复习-数值计算方法

1、绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限*)(xxxe*( )e xxx*( )rxxe xx*xxx*( )rrxxe xx相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限概念一：绝对误差、相对误差和有效数字概念一：绝对误差、相对误差和有效数字nxx1021*则说则说x*近似表示近似表示x准确到小数后第准确到小数后第n位，并从这第位，并从这第n位起位起直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为，并把有效数字的位数称为并把有效数字的位数称为。0000926. 01415. 3有效数位为有效数位为4位位概念一：绝对误差、相对误差和有效数字概念一：绝对误差、相

2、对误差和有效数字nxx1021*则说则说x*近似表示近似表示x准确到小数后第准确到小数后第n位，并从这第位，并从这第n位起位起直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为，并把有效数字的位数称为并把有效数字的位数称为。0000926. 01415. 3有效数位为有效数位为4位位一般的，如果近似值一般的，如果近似值x*的规格化形式为的规格化形式为x*=0.a1a2an10mnmxx1021*例例 x*=1452.046是具有是具有7位有效数字的近似值，则它的误差限为位有效数字的近似值，则它的误差限为3*1021 xx概念一：绝对误差、相对误差和有效数字

3、概念一：绝对误差、相对误差和有效数字X*具有具有n位有效数字位有效数字概念二：误差的传播和累积概念二：误差的传播和累积),.,(*)(*1nxxdfyyye)(),.,(*1*1iiniinxxxxxf)(),.,(*1*1iniinxexxxf)(ln*)(*)(fdyyeyer),.,()(),.,(*1*1*1niiniinxxfxxxxxf),.,()(),.,(*1*1*1niniinxxfxexxxf)(),.,(),.,(*1*1*1irniniinxexxfxxxxf和、差、积、商的误差限为和、差、积、商的误差限为)()()()()(*2*12121xexexexexxe)()

4、()()()(*212121xexexexexxerrrrr)()()()()(*212121xexexexexxerrrrr例例 设设y=xn，求，求y的相对误差与的相对误差与x的相对误差之间的关系的相对误差之间的关系例例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求假定运算中数据都精确到两位小数，试求x*=1.213.65-9.81的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字习题习题1 1：为了保证计算球体体积时的相对误差不超：为了保证计算球体体积时的相对误差不超过过1%1%，问测量半径，问测量半径R R时允许的相对误差限是多少？时允许的相对误差

5、限是多少？34( )3Vf RR解：球体的体积计算公式为解：球体的体积计算公式为( )( )( ( )( )( )rrfRe Vef Re Rf R23( )4( )( )( ) *( )4/3rrfRRe Ve Re RRf RR( )3( )0.01rre Ve R( )0.01/3re R 1要使用数值稳定的算法要使用数值稳定的算法2要避免两个相似数相减要避免两个相似数相减例：求例：求 （n = 0, 1, 2, , 8）的值。的值。10dx5xxInnxxy1的值。的值。当当x = 1000，y 的准确值为的准确值为0.01580 例例: 求求3. 绝对值太小的数不宜作除数绝对值太小的

6、数不宜作除数掌握确定方程有根区间的方法，能正确使用逐掌握确定方程有根区间的方法，能正确使用逐步搜索法或二分法求方程具有足够精度的近似步搜索法或二分法求方程具有足够精度的近似解。解。掌握迭代法求方程根的基本思想、几何意义及掌握迭代法求方程根的基本思想、几何意义及相关理论和概念，会构造方程求根的迭代格式，相关理论和概念，会构造方程求根的迭代格式，并进行迭代格式的收敛性判断和收敛阶的确定。并进行迭代格式的收敛性判断和收敛阶的确定。本章重点是本章重点是NewtonNewton迭代法，要求熟练掌握迭代法，要求熟练掌握NewtonNewton法求根公式的几何解释、局部收敛性和法求根公式的几何解释、局部收敛

7、性和收敛阶。了解弦截法求根过程。收敛阶。了解弦截法求根过程。一、简单迭代法一、简单迭代法(基本迭代法基本迭代法)-(2)将非线性方程将非线性方程(1)化为一个同解方程化为一个同解方程)(xx为连续函数并且假设)(x得的右端代入任取一个初值,)2(,0 x)(01xx)(12xx)(1kkxx继续继续-(3),2,1,0(k称称(3)式为求解非线性方程式为求解非线性方程(2)的简单迭代法的简单迭代法xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1定理

8、2.且满足上连续在设迭代函数,)(bax;)(,)1(bxabax时当有且满足存在一正数,10,)2(baxLLLx|)(|*,)(.1xbaxxo内有唯一解在方程则*)(,.210 xxxbaxkko均收敛于迭代法对于任意初值11*.3kkkoxxLLxx011*.4xxLLxxkko-(5)-(6)-(7)定理定理3 3：如果函数如果函数(x)(x)在在x x* *的一邻域的一邻域O(xO(x* *, ,* *) )内可导连续，内可导连续，x x* *为方程为方程x= x= (x)(x)的根，且的根，且| |(x(x* *)|1)|1，则存在正数，则存在正数，( ( * *) )，使得对任

9、意，使得对任意，迭，迭代序列代序列x xn+1n+1= = (x(xn n)(n=0,1,2)(n=0,1,2) )收敛于收敛于x x* *。*0,xxx迭代过程的收敛速度迭代过程的收敛速度设由某方法确定的序列设由某方法确定的序列xkxk收敛于方程的根收敛于方程的根x x* *，如果存在正实数如果存在正实数p p，使得，使得Cxxxxpkkk*1*lim（C C为非零常数）为非零常数）定义：定义：则称序列则称序列xkxk收敛于收敛于x x* *的收敛速度是的收敛速度是p p阶的，或称阶的，或称该方法具有该方法具有p p 阶敛速。当阶敛速。当p = 1p = 1时，称该方法为线时，称该方法为线性

10、（一次）收敛；当性（一次）收敛；当p = 2p = 2时，称方法为平方（二时，称方法为平方（二次）收敛；当次）收敛；当1 p 21 p 2时，称方法为超线性收敛。时，称方法为超线性收敛。 如何判断迭代函数的收敛速度呢？如何判断迭代函数的收敛速度呢？设迭代函数设迭代函数(x)(x)在在x x* *的邻域有的邻域有r r阶连续导数阶连续导数(r2)(r2)，且且x x* *= =(x(x* *) )，(k)(k)(x(x* *)=0(k=1,)=0(k=1,r-1), ,r-1), (r)(r)(x(x* *)0)0，则迭代公式所产生的序列，则迭代公式所产生的序列xxn n 是是r r阶收阶收敛的

11、。若敛的。若0|0|(x(x* *)|1)|1，则迭代序列是线性收敛的。，则迭代序列是线性收敛的。定理定理4 4：4.5 Newton迭代法（Newton-Raphson）如果将非线性方程0)(xf)()(xfxkxx0)(xk且令)()()(xfxkxx)()()()(1)(xfxkxfxkx,0)(*的根为设xfx则收敛速度越快附近越小在,*|)(|xx化为等价方程如果0*)( xf*)(*)(*)(*)(1xfxkxfxk00*)( x令*)(1*)(xfxk即则于是取)(1)(xfxk)()()(xfxfxx-(10)-(11)式构造迭代法由取初值)11(,0 x)()(1kkkkxf

12、xfxx),2 , 1 ,0(k-(12)(12)式称为Newton迭代法,0*)( xf只要Newton迭代法至少平方收敛局部收敛性Newton法的收敛性依赖于法的收敛性依赖于x0 的选取。的选取。x*x0 x0 x0牛顿法收敛性示意图牛顿法收敛性示意图 与二分法不同，牛顿法一般不在与二分法不同，牛顿法一般不在x轴的有限范围内求根，轴的有限范围内求根，因此其二次收敛是有限制的，在最坏的情况下会出现因此其二次收敛是有限制的，在最坏的情况下会出现迭代发散现象，一般用于求解良性函数。迭代发散现象，一般用于求解良性函数。牛顿法的收敛性牛顿法的收敛性牛顿法收敛性示意图牛顿法收敛性示意图)()(1kkk

13、kxfxfxxNewton迭代法需要求每个迭代点处的导数)(kxf 复杂！得中的近似替代用,)(0kkxxfx)()(01xfxfxxkkk-(12)-(13)这种格式称为简化Newton迭代法精度稍低)(kxf 如果用数值导数代替11)()()(kkkkkxxxfxfxfNewton迭代法的变形则Newton迭代法变为)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx-(14)这种格式称为弦截法收敛阶约为1.6181kx11)()(,kkkkABxxxfxfKAB的斜率为如图11)()(tankkkkxxxfxf*x)(xfy 1kxkxAB)()()()(111kkkkkkkxxxf

14、xfxfxx)(cotkkxfx)(cotkxf几何意义(1)(cossin )/4;xxx(2)42xx ( )1xL已知已知x x* *是是f(x)=0f(x)=0的的m m重根，则可用下面迭代法重根，则可用下面迭代法1()()kkkkf xxxmfx如果未知如果未知x x* *是是f(x)=0f(x)=0的几重根，则可用下面迭代法的几重根，则可用下面迭代法12()()()()()kkkkkkkf xfxxxfxf xfx得到至少二阶收敛的解序列。得到至少二阶收敛的解序列。1*lim0*kkkxxxx2251/kkkxpxqa xrax kx3a*(),()0,()0 xxxx22515/

15、95/9 /1/9/kkkxxa xax(1)( )()kkxxR(1)( )( )1()11kkkxxx理解高斯消去法的基本原理及实现条件，理解理解高斯消去法的基本原理及实现条件，理解按列选主元策略的原因，掌握消去法的计算过按列选主元策略的原因，掌握消去法的计算过程，熟练使用高斯消去法解线性方程组。理解程，熟练使用高斯消去法解线性方程组。理解高斯消去法对应的矩阵操作。高斯消去法对应的矩阵操作。熟练掌握矩阵的三角分解法，熟练掌握矩阵的三角分解法，LULU分解法。能够分解法。能够利用其求解线性方程组。利用其求解线性方程组。掌握向量和矩阵泛数的定义及其性质，会计算掌握向量和矩阵泛数的定义及其性质，

16、会计算常用的常用的3 3种泛数。了解矩阵条件数的定义，明种泛数。了解矩阵条件数的定义，明确条件数与方程组性态的关系，能够进行初步确条件数与方程组性态的关系，能够进行初步的扰动分析。的扰动分析。列主元消元法列主元消元法在在GaussGauss消元第消元第k k步之前，步之前，做如下的事情：做如下的事情：|max)()(kjkkiknikaa若若交换交换k k行和行和j j行行例：例： 211111091,112 xx 110211 11102119 行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地克行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地克服了服了GaussGauss消元地缺陷。消元地缺陷。设设A为为n

17、阶方阵，若阶方阵，若A的顺序主子式的顺序主子式Ai均不为零，则矩阵存均不为零，则矩阵存在唯一的在唯一的LU(Doolittle 杜利特尔）分解。杜利特尔）分解。11121n21222n313212(1)nn ( 111 U 1nnn nGaussLUALULuuuluulllllu 由消去法加上列主元或全主元）有分解：用LU分解法解方程组1391444321131243301024321xxxx72510A7251013914443211312433010272510139142432211312423301021rju1ja11111ualii413725101391424322113124

18、23301021r72201013911624311321217121123301022r11rkkjrkrjrjulaurrrkkrikiriruulal1172201013911624311321217121123301022r11rkkjrkrjrjulaurrrkkrikiriruulal11711172010139116211211311321217121123301023r161117201049116211211311321217121123301024rLU4321xxxxx4321所以*y求解求解 时，时，A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响？有何影响？bxA bx 设设

19、 A 精确，精确， 有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即bb xx bbxxA )(bAx 1 |1bAx 绝对误差放大因子绝对误差放大因子|xAxAb 又又|1bAx |1bbAAxx 相对误差放大因子相对误差放大因子线性方程组的性态和解的误差分析线性方程组的性态和解的误差分析 设设 精确，精确，A有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即bA xx bxxAA )( bxxAxxA)()()(1xxAAx(只要只要 A充分小，使得充分小，使得)|11AA|1|1|1111AAAAAAAAAAAAxx )()(xxAAxxAAx11xAAxAAx11 是关键是关键的误差放大

20、因子，称为的误差放大因子，称为A的的条件数条件数，记为，记为cond (A) ,越越大大则则 A 越病态，越病态，难得准确解。难得准确解。|1 AA定义定义5：设：设A 为为n 阶非奇矩阵，称数阶非奇矩阵，称数 为矩阵为矩阵A的条件数，的条件数，AA1条件数的性质：条件数的性质： ）cond ( A )1）cond ( kA )= cond ( A ) k 为非零常数为非零常数）若）若 ， 则则1A1)(cond AA记为记为cond( A )。 1241234123412343421323234xxxxxxxxxxxxxxx 1234124742358345692789101xxxx1011

21、/2221 ,1/30222/3Ab61102b求解求解 时，时，A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响？有何影响？bxA bx 设设 A 精确，精确， 有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即bb xx bbxxA )(bAx 1 |1bAx |xAxAb 又又|1bAx |1bbAAxx 线性方程组的性态和解的误差分析线性方程组的性态和解的误差分析理解向量序列及矩阵序列收敛极限的定义与收理解向量序列及矩阵序列收敛极限的定义与收敛的充分必要条件。掌握线性方程组迭代法求敛的充分必要条件。掌握线性方程组迭代法求解的思路。能够解的思路。能够利用迭代法收敛的充分必要条利用迭代法收敛的充分必

22、要条件（迭代矩阵谱半径小于件（迭代矩阵谱半径小于1 1）或充分条件（迭）或充分条件（迭代矩阵泛数小于代矩阵泛数小于1 1），），判别迭代方法的收敛性。判别迭代方法的收敛性。熟练掌握熟练掌握JacobiJacobi迭代法、迭代法、Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法迭代法的计算过程。的计算过程。对方程组bAx 做等价变换gGxxbMNxMxNxbMxbxNMbAx11)(如：令NMA，则则，我们可以构造序列gxGxkk)()1( 若*)(xxkbAxgxGx* *同时：*)(*)()()1(xxGGxGxxxkkk*)()0(1xxGk0kG所以，序列收敛与初值的选取无关与初值

23、的选取无关1,(2)kkxBxg0,x01,nxxx*lim,nnxx一、一、Jacobi迭代法迭代法),2 , 1(0niaii设ix则可从上式解出,nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111000132121223211111312nnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbBngggg21gBxx例例1.用用Jacobi迭代法求解方程组迭代法求解方程组,误差不超过误差不超过1e-41233204121114238321xxx解解:4121114238A4000110008DADIBJ104121111011441830bDf133

24、5.2迭代法使用取初值JacobixT,000)0(fxBxkJk)()1(),2 , 1 ,0(nk fxBxJ)0()1(04121111011441830335.2000335 . 2924.4)0()1( xx04121111011441830fxBxJ)1()2(335.2335.2T1,3636.2,875.21320.2)1()2( xx04121111011441830fxBxJ)2()3(335.213636.2875.2T9716.0,0455.2,1364.34127.0)2()3( xx依此类推迭代次数迭代次数为为12次次 x4 = 3.0241 1.9478 0.92

25、05 d = 0.1573 x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914 x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175 x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059 x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040 x9 = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 7.3612e-004x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004x11 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 1.7669e-004x12 = 3.0000

26、2.0000 1.0000 d = 3.0647e-0050000.10000.20000.3321xxx令0000002121nnaaaL0000002112nnaaaUULDAULADADIBJ1)(11ULDADIBJ考虑迭代式gxBxkJk)()1(),2 , 1 ,0(kbDxULDxkk1)(1)1()(即bUxLxDxkkk)()()1(),(不含对角线下三角的形式注意到L将上式改为bUxLxDxkkk)()1()1(bUxxLDkk)()1()(可逆时当LD 部分包括对角线的下三角即为)(ALD bLDUxLDxkk1)(1)1()()(得设,)(,)(11bLDfULDBGG

27、GkGkfxBx)()1(上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法),2 , 1 ,0(k121 ( )(,x,m)a ini nAA 称为矩阵 的谱。12 (,)(1,2,), () ( )kkkkkknAAAAkAA由特征值的定义知，矩阵的谱是因而2)(AA 定理定理3.6：对任意初始向量：对任意初始向量x(0)和右端项和右端项g，由迭代格式：，由迭代格式：(1)( ) (0,1,2,) kkxAxgk推论推论1：收敛收敛若若)(1kxM迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件推论推论2：20是是松驰法收敛的必要条件松驰法收敛的必要条件产生的向量序列产生的向量序列xk收敛收敛()1A

28、充分必要条件充分必要条件 ( (A A) ) 难计算，而难计算，而|A A|、|A A|1 1计算容易，计算容易，迭代法收敛与否只觉定于迭迭代法收敛与否只觉定于迭代矩阵的谱半径，与初始值代矩阵的谱半径，与初始值和方程右端的常数项无关！和方程右端的常数项无关！123211111111121xxx323,121Ab(1)( )( )(),0,1,2,.kkkxxabAxk 掌握函数插值的意义及概念；了解插值多项式掌握函数插值的意义及概念；了解插值多项式的存在唯一性；熟练掌握多项式插值的几种经的存在唯一性；熟练掌握多项式插值的几种经典方法及其适用条件，如典方法及其适用条件，如LagrangeLagr

29、ange插值，插值，NewtonNewton插值，带导数条件的插值，带导数条件的HermiteHermite插值，及插值，及分段低次插值中的分段线性插值，分段三次分段低次插值中的分段线性插值，分段三次HermiteHermite插值和分段三次样条插值；会推导各插值和分段三次样条插值；会推导各插值多项式的余项表达式并能应用余项公式分插值多项式的余项表达式并能应用余项公式分析和估计误差。析和估计误差。掌握函数逼近与曲线拟合的有关概念，了解其掌握函数逼近与曲线拟合的有关概念，了解其意义和推导过程，熟练掌握曲线拟合最小二乘意义和推导过程，熟练掌握曲线拟合最小二乘法求解的过程。法求解的过程。 nnnxa

30、xaxaaxPxP2210)()(01100nijjinnnxxxxVandermonde行列式1 1、n n 次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式nnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100nkkkyxl0)(ik ik xlik01)(其中其中 n),0,1,( ki )()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl)()()(101nnxxxxxxx令令)()()()(11101nkkkkkkkknxxxxxxxxxxx则则nkkknyxlxL0)()(nkknknkxxxxy011)()()( 插值余项定理插值

31、余项定理: :设设x0, x1,x0, x1, xn, xn是区间是区间a, ba, b上的上的互异节点，互异节点，p pn n(x)(x)是过这组节点的是过这组节点的n n次插值多项式。如次插值多项式。如果果f(x)f(x)在在a, ba, b上上n+1n+1次连续可导，则对次连续可导，则对a,ba,b内任意内任意点点x x，插值余项为：，插值余项为： )( )()!1()()()()(1)1(a,bxnfxpxfxRnnnn 5.35.3.2 2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式 根据差商的定义，有：根据差商的定义，有：000)()(,xxxfxfxxf)(,)()(000 xxxxfxfxf

32、110010,xxxxfxxfxxxf)(,110100 xxxxxfxxfxxf221010210,xxxxxfxxxfxxxxf)(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxfnnnnxxxxxfxxxfxxxxf,101010)(,01010nnnnxxxxxfxxxfxxxf)(,)(,)()(10100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf)()(,)()(,)(,)(,)()(101011010102100100nnnnxxxxxxxxxxf xxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxf 取取)()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnx

33、xxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxN这种用差商表示系数的多项式，称为这种用差商表示系数的多项式，称为牛顿插值多项式牛顿插值多项式。)(ixfix0 x1x2x3x)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf一阶差商一阶差商,10 xxf,21xxf,32xxf二阶差商二阶差商,210 xxxf,321xxxf,3210 xxxxf三阶差商三阶差商4x)(4xf,43xxf,432xxxf,4321xxxxf,43210 xxxxxf四阶差商四阶差商 解解：根据差商的递推定义，列差商表如下：根据差商的递推定义，列差商表如下：的牛顿插值多项式的牛顿插值多项式 ？ 例：试求通过下列数

34、据点例：试求通过下列数据点 )(ixfix1032415712)(ixfix1347021512一阶差商一阶差商1131二阶差商二阶差商42745三阶差商三阶差商)()(,)(,)(,)()(21032101021001003xxxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxN)4)(3)(1(45) 3)(1(4) 1(10 xxxxxx)104155565(4123xxx通过通过 4 个节点的牛顿插值多项式为：个节点的牛顿插值多项式为：4.5 Hermite 插值多项式插值多项式要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数即：要

35、求插值函数 P P(x) (x) 满足满足 p(xp(xi i)=f(x)=f(xi i), ), P P(x(xi i)= f)= f(x(xi i),), P, P(m)(m)(x(xi i) = f) = f(m)(m)(x(xi i).). 在实际问题中，对所构造的插值多项式，在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅不仅把此类插值多项式称为埃米尔特（把此类插值多项式称为埃米尔特（HermiteHermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)H(x)。 2100( )( ) ( )nnniiiiiiHxy h xy h x)()(21

36、)(2xlxxxlxhiiiii hi)(x)(ili2(x)xx 定理定理: :f(x)f(x)在区间在区间 a,ba,b存在存在2n+22n+2阶导数阶导数, ,则其则其HermiteHermite插值插值余项为余项为: : ( (x)=(x-xx)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1) ).(x-x.(x-xn n) ),()!22()()()()()(2)22(12banxfxHxfxRnn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 例：在例：在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(1

37、05niinxi n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x) f (x) 是否次数越高越好呢？是否次数越高越好呢？ 1n ,0,1,i xxx yxxxxyxxxxxiiiiiiiiii),()(11111)()()()()()()()(1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxx y xxxxxxxx yxxxxxxxxyxxxxxxxxx)()!1()(1)1(xnfnn)()()(xPxfxRnn分段插值的误差估计分段插值的误差估计GXF01TnXaaa01TmFyyymii0222miiiyxS02

38、)(mii022222GXF22() ()TGXFGXFGXF()()TTTX GFGXFTTTTTTX G GXF FF GXX G F2TTTTX G GXF FF GX()2TTTTf XX G GXF FF GX令0( )()g tf Xte000()()2()TTTTXteG G XteF FF G Xte0( )()g tf Xte0000TTTTTTXG GXtXG Gete G GX2022TTTTTt e G GeF FF GXF Gte200()2()TTTTTf Xt e G GeteG GXG F0(0)()0TTTgeG GXG F00TTG GXG F0TTG GX

39、G F0( )njijijj ixxl xxx0( ),0,1,.,nkkiiix l xxkn121(.)nxxxxn20( )()niixxx1yabx1zy了解数值积分与微分的基本思想，掌握代数精了解数值积分与微分的基本思想，掌握代数精确度的概念和插值型的求积公式，如梯形公式、确度的概念和插值型的求积公式，如梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和Newton-CotesNewton-Cotes公式，以及相应公式，以及相应的复化求积公式；掌握求数值微分的插值型求的复化求积公式；掌握求数值微分的插值型求导公式。并能对上述数值方法进行误差分析。导公式。并能对上述数值方法进行误差分析

40、。对任意次数不高于对任意次数不高于n n次的多项式函数次的多项式函数f(x)f(x)，数值积分没有误差（截断），即数值积分没有误差（截断），即R R（f f）=0=0。代数精度代数精度)()(0knkknxfAfI为数值积分，badxxffI)()(为理论积分若f(x)为任意次数不高于m次的多项式时， 精确成立而对某个m+1次多项式，公式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度。)()(fIfIn nkkknxlxfxLxf0)(n则插值型求积公式为：则插值型求积公式为：nkjjjkjkxxxxxl0)(A Ak k仅与节点仅与节点x xk k和积分和积分区间有关，与区间有关，与f(x)f

41、(x)的的具体形式无关。具体形式无关。 nkkbakbanbaxfdxxldxxLdxxf0)(68)误差？误差？(69)dxxnfdxxLdxxffRbannbanban)()!1()()()()()1()1(求积公式求积公式(6(68)8)的截断误差为：的截断误差为：LagrangeLagrange插值插值L Ln n(x)(x)的插值余项为：的插值余项为：),()()!1()()()1()1(baxnfxRnnn若节点可以自由选取，一个自然的办法就是取等距节若节点可以自由选取，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。点。对区间做等距分割。 bankjjjkjbakkdxxxxxd

42、xxlA0)()(设设xk=a+kh (k=0，1，n)，h=(b-a)/n（6-86-8）式中的求积系数可写为：）式中的求积系数可写为： bankjjdxhjkjhax0)( nnkjjknnnkjjkdtjtknkhhdtjkjtA0000)() !( !) 1()(令令x=a+thx=a+th， nnkjjknnkdtjtnknkC00)()() !( !) 1()()(nkkCabA(611)nkknkbaxfCabdxxffI0)()()()()(称为称为n n阶阶Newton-CotesNewton-Cotes积分积分称为称为n n阶阶CotesCotes系数系数 nnkjjknn

43、kdtjtnknkC00)()() !( !) 1(CotesCotes系数仅与等分区间数有关，与积分区间和被积系数仅与等分区间数有关，与积分区间和被积函数均无关。函数均无关。1/21/21/64/61/61/83/83/81/37/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/28841/8409/359/28034/1059/2809/3541/840)(nkC误差？误差？(612)dxxxnffRbanjjnn0) 1()()!1()()(N-CN-C公式的截断误差为：公式的截断误差为：dtjtfnhnnjnn00)1(2)()()!1(代数精度代数精度2122121210( ).nnnnnPxaxa xa xaN-CN-C公式的实质是利用公式的实质