高数D函数的极限PPT学习教案

1、会计学1高数高数D函数的极限函数的极限从函数的观点看，数列是下标变量n的函数( )nxf n，它有极限.A也可以这样叙述：若在自变量n时，相应的函数则称当n时，函数)(nfxn有极限。这种定义数列极限的思维方法也适合于一般的函数)(xf，由于)(xf的自变量 x变化方式的不同，)(xf的极限定义就有不同的形式，需分类定义。( )f nA ，, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:第1页/共23页1. 0 xx 时函数极限的定义问题:如何用数学语言描述下述过程:在0 xx 的过程中,函数)(xf无限趋近于确定值.A要点:(1)过程

2、:0 xx , 0 ;|00 xx 体现x与0 x的接近程度.(2)函数)(xf与A无限接近:, 0 有.|)(| Axf第2页/共23页)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xUx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: AA几何解释几何解释:OAx0 xy)(xfy 第3页/共23页一般说来一般说来, ,)(lim0Axfxx 论论证证应从不等式应从不等式 Axf)(出发出发,

3、这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的 , 这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, , 注意到我们不需要找最大的注意到我们不需要找最大的, 所以所以Axf )(适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出0 xx . 找到一个需要的找到一个需要的 找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把推导推导 小于怎样的正数小于怎样的正数, ,0 xx 第4页/共23页)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有第5页/共23页 . lim 00 xxxx证明证证 , | 0 , ,

4、 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例2.2.第6页/共23页1)12(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时, 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx第7页/共23页211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x第8页/共23页00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且.0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 x

5、xxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有Ox0 xx第9页/共23页定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU(P37定理3)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第10页/共23页AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)

6、(Axf23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx(P37定理3)分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第11页/共23页0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 ,使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf第12页/共23页左极限 :)(0 xfAxfxx)

7、(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 题*11 )第13页/共23页0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy第14页/共23页验证验证xxx0lim不

8、存在不存在. .证证xxx 0lim)1(limlim00 xxxx; 1 xxx 0lim1limlim00 xxxx. 1 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等. .)(lim0 xfx不存在不存在. .第15页/共23页XXAAOxy)(xfy A定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数第16页/共23页. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 0

9、1x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyOxyxy1第17页/共23页Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，Oxyx21x21第18页/共23页解解显然有显然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可见可见xxarctanlim 和和xxarctanlim

10、 虽然都存在虽然都存在, ,但它们不相等但它们不相等. .xxarctanlim 故故不存在不存在. . 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在? ?xxarctanlim 22yxyarctanx第19页/共23页三、函数极限的性质三、函数极限的性质与收敛数列的性质相比较与收敛数列的性质相比较, ,可得函数极限的一些相可得函数极限的一些相应性质应性质. .下面仅以下面仅以0 xx 的极限形式为代表给出这的极限形式为代表给出这些性质些性质, ,至于其他形式的极限的性质至于其他形式的极限的性质, ,只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到. .唯一性唯一性若若)(lim0 xfxx存在存在, ,

11、则极限唯一则极限唯一. .局部有界性局部有界性若若,)(lim0Axfxx 则存在常数则存在常数0 M和和, 0 使得当使得当 |00 xx时时, ,有有.| )(|Mxf 第20页/共23页函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系如果极限如果极限存在存在,nx为函数为函数)(xf的定义域内任一收敛于的定义域内任一收敛于x0的数列的数列,那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列且满足且满足:0 xxn ),( Nn)(nxf必收敛必收敛,且且证证设设则则, 0 , 0 ,|00时时当当 xx.|)(| Axf有有故对故对, 0 ,N ,时时当当Nn 有有.|0 xxn,时时当当Nn ,|00 xxn有有.|)(| Axfn即即0limxxnn )(lim0 xfxx).(lim)(lim0 xfxfxxnn )(limnnxfA,)(lim0Axfxx 第21页/共23页1. 函数