全等三角形.第2讲.全等三角形与中点问题.学生版

1、第二讲口厂全等三角形与中点问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.重、难点。重点：主要

2、掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法版块一倍长中线【例1】（ 2002年通化市中考题）在 ABC中，AB 5, AC 9,则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?1【补充】已知：ABC中，AM是中线.求证： AM 2（ab ac）.D例2 已知：如图，梯形 ABCD中，AD II BC,点E是CD的中点，BE的延长线与 AD的延长线相交于 点 F .求证： BCE© FDE .例3 如图，在 ABC中，D是BC边的中点，F , E分别是AD及其延长线上的点， CF / BE .求证:BDE© CDF .【例4】 如图， ABC中，AB<AC , AD是中线.

3、求证：DAC< DAB .G例5 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F, AF EF ,求证：AC BE.A例6 如图所示，在 ABC和 ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且AB AB , AC AC , AD AD ,求证 ABC© ABC .EE'例7 如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点, 于点G ,若BG CF ,求证：AD为 ABC的角平分线.EF II AD交CA的延长线于点 F ,交EF例8 已知AD为 ABC的中线,ADB , ADC的平分线分别交AB于E、交 AC于F .求证

4、:BE CF EF .A例9 在Rt ABC中， A 90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD .以 线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角 三角形？【例10 如图所示，在 ABC中，D是BC的中点,_ 2 1 _ 2_ 2AD - AB AC .4DM垂直于 DN ,如果BM 2_2_2CN DM2 ，一一DN ,求证【例10 在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足 BE 4 ,则线段DE的长度为.DFE 90.若 AD 3,A【例11如图所示， BAC DAE 90, M是BE的中

5、点， AB AC, AD AE ,求证 AM CD.版块二、中位线的应用1 【例12】AD是 ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交 AC于E .求证：AE -AC .3【例13如图所示，在 ABC中，AB AC,延长AB至iJ D ,使BD AB , E为AB的中点，连接 CE、CD , 求证CD 2EC .【例14】已知：ABCD是凸四边形，且 AC<BD. E、F分别是AD、BC的中点, EF交AC于 M; EF交BD于N, AC和BD交于 G点.求证: / GMN>/GNM.1一-BC ,以BC为底作等腰直角 2BCD, E是CD的中点，求证:【例 15 在 ABC

6、中， ACB 90 , ACAE EB 且 AE BE .【例16 如图，在五边形ABCDE中，ABCAED 90 , BAC EAD , F 为 CD 的中点.求证：BF EF .【例17如图所示, M , PLAC于P是 ABC内的一点, PAC PBC，过P作PM BC于L, D为AB的中点，求证DM DL .C【例18如图所示，在 ABC中，D为AB的中点，分别延长 CA、CB到点E、F ,使DE DF .过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点 P,设线段PA、PB的中点分别为 M、N.求证：(1) DEM © FDN ;(2) PAE PBF .AD、EF、BC的延长

7、【例19已知，如图四边形 ABCD中，AD BC , E、F分别是AB和CD的中点,线分别交于 M、N两点. 求证： AME BNE .【例20】已知：在 ABC中，BC AC,动点D绕 ABCAB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线的顶点A逆时针旋转，且 ADAD、BC分别相交于点M、MC点N恰好与点 如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,F重合，取AC的中点H ,连结HE、AMFBNE（不需证明）.BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与选一种情况证明.【例21 如图，AEXAB, BCXC

8、D,且 AE=AB, BC=CD, F 为DE的中点，FMAC.证明：FM=- AC2M N【例22】已知：在4ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM ,和CAN, P是边BC的中点.求 证：PM=PN'家庭作业）【习题1】 如图，在等月ABC中，AB AC, D是BC的中点，过A作AE DE , AF DF ,且AE AF . 求证： EDB FDC .A【习题2】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC ,延长BE交AC于 F, AF与EF相等吗？为什么？【习题3】如右下图，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E为BC边的中点.求证： AB 2DE .【备选1】如图，已知 AB=DC, AD=BC