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文档简介

1、 (转化到粒子数表象转化到粒子数表象)13.3.2 薛定谔波场的量子化为了引进粒子数表象，取一组正交完全函数集 ，将场算符展开为： (3.3.19)其中， 可取一次量子化理论中任一单粒子力学量算符的本征函数集， 为态指标。式中因为 是算符，所以展开系数 也是算符利用 的正交归一性： (3.3.21) 从而可以得到展开式(3.3.19)的逆变换关系式： (3.3.22)( )x( , )(t)( )x tbx ( , )(t)( )x tbx( )x、bb、( )x(x)(x)dx*( )( ) ( )b txx dx( )( )( )b txx dx2利用逆变换关系式(3.3.22)以及场算符

2、的基本对易关系(如右式)可以导出算符 之间的同时性对易关系为： (3.3.23)量子化的波场的哈密顿算符式可以化为：或表示成矩阵的形式： (3.3.24)其中矩阵元 (3.3.25)bb、() ,()0() ,()0() ,()btbtbtbtbtbt 222*2(x,t)(x,t)(x,t)2 (x)(x)2HdxVb bdxV 2*22HdxV ( , ),( , )0( , ),( , )0( , ),( , )()x tx tx tx tx tx txx ( )( )( )H tb t b t H3量子化的波场的哈密顿算符式分析：分析： 如果V 与时间有关， 当然也可能与时间有关。在特

3、殊情况下，若V 与时间无关，则 可取一次量子化理论中的 单粒子哈密顿算符 的本征态，相应的本征值为 ，于是有 这时，量子场哈密顿算符式为： (3.3.26)上式所给出的是量子化波场的哈密顿算符，因此，求它的本征值和本征矢的问题是一个二次量子化方案中的问题。但是，当采用了粒子数表象后，求解这个问题就会变得非常简单，可以照搬一次量子化方案中求谐振子问题的每个步骤。 我们可以说 和 是 态粒子的 消灭算符和产生算符； 是 态粒子数算符；那么， 就是总粒子数算符。u 这里应当指出，本节开始是从单粒子单粒子薛定谔波场出发通过二次量子化手续建立了量子化薛定谔波场。但是上述分析表明，这样建立起来的量子化波场不仅能够描写单粒子态单粒子态，而且能够描写多粒子态多粒子态。从量子场的观点来看，单粒子态和多粒子态并无本质区别，它们都是量子场的激发态。因此我们可以预期，与利用一次量子化理论相比利用量子场或二次量子化理论来研究多粒子问题将会变得相当简单研究多粒子问题将会变得相当简单。2*2+ ( )(x)(x)=( )( )2H t

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