高等数学--D63物理应用ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节定积分在物理学上的运用 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在延续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 挪动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(目录 上页 下页 返回 结束 例例1.一个单求电场力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 当单位正电荷间隔 原点 r 时,由库仑定律电场力为2rqkF 那么功的元素为rrqkWdd2所求功为ba

2、rrqkWd2rqk1ab)11(baqk阐明阐明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从间隔 点电荷 a 处挪动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 目录 上页 下页 返回 结束 S例例2.体, 求挪动过程中气体压力所Ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处挪动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxxd由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S

3、的圆柱描画器中盛有一定量的气 目录 上页 下页 返回 结束 m3m5例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.Oxxxxd在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为Wdxxgd9故所求功为50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 目录 上页 下页 返回 结束 面积为 A 的平板二、液体的侧压力二、液体的侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hgph当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就

4、需用积分处理 .平板一侧所受的压力为目录 上页 下页 返回 结束 小窄条上各点的压强xgp332Rg例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一程度横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 目录 上页 下页 返回 结束 0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 阐明阐明: 当桶内充溢液体时,),(xRg小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRgPd)(222奇函

5、数奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 引力问题引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线假设思索物体对质点的引力, 那么需用积分处理 .目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.y2l2ld,xxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故铅直分力元素为cosddFFya

6、22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在试计算FdxFdyFdxxd目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的程度分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd目录 上页 下页 返回 结束 2lOy2laxxxdx阐明阐明:amk22) 假设思索质点抑制引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处

7、时抑制引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd那么有22412llmkFaa目录 上页 下页 返回 结束 lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF留意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时, 目录 上页 下页 返回 结束 四、转动惯量四、转动惯量 (补充补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为l2rmI 的质点系),2, 1(,nimrl

8、ii质量为的距离为与轴21iniirmI假设思索物体的转动惯量 , 那么需用积分处理 .r关于轴 l 的转动惯量为m目录 上页 下页 返回 结束 lR例例6. 求圆盘对经过中心与其垂直的轴的转动惯量求圆盘对经过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 求圆盘对直径所在轴的转动惯量求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.设圆盘面密度为 .的对应于d,xxx小圆环质量xx d2对应于d,xxx的小圆环对轴 l 的转动惯量为xxId2d3故圆盘对轴 l 的转动惯量为RxxI03d2421 R221RMxxxxd2RM设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , O目录 上页

9、 下页 返回 结束 OxRyxxxd平行 y 轴的细条的对应于d,xxx关于 y 轴的转动惯量元素为yId细条质量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圆盘对y 轴的转动惯量为yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM 取旋转轴为取旋转轴为 y 轴轴, 建立坐标系如图建立坐标系如图.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 先用元素法求出它的微分表达式 dQ普通元素的几何外形有:扇、片、壳扇、片、壳 等等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上

10、的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理运用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.条、段、环、带、条、段、环、带、目录 上页 下页 返回 结束 (2019考研)思索与练习思索与练习提示提示: 作作 x 轴如图轴如图.Ox30 xxd1.为去除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问抑制重力需作多少焦耳( J ) 功?知井深30 m ,抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分为三部分: 米重50N

11、 ,目录 上页 下页 返回 结束 提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉xWd400d1抑制缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW抑制抓斗自重: Ox30 xxd目录 上页 下页 返回 结束 xyABO2. 设星形线设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等于该点到原点间隔 的立方,提

12、示提示: 如图如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.目录 上页 下页 返回 结束 同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax习题课 引力大小为作业作业: P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12xyABO),(yxsd目录 上页 下页 返回 结束 锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使