专题13 解直角三角形及其应用问题(解析版)2022年中考数学二轮解题方法分类专项突破

1、专题13 解直角三角形及其应用问题 一、单选题1如图，坡角为的斜坡AB长5米，若tan，则BC的长为（）A米B5米C10米D5米【答案】B【解析】【分析】设BCx米，根据正切的定义用x表示出AC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案【详解】解：设BCx米，tan，AC2x米，在RtABC中，AB2AC2+BC2，即（5）2x2+（2x）2，解得：x15，x25（舍去），则BC5米，故选：B【点睛】本题考查度数解直角三角形的应用坡度坡角问题，准确掌握正切的定义是解题的关键2如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（

2、3）量得测角仪到旗杆的水平距离利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）米ABCD【答案】A【解析】【分析】过C作CFAB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：过C作CFAB于F，则四边形BFCD是矩形，BFCDa，CFBDl，ACF，tan，AFltan，ABAF+BFa+ltan，故选：A【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键3某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i1，则这个斜坡的坡角为（）A30B45C60D90【答案】A【解析】【分析】根据坡度可以求得该坡

3、角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度.【详解】解：如图，坡度为i=1:，tanA= ，tan30= ，这个斜坡的坡角为30故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数值在直角三角形中的应用4如图，已知太原南站某自动扶梯AB的倾斜角为31，自动扶梯AB的长为15 m，则大厅两层之间的高度BC为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin31=，进而得出答案【详解】解：由题意可得：sin31=，则BC=15sin31（m）故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键5如图所示，九（二）班的同学准备在坡

4、角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（）A8mB mC8sina mD m【答案】B【解析】【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB【详解】解：坡角为，相邻两树之间的水平距离为8米，两树在坡面上的距离（米）故选：B【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力6如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55，看这栋高楼底部的俯角为35，若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（）（考数据：sin55，cos55，tan55）A74米B80米C84米D98米【答案】A【解析】

5、【分析】过点A作ADBC于D，然后分别解直角三角形，求出BD和CD的长即可即可答案【详解】解：过点A作ADBC于D，在RtABD中，BAD55，AD35m，tanBAD，BDADtanBAD3549（m），在RtACD中，ACD90CAD55，AD35m，tanACD，CD25（m），BCBD+CD49+2574（m），故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键7如图，在边长为2的菱形ABCD中，B30，过点A作AEBC于点E，若现将ABE沿直线AE翻折至AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（）ABCD【答案】D【解析】【分析】首先利用RtAB

6、E求出BE根据折叠得到BF2BE再利用ADGFCG求出结果.【详解】解：在RtABE中，B30，AB2，BE根据折叠性质可得BF2BECF2，ADCF，ADGFCG故选：D【点睛】本题考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，利用相似三角形得到比例式是解决问题的关键.8如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（）米/秒（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）A0.3B0.2C0

7、.25D0.35【答案】C【解析】【分析】由条件可得BCD是等腰直角三角形，再利用解直角三角形即可求得国旗上升的高度，从而可求得国旗匀速上升速度【详解】在RtBCD中，BD8米，BCD45，BCD是等腰直角三角形，BDCD8米，在RtACD中，CD8米，ACD37，ADCDtan3780.756（米），旗杆AB的高为：AD+BD6+814（米）；升旗时，国旗上升高度是：142.511.5（米），耗时46s，国旗匀速上升的速度为：0.25（米/秒），故选：C【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确理解题中俯角、仰角的含义是关键9如图，菱形 AB

8、CD 的边长为4 ，A = 60， M 是 AD 的中点， N 是 AB 边上一动点， 将DAMN 沿 MN 所在的直线翻折得到DAMN ，连接 AC ，则当 AC 取得最小值时， tan DCA的值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】首先根据两点之间线段最短确定点的位置，再作MHDC，然后根据菱形的性质可知MD，HDM，再根据30直角三角形的性质求出HD和HM，进而求出CH，最后根据正切值定义求出答案即可【详解】因为是定值，两点之间线段最短，即当点在MC上时，取最小值过点M作MHDC于点H边长为4的菱形ABCD中，A=60，M为AD的中点，2MD=AD=CD=4，HDM=60，MDH=H

9、DM=60，HMD=30，CH=HD+CD=5，的值为故选：B【点睛】这是一道应用菱形的性质求线段最短问题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质等10如图，边长为4的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM长是（）ABCD2【答案】B【解析】【分析】连接EF，先根据正方形的性质求出BD，再根据折叠的性质证明BEF是等腰直角三角形，可求出CF，再根据两个角相等的两个三角形相似，得，即可求出OM【详解】如图，连接EF，四边形ABCD时正方形，AB=AD=BC=CD=4，DCB=C

10、OD=BOC=90，OD=OC，根据折叠性质可知，OEF=DCB=90，EDF=CDF，BEF=90，BFE=FBE=45，BEF时等腰三角形，DCB=COD=90，EDF=CDF，即，解得故选：B【点睛】本题主要考查了折叠问题，相似三角形的性质判定，正方形的性质等，正确的识图是解题的关键11如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OAAB，OA=1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，AOE=121，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，AOF=156，则点F到AB的距离是（结

11、果精确到0.1米，参考数据：sin310.5，sin660.9）（）A2.0米B2.3米C2.4米D2.6米【答案】B【解析】【分析】过点E，F分别作EGOD，FHOD，于点G，H，根据已知条件可得EOG=121-90=31，FOH=156-90=66，然后利用锐角三角函数列式计算可得OE的长，根据OE=OF，计算可得FH的长，进而可得点F到AB的距离【详解】解：如图，过点E，F分别作EGOD，FHOD，于点G，H，OAAB，OAOD，AOD=90，AOE=121，AOF=156，EOG=121-90=31，FOH=156-90=66，点E到AB的距离是1.7米，OA=1米，EG=1.7-1=

12、0.7(米），在RtOEG中，(米），OE=OF，在RtOFH中，(米），FH+OA=1.26+1=2.262.3(米）点F到AB的距离是2.3米故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形12如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则（）A米B米C米D米【答案】C【解析】【分析】作于H，利用三角函数求出EF，再根据得出AB的长即可【详解】作于H由图知，BE与水平方向呈30夹角，米米AC与水平方向呈45夹角是等腰直角三角形米米米故选C【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键13我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一

13、栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45，沿着C向上走到30米处的D点再测得顶点A的仰角为22，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（）（参考数据；sin220.37，cos220.93，tan220.40）A60B70C80D90【答案】D【解析】【分析】作AHED交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB【详解】解：作AHED交ED的延长线于H，设DEx米，CD的坡度：i1：2，CE8x米，由勾股定理得，DE2+CE2CD8，即x2+（2x）2（30）2，解得，x30，则DE30米，CE6

14、0米，设ABy米，则HEy米，DHy30，ACB45，BCABy，AHBEy+60，在RtAHD中，tanDAH则0.4，解得，y90，高楼AB的高度为90米，故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键14如图1，在ABC中，ABAC，BAC120，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PCx，PA+PEy图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点那么a的值为（）A6B7CD14【答案】A【解析】【分析】首先构造菱形，根据轴对称求线段和最小，可判断点P的位置，再根据图象中的含义可

15、知点P与点B重合时，确定菱形的边长，然后判断是等边三角形，最后在直角三角形中求出a的值【详解】解：如图，将ABC沿BC折叠得到，则四边形为菱形，菱形的对角线交于点O，点A关于BC的对称点为点，当点，共线时，此时y最小由图2可知，当点P与点B重合时，yPA+PEAB+PEABAB，解得：，即菱形的边长为因为BAC=120，AB=AC，所以，即，所以是等边三角形因为点E是中点，所以菱形的高在中，即，所以故选：A【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，根据轴对称求线段和最小问题，等边三角形的性质和判定，特殊角三角函数，动点问题的图象等，根据图象中关键点的含义求出菱形的边长是解决问题的前提条件15在正

16、方形ABCD中，E为BC上一点，作DFAE于点F、BGAE于点G连接BF，作GHBF交DF于点H，连接BH、AH，若AF=FG，则BAG=30；ABGDAF；BH=AD；SABH=（+1）SAFH在上述结论中，正确的有（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先根据正方形有性质，利用AAS证ABG=DAF，判定正确；再利用全等三角形的性质，证四边形BGHF是平行四边形，得OF=OG，OB=OH，FH=BG，设OF=x，则OF=OG=x，AF=FG=BG= FH =2x，AG=4x，在RtABG中，tanBAG= ，则BAG30，判定错误；在RtOBG中，求得由勾股定理OB= x，从而得 BH= 2

17、x，在RtABG中，由勾股定理求得AB= = 2x，从而得到AB=BH，判定正确；SABH=SABO+SAHO= + =6x2，SAfH=2x2，得到SABH=3SAFH，判定错误【详解】解：连接AH，正方形ABCD中，AB=AD，AB/AD，BAG+FAD=BAD=90，DFAE、BGAE，AFD=BGA=90，ABG+BAG=90，ABG=DAF，ABGDAF（AAS），故正确；BG=AF，AF=FG，BG=AF=FG，DFAE、BGAE，FH/BG，BF/GH，四边形BGHF是平行四边形，OF=OG，OB=OH，FH=BG，设OF=x，则OF=OG=x，AF=FG=BG= FH =2x，

18、AG=4x，在RtABG中，AGB=90，tanBAG= ，BAG30，故错误； 在RtOBG中，BGO=90，OB= x，BH= 2x，在RtABG中，AGB=90，AB= = 2x，AB=BH，BH=AD，故正确；SABH=SABO+SAHO= + = = ，SAFH=，SABH=3SAFH，故错误；故选：C【点睛】本题是四边形综合题目，涉及知识有：正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等.熟练掌握这些相关知识，并能灵活运用这些知识是解题的关键.16将反比例函数y的图象绕坐标原点O逆时针旋转30，得到如图的新曲线A（3，3），B（，）的直线相交

19、于点C、D，则OCD的面积为（）A3B8C2D【答案】A【解析】【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C、D的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AMx轴，BNx轴，垂足为M、N，点A（3，3），B（，），OM3，AM3，BN，ON，OA6，OB3，tanAOM，AOM60，同理，BON30，因此，旋转前点A所对应的点A（0，6），点B所对应的点B（3，0），设直线AB的关系式为ykxb，故有，解得，k2，b6，直线AB的关

20、系式为y2x6，由题意得，解得，因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C（1，4），D（2，2），如图2所示，过点C、D，分别作CPx轴，DQx轴，垂足为P、Q，则，CP4，OP1，DQ2，OQ2，SCODSCODS梯形CPQD（24）（21）3，故选：A【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键17如图，在矩形ABCD中，ABD=60，BC4，连接BD，将BCD绕点D顺时针旋转n（0n90），得到BCD，连接BB，CC，延长CC交BB于点N，连接AB，当BAB=BNC时，则ABB的面积为（）A2-6BCD【答案】A【解析】【分

21、析】设BD与CN交点为M，AB与BD交点为O，根据旋转可得DC=DC，DB=DB，CDC=BDB=n，证明ABOBDO，根据矩形性质和ABD=60，AD=BC4，设AO=x，BO=y，则BO=4-x，DO=8-y，求得y=2x，然后利用勾股定理和含30度角的直角三角形即可解决问题【详解】解：如图，设BD与CN交点为M，AB与BD交点为O，根据旋转可知：DC=DC，DB=DB，CDC=BDB=n，DCC=DCC=（180-n）=90-，同理：DBB=DBB=90-，DCCDBB，NMB=CMD，MBN=MCD，BMNCMD，BNM=CDM，四边形ABCD是矩形，ABCD，CDM=ABD=60，B

22、NM=BAB=60，AOB=BOD，BAO=DBO，ABOBDO，在矩形ABCD中，ABD=60，AD=BC4，AB=AD=4，BD=2AB=8，设AO=x，BO=y，则BO=4-x，DO=8-y，y=2x，在RtADO中，根据勾股定理，得AO2+AD2=OD2，x2+48=（8-2x）2，化简得，3x2-32x+16=0，解得x=或x=（舍去），如图，过点O作OHAB于点H，在RtHBO中，根据勾股定理，得OB2=BH2+OH2=（AB-AH）2+（AOsin60）2=AB2-2ABAH+AH2+AO2sin260=AB2-2ABAOcos60+AO2cos260+AO2sin260=AB2

23、+AO2-2ABAOcos60，解得AB=x=2-6，ABB的面积=ABABsin60=AB=2-6故选：A【点睛】本题属于几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形，三角形面积，一元二次方程，解决本题的关键是得到ABOBDO二、填空题18如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在北偏东30的方向上，则船C到海岸线l的距离是_km【答案】【解析】【分析】根据题意可证得ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求

24、得【详解】解：如图，过点C作CDAB于点D，根据题意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=60-30=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在RtCBD中，(km)，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出ABC是等腰三角形19如图，AB是半圆O的直径，ACAD，OC2，CAB30，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为_【答案】【解析】【分析】过O点作OFCD于F，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ACD=ADC=75，再利用圆周角定理得到BOC=2A=60，则OCD=45，利

25、用等腰直角三角形的性质得到OF，然后根据垂线段最短求解【详解】解：过O点作OFCD于F，如图，AC=AD，BOC=2A=60，OCD=180DOCODC=1806075=45，COF为等腰直角三角形，OE的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据垂线段最短，找到最短的点是解决本题的关键20如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点将OCE沿OE翻折得到O E，OC交BC于点F，且点在BC下方，连接B当BEC是直角三角形时，BEC的周长为 _【答案】或【解析】【分析】由矩形的性质可得OBCOCB，再根据

26、翻折性质得BCOBEO，然后分两种情况：当BE90时；当B E90时，根据勾股定理可得答案【详解】在矩形ABCD中，BDAC2OBOCOBCOCBOCE没OE翻折得到OE，OCEOEOBC，COEOE，OOCOB，ECEOBOB，BE+EBC4BO+2OCE+2COE180，BO+2（OCE+COE）180，BO+2OB180，OBBOBEOBFOE，分再种情况：如图1，当BE90时，BO180（OBC+BE+BO）180（OE+BE+BO）180（BE+BE）90BBE的周长为B+BE+E+4如图2，当BE90时，BF+EF90BEO+OBC90，BOE90cosOBE，即，BE ，ECE4

27、，B2BE的周长为B+BE+E6综上所述，BEC的周长为+4或6故答案为：+4或6【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，利用分类讨论的思想进行讨论是解决本题的关键21足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得CQA=ABQ（此时也有DQB=QAB）时，恰好能使球门AB的张角AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CDAB于点，AB=6米，BD=2米某球员沿CD向球

28、门AB进攻，设最佳射门点为点Q（1）tanAQB =_（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为_ 米【答案】 【解析】【分析】（1）证明BDQQDA，利用相似三角形的性质求出QD，过点B作BHAQ于点H利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得结论；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NKAD于点K，根点O作OJNK于点J解直角三角形求出NJ，NK，可得结论【详解】（1）由题意，BQD=QAD，BDQ=QDA，BDQQDA，QD2=DBDA，AB=6，BD=2，DA=8

29、，QD=4，如图，过点B作BHAQ于点HCDAD，ADQ=90，AD=8DQ=4，AQ=，64=4BH，BH=，BQ=，HQ=，tanAQB=；故答案为：；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NKAD于点K，过点O作OJNK于点JMNBH，BN=，NK=BNsinQBD=，MNAQ，NKAD，AMN+AKN=180，QAD+MNK=180，MNK+ONJ=180，ONJ=QAD，cosONJ=cosQAD=，JN=ONcosONJ=，JK=NJ+NK=+=，MN中点与AB的距离至少为米时才能确保防守成功故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的

30、关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题三、解答题22如图，在菱形ABCD中，AB8cm，点E是对角线BD上一动点，点F是AD边上一动点，连结AE、EF，且AEFABD，cosAEF(1)求证：ABEEDF；(2)如图，若EFAB，求EF长【答案】(1)见解析(2)cm【解析】【分析】（1）由菱形的性质得，则，再由三角形的外角性质证，然后由相似三角形的判定即可得出结论；（2）过作于，过作于，先证，则，再由锐角三角函数定义得，则，然后证，得，即可得出答案(1)解：证明：四边形是菱形，即，；(2)过作于，过作于，如图所示：，在中，即长为【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角

31、形的判定与性质、平行线的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键23如图，小明在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60，沿山坡向上走到D处再测得该建筑物顶点A的仰角为30，已知山坡的坡比为1：3，BC45米(1)求该建筑物的高度；（结果保留根号）(2)求小明所在位置点D的铅直高度（结果精确到1米，参考数据1.414，1.732）【答案】(1)米(2)19米【解析】【分析】（1）由锐角三角函数定义即可得出答案；（2）设米，则（米），米，由锐角三角函数定义得米，再由米，得出方程，解方程即可(1)解：在中，米，（米），答：建筑物的高度为米；(2)过点作于，于

32、，则四边形是矩形，设米，在中，（米），（米），在中，（米），又（米），解得：，即（米），答：人所在的位置点的铅直高度约为19米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键24如图，AB是圆O的直径，点F在AB的延长线上，C，D是圆上的两点，点D为弧BC的中点，CAD=BDF若BF=1，DF=2，求解下列问题：(1)求证：FBDFDA；(2)求AB的长度；(3)求tanCAD和弦AD的长度【答案】(1)见解析(2)3(3)，【解析】【分析】(1)由点D为弧BC的中点，可得CAD=BAD，即可证得BAD=BDF，据此即可证得结论；(2)由

33、FBDFDA，可得，据此即可求得；(3) 由FBDFDA，可得，再根据勾股定理即可求得(1)证明：点D为弧BC的中点，CAD=BAD，CAD=BDF，BAD=BDF，在FBD与FDA中，FBDFDA；(2)解：FBDFDA，得，AF=4，AB=AF-BF=4-1=3；(3)解：点D为弧BC的中点，CAD=BAD，FBDFDA，AB是圆O的直径，在RtABD中，AD=2BD，在RtABD中，得，【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数的定义，勾股定理，证得FBDFDA是解决本题的关键25如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OAOC，OBOD，过点O

34、作EFBD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF(1)求证：四边形DEBF是菱形；(2)设ADEF，AD+AB12，BD4，求AF的长【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）先根据对角线互相平分证得四边形为平行四边形，再证得，从而得到，得到四边形为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）过点作于点，先根据勾股定理求得的长，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后根据正弦三角函数可得，根据菱形的性质可得，在中，解直角三角形可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得(1)证明：，四边形为平行四边形，在和中，又，四边形是平行四边形，四边形是菱形(2)解

35、：如图，过点作于点，在中，解得，在中，四边形是菱形，则在中，【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键26小明与小华在一次数学实践活动中，想要测量他们家对面商业大厦的高MN，如图所示，小明爬到居民楼窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角1的度数为60，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数于是，他俩又上了几层楼来到窗台C处测得大厦底部M的俯角2的度数为30，已知A，B，C三点共线，CAAM，NMAM，AB18m，BC6m，试求商业大厦的高MN【答案】90m【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，可得四边

36、形和四边形均为矩形，再通过解直角三角形，即可求得【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，四边形和四边形均为矩形，在中，在中，由矩形性质可知：， 答：商业大厦的高为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键27阅读理解：如图1，RtABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，C90，其外接圆半径为R根据锐角三角函数的定义：，可得，即：，（规定sin901）(1)探究活动：如图2，在锐角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用、或连接）事实上，以上结论适用于任意三角形(2)初步应用：在ABC中，a，b，c分别是A

37、，B，C的对边，A60，B45，a6，求b(3)综合应用：如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）（，）【答案】(1)=；=；(2)；(3)古塔高度约为36.6m【解析】【分析】（1）过点C作直径CD交O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；（2）根据，得出，即可得出b的值；（3）由题意得：D90，A15，DBC45，AB100，可知ACB30设古塔高DCx，则BC

38、，灾解直角三角形即可得出答案(1)解： ，理由如下：如图2，过点C作直径CD交O于点D，连接BD，CD是O的直径， DBC90，AD，sinAsinD，sinD，同理可证：，；故答案为：，；(2)，A60，B45，a6，(3)由题意得：D90，A15，DBC45，AB100，ACB30设古塔高DCx，则BC，古塔高度约为36.6m【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键28等腰ABC中，BABC，过点A作ADBC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED2EB，作BED的角平分线交BC于点F(1)如图1，当EBC90时，若BAD45，BE2，求线段DC的长；(

39、2)如图2，当EBC90时，过点F作FGAC，分别交AC，AD于点G，H，若AD2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB3BPDH；(3)如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将AND绕点D逆时针旋转得到AND，若满足ADAN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出OMP的面积【答案】(1)；(2)见解析；(3)【解析】【分析】（1）解RtBED，求出BD，解RtABD，求出AB，进而求得CD；（2）根据角平分线性质，求得DF2BF，设BFa，表示出BD，AD，发现ADDF2a，进而证明ADCFDH，从而

40、推出ABDH3a，从而需证明BPBF，通过证明BEPDEF，从而证得EBPEDF，进而证得BPFBFP，进一步命题得证；（3）由APD90得出点P在以AD为直径的圆上，作点O关于BD的对称点F，连接圆心I与F的线段，交BD于M，交圆于P，根据MBFMDI，求得BM，作PHBD交BE于H，交AD于G，求出PG，从而求得PH，进而求出POF和MOF的面积，从而求得OMP的面积(1)解：BE2，DE2BE，DE4，EBC90，BD6，ADB90，BAD45，AB6，BCAB6，DCBCBD66；(2)证明：设BFa，则AD2a，EF平分BED，DE2BE，DF2BF2a，BDBF+DF3a，ADB9

41、0，ABa，BCABa，CDBCBDa3a，HDFADC90，C+DAC90，FGC90，CFG+C90，DACCFH，ADDF2a，ADCFDH（ASA），DHCDa3a，ABDHa（a3a）3a，P是EF的中点，BEPDEF，EBPEFD，EBPEDF，BFPDEF+EDF，BPFBEP+EBP，BFPBPF，BPBFa，ABDH3BP，AB3BPDH；(3)如图，BE2，OBBE，OB2，ADAN，APD90，点P在以AD为直径的圆上，圆心记作I，延长OB至F，使BFBO2，连接FI，交BD于M，交I于P，则OM+MP的值最小，作PHBE于H交AD于G，EBAD，PIGF，BD6，BM，

42、sinF，PGIPsinPIG3，PHGHPG6，SPOF（6）12，SMOF，SPOM（12）【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型29定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”如图，在ABC与AED中，BABC，EAED，且ABCAED，所以称ABC与AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接EB，DC，则称为“关联比” 下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：(1)当ABC与AED为

43、“关联等腰三角形“，且90时，在图1中，若点E落在AB上，则“关联比” ；在图2中，探究ABE与ACD的关系，并求出“关联比”的值(2)如图3，当ABC与AED为“关联等腰三角形”，且120时，“关联比” ；猜想：当ABC与AED为“关联等腰三角形”，且n时，“关联比” （直接写出结果，用含n的式子表示）迁移运用(3)如图4，ABC与AED为“关联等腰三角形”若ABCAED90，AC4，点P为AC边上一点，且PA1，点E为PB上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长【答案】(1)；，(2)；，(3)【解析】【分析】（1）由=90可得ABC与AED为等腰直角三角形，斜边AC=AB，

44、AD=AE，而DC=AC-AD，EB=AB-AE，代入计算即求得=由ABC与AED为等腰直角三角形可得BAC=EAD=45，减去公共角CAE得CAD=BAE，再加上两夹边成比例，证得CADBAE，所以等于相似比（2）过点E作EFAD于点F，由=120可得EAD=30，所以得到RtAED的三边比，则AE=2EF，AF=EF，进而有AD=2AF=2EF，代入计算即求得=由=n可得EAD=90-，又因为cosEAD=，所以得AF=AEcos（90-），AD=2AF=2AEcos（90-），根据的证明过程可得=2cos（90-）（3）过点B作BFAC于点F，根据等腰直角三角形的条件求得PB的长，即求得

45、点E自点B运动至点P时BE的长连接CD，由（1）的证明过程可知CADBAE，所以ACD=ABE为一个定角，即点D所经过的路径是线段CD根据“关联比”的值为，求得CD=EB=(1)解：当=90时，ABC与AED为等腰直角三角形，AC=AB，AD=AE，CD=AC-AD=AB-AE，故答案为：；当=90时，ABC与AED为等腰直角三角形，BAC=EAD=45，AC=AB，AD=AE，=，EAD-CAE=BAC-CAE，CAD=BAE，CADBAE，=，“关联比”的值为(2)解：过点E作EFAD于点F，AFE=90，AE=DE，AED=120，EAD=EDA=30，AF=DF，AE=2EF，AF=E

46、F，AD=2AF=2EF，=，同理可证：BAC=30，=，EAD+CAE=BAC+CAE，即CAD=BAE，CADBAE，=，故答案为：过点E作EFAD于点F，AFE=90，a=n，EAD=EDA=90-，RtAEF中，cosEAD=，AF=AEcos（90-），AD=2AF=2AEcos（90-），=2cos（90-），由的证明过程可得=2cos（90-），故答案为：2cos（90-）(3)解：过点B作BFAC于点F，连接CD，ABC与AED为“关联等腰三角形”，ABC=AED=90，AC=4，ABC与AED为等腰直角三角形，CF=FA=FB=AC=2，PA=1，PF=AF-PA=2-1=1，PB= ，由（1）的证明过程可知CADBAE，ACD=ABE为一个定角，点D所经过的路径是线段CD，=90时，“关联比”的值为，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为=【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用解题关键是理解新定义并把性质进行运用，利用转化思想解决新问题30如图1，一次函数yx4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数