高二数学选修1—2课件_《类比推理》

1、归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立复习：复习：5、归纳推理的一般模式归纳推理的一般模式:S1具有具有P,S2具有具有P,Sn具有具有P, (S1,S2,Sn是是A类事物的对象）类事物的对象）所以所以A类事物具有类事物具有P类比推理类比推理从一个传说说起：我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业的从一个传说说起：我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了

2、手，这祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手. .我需要一种能割断木头我需要一种能割断木头的工具；的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的. .这个推理过程是这个推理过程是归纳推理吗？归纳推理吗？为了回答为了回答“火星上是否有生命？火星上是否有生命？” 这个问题，科学家们把这个问题，科学家们把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征如：如：1，类比推理的定义，类比推理的定义:由两类对

3、象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称（简称类比类比）简言之，类比推理是简言之，类比推理是由特殊由特殊到到特殊特殊的推理的推理类比推理的一般模式类比推理的一般模式:A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d. 检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结

4、论2,类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤: 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；即即 类比推理举例类比推理举例构成几何体的元素数目：四面体构成几何体的元素数目：四面体 三角形三角形 几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象复数复数向量向量方程方程函数函数不等式不等

5、式交集，并集，补集交集，并集，补集或，且，非运算或，且，非运算从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想 合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向提供证明的思路和方向 和和都是根据已有的事实都是根据已有的事实,经过观察、经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜分析、比较、联想，再进

6、行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们想的推理，我们把它们统称统称为为.通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.（2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数。a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)例例3 3、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。方程ax=0ax=1(a0）解x=a（4）在加法中，

7、任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的积都等于原来的数，即a+0=aax1aa1析：析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，且算律，都存在逆运算，且0和和1分别在乘法和加法中占有特殊的地位分别在乘法和加法中占有特殊的地位圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积. . .在在研究球体研究球体时，我们会自然的时，我们会自然的联想到圆联想到圆，对于圆，我们已，对于圆，我们已经有了比较充分的研究，定义了圆的一些概念，发现了圆经有了比较充分的研究，定义了圆的一些概念，发现

8、了圆的一些性质。的一些性质。由于球与圆在形状上和概念上都有类似的地由于球与圆在形状上和概念上都有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有。如：如：圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径；等于半径；对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径；只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径；平面内不平

9、面内不共线的共线的3 3点确定一个圆，点确定一个圆，由此猜测空间中不共面的由此猜测空间中不共面的4 4点确定点确定一个球等。一个球等。球的表面积球的表面积球的体积球的体积等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaq n（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质22nmn maaa 22nmn maaa 任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当

10、且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成公差为成公差为 等差数等差数列列232,mmmmmSSSSS成公比成公比? 等比数等比数列列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比n2dqn17分析 a1+a2+a3+n=a1+a2+a3+n+an+1+an+2+k-1+ak+ak+1+x+ay0 等比中K=9原题中K=10a bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,(

11、) ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 则则 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 若若 ， 则则 12aa a (,)bb b12(,)a bab abR 1122/,()aba ba b1 12202212|aaa222123|aaaa空间向量空间向量平面向量平面向量“平面内，两组对边分别相等的四边形是平平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形行四边形” ； “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相

12、平行互相平行” “空间中，两组对边分别相等的四边形是平空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形行四边形”；“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行互相平行”类比类比猜想是错误的猜想是错误的直角三角形直角三角形C C90903 3个边的长度个边的长度a a，b b，c c 2 2条直角边条直角边a a，b b和和1 1条斜边条斜边c c类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空试给出空间中四面体性质的猜想间中四面体性质的猜想3 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090 4 4个

13、面的面积个面的面积S S1 1，S S2 2，S S3 3和和S S 3 3个个“直角面直角面” ” S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面” ” S S12abcSP PaPbPc海伦公式：已知三角形的三边长分别为a,b,c，且P=则三角形面积为1sin2ABCSabC例题讲解例题讲解ABCabca2+b2=c2s1s2s3FEF的面积为的面积为S2232221SSSSrcbaS)(21rSSSSV)(31321rPEFD例例4.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上三条边上的高的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距

14、离到相应三边的距离分别为分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论证证法法ABCPpapbpc1ccbbaahphphp1ddccbbaahphphphpABCDP证证法法1,2121ABCPABPACPBCccbbaaABCPABPACPBCABCPABccABCPACbbABCPBCaaaaSSSShphphpSSSSSShpSShpSShBCpBChp同理有n123(1)1f n=1时时,123(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 123(3)7f n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 1233(2)1