例举初等数学与高等数学的一些联系课件

1、例举初等数学与高等数学的一些联系例举初等数学与高等数学的一例举初等数学与高等数学的一些联系演讲：张小明 E-mail:例举初等数学与高等数学的一些联系A A仿射几何仿射几何仿射几何：对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后，相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何，它是射影几何的一部分.所谓放缩一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 1122,0Xk xk kYk y00XxxYyycossinsincosXxyYxy 1112021220Xa xa yxYa xa yy111221220aaaa112221 120a aa a，平移：，旋转所以仿射变换指的是（1.1），即其中：例举初等数学与

2、高等数学的一些联系性质性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性.说明：一一对应性指的是变换一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 （1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换；（2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若 112233,x yxyx y三点连线，则 112233111021xyxyxy，则1111 1121021 1221022112122021222203311 3123021 322301111112211XYa xa yxa xa yyXYa xa yxa xa yy

3、XYa xa yxa xa yy11 112121 122111212221222211 312321 322311121a xa ya xa ya xa ya xa ya xa ya xa y11 121 111 122111221211222211 321 311 32231111112211a xa xa xa ya xa xa xa ya xa xa xa y12121 112122112221212222212321 31232231111112211a ya xa ya ya ya xa ya ya ya xa ya y111111222212222233331111112211x

4、yxya axya axyxyxy11112212222233111021xya aa axyxy所以 112233,X YX YX Y三点连线.例举初等数学与高等数学的一些联系性质性质1.2 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.说明：我们不妨证明两条平行直线（ ， ）的原像是平行直线.它们的原像满足一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 显然命题为真.10AYBXC20AYBXC212201112010A a xa yyB a xa yxC211122120010AaBaxAaBayAyBxC，和211122120020AaBaxAaB

5、ayAyBxC例举初等数学与高等数学的一些联系性质性质1.3 仿射变换保持简比不变仿射变换保持简比不变.说明：若新直线的定比分点满足 一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 1231XXX1231YYY和，则有 11 112101121220113123021 1221021222202132230,1,1a xa yxa xa yxa xa yxa xa yya xa yya xa yy121211312312122132230,110,11xxyyaxayxxyyaxay1231230,10,1xxxyyy例举初等数学与高等数学的一些联系一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何

6、abcABC11221221ABCabcSa aa aS性质性质1.4 1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. .说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了与的面积之比为.推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.例举初等数学与高等数学的一些联系一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 ABCA BCABCABC性质性质1.51.5 在平面上给定不共线三点在平面上给定不共线三点、 及不共线三点及不共线三点、 、, ,总存在一仿射变换把总存在一仿射变换把、 分别变到分别变到、

7、 112233,x yxyx y说明：若 的坐标分别为， ABC、 112233,X YX YX Y的坐标为， A BC、1122331101xyxyxy1122331101XYXYXY则问题化为：在和的条件下， 1112212200,aaaaxy111 11210121 122102112122022122220311 31230321 32230Xa xa yxYa xa yyXa xa yxYa xa yyXa xa yxYa xa yy问关于的方程是否有解. ABCABC 推论1.2 (1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形变到等腰直角ABCABC (2)

8、在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形变到等边.例举初等数学与高等数学的一些联系一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 ABCBRtABCDB B若干应用若干应用例例1.11.1 、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE, 求证：SA EF= SDFH= SCHG= SBGE证明：通过仿射变换，把变成等腰直角三角形（），则此时平形四边形ABCD为正方形AEF、DFH、CHG、SBGE为全等三角形，命题得证.例举初等数学与高等数学的一些联系一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 例例1.2 求证：三角形的三条中线共点.例举初等数学

9、与高等数学的一些联系一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 22221yxabab例例1.3 1.3 求证椭圆的面积为.例举初等数学与高等数学的一些联系一、仿射几何与平面几何一、仿射几何与平面几何 例例1.4 能否在三角形ABC中找一个内接四边形PQRS，如图，使得1234SSSS？ 例举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单调定理几何平均不等式与最值单调定理数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届IMO与与CMO都有一道不等式都有一道不等式.在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜.例

10、举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单调定理几何平均不等式与最值单调定理例举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单调定理几何平均不等式与最值单调定理例举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单调定理几何平均不等式与最值单调定理例举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单调定理几何平均不等式与最值单调定理例举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单调定理几何平均不等式与最值单调定理例举初等数学与高等数学的一些联系二、算术二、算术-几何平均不等式与最值单

11、调定理几何平均不等式与最值单调定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高

12、等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，S

13、chur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系三、局部调整法，三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理条件与最值压缩定理例举初等数学与高等数学的一些联系四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明例举初等数学与高等数学的一些联系四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明例举初等数学与高等数学的一些联系四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明例举初等数学与高等数学的一些联系四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多

14、项式的图像性质与三角形不等式的证明例举初等数学与高等数学的一些联系四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明例举初等数学与高等数学的一些联系四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明例举初等数学与高等数学的一些联系五、对称条件与非对称结果五、对称条件与非对称结果例举初等数学与高等数学的一些联系五、对称条件与非对称结果五、对称条件与非对称结果例举初等数学与高等数学的一些联系五、对称条件与非对称结果五、对称条件与非对称结果例举初等数学与高等数学的一些联系五、对称条件与非对称结果五、对称条件与非对称结果 参考

15、文献参考文献1杨拥良.荀洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用.中等数学，2009年2期，P.8-11.2何作发.仿射几何的几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004年第8期，P.76-78.3张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月.4Albert WMarshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applicationsMNew York :Academic Press,Inc,19795王伯英控制不等式基础M北京：北京师范大学出版社，1990年6张小明.三角形不等式的“B-C”证法不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社，2000年6月.7杨学枝.两个三元不等式及其应用.中国初等