高一数学： 第15.1讲 等差数列概念及通项公式

1、20212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一从第从第2项起，每一项与其前一项的差项起，每一项与其前一项的差等于等于同一个同一个常数常数的的数列，常数叫做等差数列的数列，常数叫做等差数列的公差公差，字母，字母d表示。表示。an - an-1=d(d是常数是常数)数列数列 a an n 为等差数列为等差数列an-an-1=d或或an=an-1+d判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据等差数列的递推公式等差数列的递推公式1、等差数列的定义、等差数列的定义20212021年年1010月月1

2、818日星期一日星期一 练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项不是？如果是，写出首项a a1 1和公差和公差d, d, 如果不是，如果不是，说明理由。说明理由。（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0（6）15，12，10，8，6，1111(5)1,2345思考：思考：在数列在数列(1)中，中，a100=？如何求解呢？如何求解呢？20212021年年1010月月1818日星期一日星期一判断题判断题(1

3、)数列数列a，2a，3a，4a，是等差数列是等差数列;(2)数列数列a2，2a3，3a4，4a5，是等差数列是等差数列;(3)若若anan+1=3 (nN*)，则，则an是公差为是公差为3的等差数列的等差数列;(4)若若a2a1=a3a2, 则数列则数列an是等差数列。是等差数列。20212021年年1010月月1818日星期一日星期一已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，d是公差，则：是公差，则：当当d=0时，时， an为常数列；为常数列；当当d0时，时， an为递增数列；为递增数列；当当d0时，时， an为递减数列；为递减数列；an - an-1=d(d是常数是常数，n2,nN*)2

4、. 2.等差数列的单调性等差数列的单调性（1）3，7，11，15，19，23（2）8，2，4，10，16（3）2，2，2，2，2，2，2，判断下列数列是否为等差数列判断下列数列是否为等差数列,是递增数列还是递减数列？是递增数列还是递减数列？递增数列递增数列递减数列递减数列常数数列常数数列20212021年年1010月月1818日星期一日星期一3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式1.nnaada思考：已知等差数列的首项为 ，公差为 ，求 方法一：方法一：根据等差数列的定义得到根据等差数列的定义得到21aad ，21aad32aad ，43aad ，3211()2aadaddad4311 (2

5、 )3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n 11na当时，上面等式两边均为 ，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为方法一：方法一：不完全归纳法不完全归纳法a2=a1+ d,a3=a1+2d,a4=a1+3d, 所以有：所以有：,*nN20212021年年1010月月1818日星期一日星期一21aad ，32aad ，43aad ，1nnaad1n 个1(1)naand将所有等式相加得将所有等式相加得方法二方法二:叠加法叠加法dnaan) 1(11,*nnN（）11na当时，上面等式两边均为 ，即等式也成立 方法二：方法二：20212021年年1010月月1818日星

6、期一日星期一等差数列的通项公式等差数列的通项公式dnaan) 1(1【说明说明】在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中a1、d、an、n 任知任知 3个，可求个，可求其余其余1个个. ,*nN20212021年年1010月月1818日星期一日星期一例例1 (1) 求等差数列求等差数列8，5，2，的第，的第20项。项。解：解：49)3()120(820 a(2) 等差数列等差数列 -5，-9，-13，的第几项是，的第几项是 401？解：解：,401, 4)5(9, 51nada因此，因此，)4()1(5401n解得解得100ndnaan) 1(1,20, 385, 81nda用一下用一

7、下20212021年年1010月月1818日星期一日星期一1. 求等差数列求等差数列3，7，11，的第的第4，7，10项；项；2. 100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，中的项？中的项？3. -20是不是等差数列是不是等差数列0，- ，-7中的项；中的项；,154a,277a3910adnaan) 1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn练一练练一练7220212021年年1010月月1818日星期一日星期一练一练练一练练习练习. . 在等差数列中在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求 与11,3ad3912(2)9,3aaa已知，求111,1ad

8、 120a20212021年年1010月月1818日星期一日星期一例例2 2 在等差数列中在等差数列中, ,已知已知a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,解：由题意可知解：由题意可知这是一个以这是一个以 和和 为未知数的二元一次为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是即这个等差数列的首项是- -，公差是，公差是. .求首项求首项a a1 1与公差与公差d.d.dnaan) 1(1114101131adad1ad123ad 20212021年年1010月月1818日星期一日星期一4.等差数列的函数特性等差数列的函数特性 nfand

9、adn1一次函数等差数列 是一次函数的斜率公差d20212021年年1010月月1818日星期一日星期一等差数列的图象（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，1234567891012345678910024nan20212021年年1010月月1818日星期一日星期一（2）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100-3 +10nan20212021年年1010月月1818日星期一日星期一（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，123456789101234567891004na 20212021年年1010月月1818日星期一日星期一5.等差中项等差中项 观察

10、如下的两个数之间，插入一个什么数后者三观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：个数就会成为一个等差数列：（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5（3）-12， ，0 （4）0， ，032-60 若若a，A，b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项22baAbaABbaA等差中项的理解等差中项的理解(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若列的方式，如若an，an1，an2满足满足2an1anan2，则，则数列数列an为等差数列，这是因为为等差数列，这是因为2an1a

11、nan2等价于等价于an1anan2an1，显然满足等差数列的定义，显然满足等差数列的定义(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项的等差中项220212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1(1) .naand1、等差数列的定义、等差数列的定义1(nnaad d是常数）.3、等差数列的中项、等差数列的中项2abA 小结小结通项公式的证明及推广通项公式的证明及推广

12、m(nm) .naad3131与100与180.1(1,*)nnaad nnN20212021年年1010月月1818日星期一日星期一课堂互动讲练课堂互动讲练等差数列的判定等差数列的判定 已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为an6n1，问：，问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？首项与公差分别是多少？【分析】【分析】由等差数列的定义，只需判断由等差数列的定义，只需判断an1an是否为常数是否为常数20212021年年1010月月1818日星期一日星期一【解】【解】an1an6(n1)1(6n1)6，an是等差数列，其首项为是等

13、差数列，其首项为a16115,公差为公差为6.【点评】【点评】证明或判断一个数列是否为等差证明或判断一个数列是否为等差数列，通常用定义法数列，通常用定义法20212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一例例4已知三数成等差数列，其和为已知三数成等差数列，其和为15，首，首 末两项积为末两项积为9，求此三数，求此三数 * 注三个数成等差数列可分别设为：注三个数成等差数列可分别设为： ad，a，ad变式：变式：已知四个数字成等差数列，中间两项之已知四个数字成等差数列，中间两项之和

14、为和为3，首尾两项之积为，首尾两项之积为0，求这四个数字。，求这四个数字。数学应用数学应用注四个数成等差数列可分别设为：注四个数成等差数列可分别设为： a-3d ,a2d，a+2d，a3d20212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一20212021年年1010月月1818日星期一日星期一(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式审题指导审题指导 【例3】【题后反思题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：有：(1)an1and(

15、d为常数，为常数，nN*)an是等差数列；是等差数列；(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列；是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，为常数，nN*)an是等差数列是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可即可 判断下列数列是否为等差数列：判断下列数列是否为等差数列：(1)an32n；(2)ann2n.解解对任意对任意nN*，(1)an1an32(n1)(32n)2，是同一常，是同一常数，数，数列数列an是等差数列是等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n，不是同一，不是同一常数，常数，数列数

16、列an不是等差数列不是等差数列【变式3】 若数列若数列an的通项公式为的通项公式为an10lg 2n，试说明数列，试说明数列an为等差数列为等差数列错解错解 因为因为an10lg 2n10nlg 2，所以所以a110lg 2，a2102lg 2，a3103lg 2，所以所以a2a1lg 2，a3a2lg 2，故数列故数列an为等差数列为等差数列误区警示对等差数列的定义理解不透彻【示例】 证明一个数列为等差数列，以特殊代替证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明用定义或与定义等价的命题

17、来证明正解 因为an10lg 2n10nlg 2，所以an1an10(n1)lg 2(10nlg 2)lg 2(nN*)所以数列an为等差数列20212021年年1010月月1818日星期一日星期一 (2011年三明高二检测年三明高二检测)已知等差数列已知等差数列an中，中，a1a2a3an且且a3，a6为方程为方程x210 x160的两个实根，求此数列的首项的两个实根，求此数列的首项a1和公差和公差d.【分析】【分析】由条件可求得由条件可求得a3，a6，然后利用，然后利用通项公式列出方程组可求出通项公式列出方程组可求出a1，d.通项公式的活用通项公式的活用20212021年年1010月月18

18、18日星期一日星期一【点评】【点评】在等差数列在等差数列an中，首项中，首项a1与公差与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题是两个最基本的元素，有关等差数列的问题,经常需要求出经常需要求出a1、d.20212021年年1010月月1818日星期一日星期一自我挑战自我挑战2在等差数列在等差数列an中，中，a1a4a745，a2a5a829，则，则a3a6a9()A22B20C18 D1320212021年年1010月月1818日星期一日星期一解析：解析：选选D.记记a1a4a745，a2a5a829，得得(a2a1)(a5a4)(a8a7)2945,即即3d16.又由又由式，得式，得3a

19、19d45，3a193.a3a6a93a115d9353d935(16)13. 已知递减等差数列已知递减等差数列an的前三项和为的前三项和为18，前三项的乘积，前三项的乘积为为66.求数列的通项公式，并判断求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？是该数列的项吗？思路探索思路探索 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算的基本运算【例1】数列an是递减等差数列，d0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34是数列an的第10项 在等差数列在等差数列an中，首项中，首项a1与公差与公差d是两是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以