导数的概念及运算专题练习(含参考答案)

1、数学导数的概念及运算基础达标"1n1. 已知函数 f(x) = 一COS x,则 f( nf' 2 x2B.1"2nD.C.-n2. 曲线y= ex In x在点(1, e)处的切线方程为C.3.C.=xf(x),(1 e)x y+ 1 = 0B.D.(1 e)x y 1= 0(e 1)x y 1= 0(e 1)x y+ 1= 0已知 f(x)= ax4+ bcosx+ 7x 2若 f' (2 018)6，则 f， 2 018)=()B. 8D. 84.如图，y= f(x)是可导函数，直线l: y= kx+ 2是曲线y= f(x)在x= 3处的切线，令g(x

2、) 其中g 'x)是g(x)的导函数，贝yD. 4C.5.若点P是曲线y= x2 ln x上任意一点，则点P到直线y= x 2距离的最小值为()B., 2C.6.(2018高考全国卷n )曲线y= 2ln x在点(1, 0)处的切线方程为7.(2019南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0,+ )内可导，其导函数为f'刈，且f(ln x)=x+ ln x,贝U f'(=& (2017高考天津卷)已知a R，设函数f(x) = ax ln x的图象在点(1 , f(1)处的切线为l，则I在y轴上的截距为.9.已知函数 f(x) = x3 + (1 a)x2 a(a+

3、 2)x+ b(a, b R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3，求a, b的值;若曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.10.已知函数 f(x)= x3 + x 16.求曲线y= f(x)在点(2, - 6)处的切线的方程；直线I为曲线y= f(x)的切线，且经过原点，求直线I的方程及切点坐标;一 1 一如果曲线y= f(x)的某一切线与直线 y=- 4X+ 3垂直，求切点坐标与切线的方程.、能万提庄>1. (2019成都第二次诊断检测)若曲线y= f(x) = In x+ ax2(a为常数)不存在斜率为负数的 切线，则实数a的取值范围

4、是()1 1a. 2，B. 2，)C. (0,+ )D. 0,+m )2. 已知f(x) = In x, g(x)= 2x2 + mx+ #(m v 0)，直线I与函数f(x), g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1, f(1),贝U m的值为()A . - 1B.- 3C.- 4D.- 23. (2019云南第一次统考)已知函数f(x)= axln x+ b(a, b R),若f(x)的图象在x= 1处的切线方程为 2x-y= 0，贝U a+ b =.14. 设曲线y= ex在点(0, 1)处的切线与曲线y = -(x> 0)上点P处的切线垂直，则 P的坐x标为.95.

5、设有抛物线 C: y=- x2+ 2X 4,过原点O作C的切线y= kx,使切点P在第一象限.(1) 求k的值；(2) 过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.6. 已知函数 f(x) = ax3 + 3x2- 6ax- 11, g(x) = 3x2 + 6x+ 12 和直线 m： y= kx+ 9,且 f'-1)= 0.(1)求a的值；是否存在k,使直线m既是曲线y= f(x)的切线，又是曲线y= g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.【参考答案】基础达編1n1. 已知函数 f(x) = -cos x,贝y f( n+f' 2 =(x23

6、A .一 2nC.B.D.解析:1 1选C .因为f'x)=- X2cos x+ x( sin x),n所以 f( n-) f' 22. 曲线y= ex In x在点(1, e)处的切线方程为()A . (1 e)x y+ 1 = 0B. (1 e)x y 1= 0C. (e 1)x y+ 1 = 0D. (e 1)x y 1= 01解析：选C.由于y'= e-,所以y'x =1 = e 1,故曲线y= ex In x在点(1, e)处的切线入方程为 y e= (e 1)(x 1),即(e 1)x y+ 1= 0.3. 已知 f(x)= ax4+ bcos x+

7、 7x 2若 f' (2 01=6，则 f'2 018)=()A . 6B. 8C. 6D. 8解析：选 D.因为 f'(= 4ax3 bsin x+ 7.所以 f' x) = 4a( x)3 bsin( x) + 7= 4ax3 + bsin x+ 7.所以 f'x) + f' x) = 14.又 f' (2 018)6,所以 f' 2 018) = 14 6= 8,故选 D.=xf(x),D. 44. 如图，y= f(x)是可导函数，直线l: y= kx+ 2是曲线y= f(x)在x= 3处的切线，令g(x) 其中g '

8、;x)是g(x)的导函数，贝UC.11解析：选B .由题图可得曲线y= f(x)在x= 3处切线的斜率等于一-,即f' (3) 3.又因33为 g(x) = xf(x),所以 g'x) = f(x) + xf'x(, g ' (=)f(3) + 3f' (3)由图可知 f(3) = 1,所以 g' (3)15. 若点P是曲线y= x2 In x上任意一点，则点P到直线y= x 2距离的最小值为()A. 1B.22D.31解析：选B因为定义域为(0,),令y'= 2x -= 1,解得x= 1,则在P(1, 1)处的入切线方程为X-y= 0,

9、所以两平行线间的距离为6. (2018高考全国卷n )曲线y= 2ln x在点(1, 0)处的切线方程为 .2解析：由题意知，y',所以曲线在点(1, 0)处的切线斜率k= y'x| = 2,故所求切线方程为 y 0= 2(x 1),即 y = 2x 2.答案：y= 2x 27. (2019南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0,+ )内可导，其导函数为f'刈，且f(ln x)=x+ In x,贝U f' (=.解析：因为 f(ln x)= x+ In x,所以 f(x)= x+ ex,所以 f'x) = 1 + ex，所以 f' (=)1 + e

10、1= 1 + e.答案：1 + e& (2017高考天津卷)已知a R，设函数f(x) = ax In x的图象在点(1 , f(1)处的切线为I，则I在y轴上的截距为.1解析：因为f'x)= a -，所以f' (= a 1,又f(1) = a,所以切线I的方程为y a= (a x1)(x 1),令 x= 0,得 y= 1.答案：19. 已知函数 f(x) = x3 + (1 a)x2 a(a+ 2)x+ b(a, b R).(1) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3，求a, b的值；(2) 若曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范

11、围.解：f'x) = 3x2+ 2(1 a)x a(a+ 2).(1)由题意得f(0) = b = 0,f (0) a(a + 2) = 3,解得b= 0,a= 3 或 a= 1.(2)因为曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f'x) = 3/+ 2(1 a)x a(a+ 2) = 0有两个不相等的实数根所以= 4(1 a)2+ 12a(a + 2)>0,即 4a2 + 4a + 1>0 ,1所以 21 1所以a的取值范围为",2 U 2，.10. 已知函数 f(x)= x3 + x 16.(1)求曲线y= f(x)在点(2, 6)

12、处的切线的方程；直线I为曲线y= f(x)的切线，且经过原点，求直线I的方程及切点坐标；一 1 一如果曲线y= f(x)的某一切线与直线y= &X+ 3垂直，求切点坐标与切线的方程.解：(1)可判定点(2, 6)在曲线y= f(x)上.因为 f'x) = (x3 + x 16) =3x2+ 1.所以f(x)在点(2, 6)处的切线的斜率为 k= f' (2)13.所以切线的方程为 y= 13(x 2) + ( 6),即 y = 13x 32.设切点为(xo, yo),则直线I的斜率为f'x0)= 3x2 + 1,所以直线I的方程为y= (3x0 + 1)(x x

13、o) + x0+ xo 16,又因为直线I过点(0, 0),所以 0= (3x2 + 1)( X。) + x0 + X0 16,整理得,x3= 8,所以X0= 2,所以 y0= ( 2)3+ ( 2) 16= 26,k= 3X ( 2)2 + 1= 13.所以直线I的方程为y= 13x,切点坐标为(一2, 26).一 1因为切线与直线 y= ：x+ 3垂直，所以切线的斜率k= 4.设切点的坐标为(xo, yo),则 f' x0)= 3X2 + 1 = 4,所以xo= ± 1.xo= 1,xo= 1,所以或yo= 14yo= 18,即切点坐标为(1, 14)或(一1, 18),

14、切线方程为 y= 4(x 1) 14 或 y= 4(x+ 1) 18.即 y = 4x 18 或 y= 4x 14.能万提庄>1. (2019成都第二次诊断检测)若曲线y= f(x) = In x+ ax2(a为常数)不存在斜率为负数的 切线，则实数a的取值范围是()1 1A . 2,B. 2,)C. (0,+ )D. 0,+m )12ax2 + 1解析：选D.f'x)= x + 2ax=x(x>0)，根据题意有f'x)>0(x>0)恒成立，所以2ax2 +1>0(x>0)恒成立，即2a> x2(x>0)恒成立，所以a>0,

15、故实数a的取值范围为0, +).故选D.2. 已知f(x) = In x, g(x)= 2x2 + mx+ f(mv 0)，直线I与函数f(x), g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1, f(1),则m的值为()A . 1B. 3C. 4D. 21解析：选D.因为f'刈=-，x所以直线l的斜率为k= f' (=)1,又 f(1) = 0,所以切线I的方程为y= x 1.g'x) = x+ m,设直线I与g(x)的图象的切点为(X0, y°),17则有 xo+ m= 1, yo = xo 1, yo = qx0+ mxo+ ，mv 0,于是解得 m

16、= 2.3. (2019云南第一次统考)已知函数f(x)= axln x+ b(a, b R),若f(x)的图象在x= 1处的切线方程为 2x y= 0，贝U a+ b =.解析：由题意，得f'x) = aln x+ a,所以f'(特a,因为函数f(x)的图象在x= 1处的切线方程为 2x y= 0,所以 a = 2,又 f(1) = b,贝U 2X 1 b = 0,所以 b= 2,故 a + b = 4.答案：414设曲线y=古在点(0, 1)处的切线与曲线 y=-(x> 0)上点P处的切线垂直，则 P的坐 x标为.1 解析：y'= 口 曲线y= ex在点(0,

17、 1)处的切线的斜率 k1 = e°= 1,设P(m, n), y= _(x>0) x111的导数为y'= p(x>0),曲线y = (x>0)在点P处的切线斜率k2= 2(m>0),因为两切线垂xxrm直，所以k1 k2= 1,所以m= 1, n= 1,则点P的坐标为(1, 1).答案：(1, 1)95. 设有抛物线 C: y= x2+ 2x 4,过原点O作C的切线y= kx,使切点P在第一象限.(1) 求k的值；(2) 过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.9解：(1)由题意得,y = 2x+ §设点P的坐标为(x1, y

18、1),贝 U y1= kx1,y1= x2+X1 4,92x1 + 2= k,联立得，X1 = 2, X2= 2(舍去).1所以k=过P点作切线的垂线，其方程为y= 2x+ 5.将代入抛物线方程得213x2 x+ 9 = 0.设Q点的坐标为(X2, y2),则2x2= 9,所以 X2= 2, y2= 4.9所以Q点的坐标为2， 4 .6. 已知函数 f(x) = ax3 + 3x2 6ax 11, g(x) = 3x2 + 6x+ 12 和直线 m： y= kx+ 9,且 f'1)= 0.(1) 求a的值；是否存在k,使直线m既是曲线y= f(x)的切线，又是曲线y= g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：(1)由已知得 f'x(