证预测结果的最小K值的表达式。(a)高斯低通滤波：G(urv)=H(ufv)F(utv)K次滤波得到的结果为：廿)=<?一尸(沙)试想K

37、很大时，将只有F(0,0)通过，即fHK(utu)=jK5M邛=.-if3,v)=(0,0)Otherwise.(b)为了保证得到上述结果，要求K足够大，由于计算机的最小正数为Cmin,则当某一个数小于的一半时，该整数将被置为0o所以，K应该满足条件e-KD2(u,v)/2Dlv0.5Cmin精选lll(0.5Cmin)K>-D2u,v)/2D2-Dqln(0.5cmin)D2(u,v)|不考虑原点，由于u和v都是离散数据，所以D(u,v)1,所以K>-2Q：ln(0.5Cmin)4.38 考虑下面所示的图像序列。最左侧的图像是商用印刷电路板的X射线图像的一部分。该图像右侧的图像分

38、别是使用一个Do30的高斯高通滤波器进行1次、10次和100次滤波后的结果。图像的大小为330334像素，每个像素由8比特灰度表示。为了便于显示，图像已进行了缩放，但这对本习题没有影响。(a)从这几幅图像可以看出，经过有限次数的滤波后，图像将不再发生变化。请说明实际是否如此。可以忽略计算舍入误差。令7所表示完成此实验的机器可表示的最小正数。(b)如果在(a)中确定有限次迭代后变化将停止，求最小的迭代次数。解：(a)是的，经过有限次滤波之后，图像将不再发生变化。理解的关键在于将K次高通滤波函数视为Hk(II,1/)=1e-KD2(u>y2D0与4.37不同，这儿的滤波器是“凹口”滤波，将滤

39、除F(0,0),因而，将产生一幅图像，图像中所有像素灰度值的平均值是0(有些像素的灰度值为负数)。所以，有一个K值，当滤波次数大于K时，图像保持不变。if(uru)=(OrO)otherwise.(b)滤波K次之后，图像保持不变，满足下式:/衣(汉，u)=1-6一"°气"叫/2耳=解出来的K值同4.374.39 如图4.59中说明的那样，将高频强调和直方图均衡相结合是实现边缘锐化精选和对比度增强的有效方法。(a)说明这种结合方法是否与先用那种有关。(b)如果与应用顺序有关，请给出先采用某种方法的理由。答：(a)频域滤波在空域中表示为卷积：滤波之后再进行直方图均衡：g/1y)=Tg(xty)其中“T'代表直方图均衡变换如果颠倒顺序，结果为：g-=fxty)由于“T'是一个非线性过程，所以T#(尤