第2章 控制系统的动态数学模型

1、自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型2.1 控制系统的数学模型的基本概念2.2 非线性系统数学模型的线性化2.3 拉氏变换与拉氏反变换2.4 传递函数2.5 系统函数方框图及简化2.6 信号流图及梅逊增益公式2.7 控制系统的传递函数 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的

2、数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.1 2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1.1 数学模型的基本概念 数学模型是描述系统输入输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系的方程式。 静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶

3、导数之间关系的微分方程，即描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论建立数学模型的方法建立数学模型的方法解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当

4、的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。系统辨识。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论数学模型的形式时间域：时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域：复数域： 传递函数结构图频率域：频率域： 频率特性自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论“三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系F1FL1Lsjjs自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.1.2 2.1.2 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程1 1）建立数学模型的一般步骤）建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据

5、各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。)()()()()()()()(0111101111trbtrtddbtrtddbtrtddbtcatctddatctd

6、datctddammmmmmnnnnnn线性定常系统微分方程的一般形式：线性定常系统微分方程的一般形式：自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2 2）系统微分方程的列写）系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量质量22( )( )( )mdy td x tftmmdtdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 弹簧弹簧对于弹簧，受力相同，变形量不同。1212( )( )( )( ) ( )( ) ( )kttftk x txtkx tkvtvtdtkv t dt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 阻力阻力

7、1212( )( )( )( )( )( ) ( ) DftD vtvtDv td xtxtDdtdx tDdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论p 机械平移系统机械平移系统20200( )( )( )( ) ( )( )( )( )iDkkDdf tftftmx tdtftkx tdftDx tdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论20002( )( )( )( )iddmxtDxtkxtf tdtdt式中：m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。 显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

8、自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论p 弹簧阻尼系统系统弹簧阻尼系统系统 系统运动方程为一阶常系数微分方程。( )( )( )( )( )( )iDkooif tftf tdDx tkx tf tdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 电气系统电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻电阻自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 电容电容 电感电感自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论p R-L-C R-L-C无源电路网络无源电路网络1( )( )( )( )1( )( )iodu tRi tLi ti t dtdtcu ti t dtc22( )(

9、)( )( )oooiddLCu tRCu tu tu tdtdt一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统简化为：( )( )( )ooidRCu tu tu tdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.1.3 2.1.3 相似系统相似系统( )( )( )ooidDxtkxtf tdt( )( )( )ccrdRCu tu tu tdt 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。它揭示了不同物理现象之间的相似关系。 同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论kF(t)mDy

10、(t)22( )( )( )( )dy tdy tmDky tF tdtdt22( )( )( )( )cccrddLCu tRCu tu tu tdtdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.2 2.2 数学模型的线性化数学模型的线性化2.2.1 2.2.1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间 t 的函数，则为线性时变系统。 线性是指系统满足叠加原理，即：12121212 () () () ()( ) ()() ()f xxf xf xfxf xfxxf xf x可加性：齐次

11、性：或自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。 为分析方便通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.2.2 2.2.2 线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnonooonnmmmimiiimmdddaxtaxtaxta xtd td td tdddbxtbxtbxtb xtd td td t式中：012012 nmaaa

12、abbbb， ， ，和 ， ， ，为由系统结构参数决定的实常数，mn。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.2.3 2.2.3 线性化问题的提出及线性化（自学）线性化问题的提出及线性化（自学） 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.3 2.3 拉氏变换与拉氏反变换拉氏变换与拉氏反变换 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立

13、了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。拉氏变换的优点：拉氏变换的优点：1）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.3.12.3.1拉氏变换的定义拉氏变换的定义 设函数 f(t) 满足: t 0 时 f(t)=0； t0 时，f(t)分段连续，且 ， 则拉普拉斯变换的定义为： dtetfst|)(|00( ) ( )( ) stF sL f tf t edt t0f (t) 原函数（时间函数）F(s) 象函数，s是复变数 sj自 控 控 制 理 论自 控 控

14、制 理 论2.3.2 2.3.2 典型函数（常用信号）的拉氏变换典型函数（常用信号）的拉氏变换 ()00( ) ( ) 1 atatsts a tF sL f tL eeedtedtsaatetf)(1）指数函数aseat1 构成一变换对 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论01lim0( )00tttt 0000( )lim( )1 lim1ststLtt edtedt2）单位脉冲函数 1)(t 构成一变换对 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论0001)( 1)(ttttf0( ) ( )1( )1 stF sL f tLtedts3）单位阶跃函数st1)(1 构成一变换对

15、 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论000)(ttttf20( ) ( )1 stF sL f ttedts4）单位速度函数21st 构成一变换对 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论00021)(2ttttf230( ) ( )11 2stF sL f tt edts23112ts5）单位加速度函数 构成一变换对 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 sin000cos000tttttt6）正弦函数及余弦函数00sinsincoscosststLttedtLttedt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 1sin()21cos()2ititititteejt

16、ee尤拉公式00221sin2111 2j tstj tstLteedteedtjjsjsjs同理22cossLts自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论000)(ttttfn10!)()(nstnsndtettfLsF1!nnsnt7）t 的幂函数 构成一变换对 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论拉氏变换积分下限的说明拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下，函数 f(t) 在t0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0还是0+ +，并相应记为：0000 ( )( ) ( )( ) ( )( )stststLf tf t edtLf tf t edtLf tf t e

17、dt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.3.3 2.3.3 拉普拉斯变换的定理（性质）拉普拉斯变换的定理（性质）121212 ( )( )( )( ) ( )( )L af tbf taL f tbL f taF sbF sab、 为常数1）线性定理 若F1(s)=Lf1(t)， F2(s)=Lf2(t) ，则有2）微分定理 若F (s)=Lf(t)， 则有( )( )(0)dLf tsF sfdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论)0()0()()(222fsfsFstfdtdL12(2)(1)( )( )(0)(0) (0)(0)nnnnnnndLf ts F ssf

18、sfdtsff(1)(1)(0)(0)(0)( )0(0)(0)(0)0 ( )( )nnnnnffff tt=fffdLf ts F sdt式中、为及其各阶导数在时的值。如，则有自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论3）积分定理 若F (s)=Lf(t)， 则有 11222212(1)( )(0)( )( )(0)(0)( )( )(0)(0)(0)( )nnnnnF sfLf t dtssF sffLf t dtsssF sfffLssssf t dt个12(0)(0)(0)( )nffff tt式中、为函数的各次重积分在=0时的值。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论4）位

19、移定理（衰减定理）( )( ) ( )()atF sL f tL ef tF sa 若，则有【例1】2222Lsin t=Lesin t=()atssa【例2】2222Lcos t=Lecos t=()atsssasa自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5）延时定理( )( ) () 1()( )sF sL f tL f tteF s若，则有6）初值定理 0( )( ) lim( )lim( )tsFsLftf tsF s 若， 则 有自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论7）终值定理 0( )( ) lim( )lim( )tsF sL f tf tsF s若，则有8）时间比例

20、尺的改变定理( )( )1 ()( ) ( )()F sL f tsL f atFaatL faF asa若 ，则有或自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论9）卷积定理 1122121212121212012012( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )()( ) ( )()( )( )ttF sL f tF sL f tL f tf tF sF sL f tf tF sF sf tf tf tfdff tdf tf t若，则有 或 式中 为和的卷积。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论10）乘幂定理 ()( )( )( ) ( )(

21、1) (1)( )nnnnnnFsLftdFsLtftdsFs 若， 则 有自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.3.4 2.3.4 拉氏反变换拉氏反变换11( ) ( )( )2jstjf tLF sF s e dsj 拉普拉斯反变换的定义式：拉氏变换的部分分式展开式拉氏变换的部分分式展开式 在控制系统中F(s)一般为如下有理分式的形式: 101110111010121. ()( )( )( )()()mmmmnnnnnmmmbb sb sbsbB sF sA sa sasb sbspspsasabsnspm0101( )0nmnaaabbbpppA sF12式中：， ， ， ，

22、，为实常数； ， ，为的根，称 (s)的极点。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论） F(s) 中只有不同的实数极点时112=111010122. ()()() ( )( )( )= mnnmiinimnb sb sbspspsbsB sF sA skkkkspspsps - pp1111( ) ( )innp tiiiiikf tLF sLk esp( )()( )iiiiispkpB skspA s式中， 为待定常数，称为F(s)在极点 处的留数，其求法： 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论10(2)(5)( )( )(1)( 3) ssF sf ts ss例 求的原函数

23、312( )13kkkF ssss解：将F(s)展开成部分分式形式101323100( )310(1)( )203)( )3sssksksF sksF sF s 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1002010( )313(3)F ssss111311002010( )L 313(3)1002010 L L L 313(3)10010 2033(0)ttf tsssssseet自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论） F(s) 中含有多重极点时 101011111111111. () ( )( )( )()()() ) mnrrrmmrrrrnnrbsB sF sA skccc

24、kspspspspsb sb sbspspspp1111111( )()( )( )()( ) 1( )()!( )rrsprrspjrrjjspB scspA sdB scspdsA sdB scspjdsA s自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1111111( )()(1)!( )( )()( )irrrsprniispdB scsprdsA sB skkkspA s， ， 的计算方法为：11111 ()(1)!nptptntLeLespspn位移定理（衰减定理）( )( ) ( )()atF sL f tL ef tF sa 若，则有自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论

25、1111111111121211( )()() (1)!(2)!irrrrnrrnnptp trrrrii rcccf tLspspspkkspspccttc tc ekerr 32( )( )(1)sF sf ts s求的原函数 【例】解：将F(s)展开成部分分式形式321432( )(1)(1)(1)ccckF sssss自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论3131121121114022( )(1)( )( )3 ( )21( )2( )22!， sssssF ssF ssdcF scF sdsdcF sksF sds 23( )222 (0)2tttf tt eteet3232

26、22( )(1)(1)(1)F sssss所以有：自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论） F(s) 中含有共轭复数极点时 1312112010123( )( )( )(. ()()() )()mnnmmnb sb sbspspsbsB sF sA skksspspsppsp111121212( )()()()( )( ) () = ,)( )ispspiispppB ssspspA sB skspi 3 4nA s2式中 ，为共轭复数，由 求取，（自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论21( )(1)sF sf ts ss例：求的原函数 ( )解：解：求方程s2+s+1=0的根2

27、41142213 22bba csaj 3121( )1313()()22221313()()2222sF ss sjsjksssjsj自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1312()1322()22121()1311322()221322sjsjsssjjj12121211203322 1- （）2（）自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论222222211 ( )(1)1313()()22221 13()()2211122 1313()()()()2222ssF sss sssjsjsssssss所以30201( )|11sssksF sss自 控 控 制 理 论自 控 控

28、制 理 论1122121021212333( )1cos232333 1(cos)23233 1(cos30)223cos63 1(cos)226133 1(6coscos6)2262 3 13ttt0t0t000f tetesintetsintettgsint0etsintsin 0esin 0t0sintsin 01023(60 )2tesint自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.3.5 2.3.5 应用应用拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论()(1)10()0( )( )( )( ),(0()nnnnmmna ytY sayt

29、abftbyFfsttt设 微 分 方 程 （阶 系求 解 方 法 ：统 的 输 入 输 出 ）， 且1( )( )10( )(0( )( ),0,1,( )(),0,1,iippiijpjssyytY sifmstF sj 则 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论( )y t方程两边取拉氏变换整理得的象函数zzsiy(t)y (tt +)=y)再取逆变换得解 110000()0(0 )( )( )(nimipjijipjnniiiipiizzsiasb sY sa sya sF sYsYs 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论( )3( )2 ( )2( )6( ) ( )1

30、( ),(0 )2,(0 )1( ),( ),( )zizsyty ty tftf tf ttyyy tytyt 已知例 求2( )(0 )(0 )3( )3 (0 )2 ( )2( )6 ( )s Y ssyysY syY ssF sF s方程取解：拉氏变换得2222(0 )(0 )3 (0 )26( )( )3232272(3)13232syyysY sF ssssssssssss整理得 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论22753( )3212zisYsssss部分分解2( )53ttziytee逆 变 换 得22(3)341( )3212zssYsssssss部 分 分 解2

31、2( )34 ( )53(0) (0)ttzsttziyteeyteett逆 变 换 得 2( )( )( )32(0)ttzizsy tytyteet自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.4 2.4 传递函数传递函数2.4.1 2.4.1 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。 ( )G( )( )oiXssXs零初始条件： t0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系

32、统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0 时，输出量及其各阶导数也均为0；自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmooooiiiid x tdx tdx taaaatdtdtdtd x tdx tdx tbbbbtdtdtdtxx设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得10111011()( )()( )oinnnnmmmma sa sasaXsb sbsbsbX s自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1011101110111011( ) ( )(

33、)( )( )( ) ( )oimmmmnnnnmmmmnnnnM sb sb sbsbD sa sa sasab sbsbsbXsG sX sa sa sasaM sD s式中：描述该线性定常系统的传递函数为自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例】质量- -弹簧- -阻尼系统的传递函数22( )( )( )( )oooiddmx tDx tkx tf tdtdt所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：2( )( )( )( )oooims XsDsXskXsF s按照定义，系统的传递函数为：2( )1( )( )oiXsG sF smsDsk自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论

34、【例例】R-L-C无源电路网络的传递函数22( )( )( )( )cccrddLCutRCutututdtdt所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：2( )( )( )( )cccrLCs UsRCsUsUsUs按照定义，系统的传递函数为：2( )1( )( )1ciUsG sU sLCsRCs自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1）只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。2）传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即mn。且系数均为实数。3）传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。4）传递函数与

35、微分方程可相互转换。 5）传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)，可表特征系统的动态特性。,dp psdt自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.4.2 2.4.2 传递函数的特征方程、零点与极点传递函数的特征方程、零点与极点传递函数的一般形式1011101110111011( ) ( )( )( )( )( )( )oimmmmnnnnmmmmnnnnM sb sb sbsbD sa sa sasab sb sbsbXsM sG sX sa sa sasaD s式中： D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。 D(s) 中s 的最

36、高阶次等于系统的阶次。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得112121*10120121(1)(1)(1)(1)( ) ( )( )(1)(1)(1)(1)()()()()( ) ()()()()mjjmmnnniimjjmnniiKsbsssM sG sD sa T sT sT sTsKszb szszszG saspspspsp或 *00 bKa根轨迹增益*i11(0)=(-Z )/() mnmjijnbKGKpa系统放大系数或增益 iiT和 为时间常数自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论零、极点分布图012( )()()()0m

37、M sb szszsz012012()()()( )( ) ()()()( )mnb szszszM sG sa spspspD s的根Zi（i=1,2,3,m）称为传递函数的零点。012( )()()()0nD sa spspsp的根Pi（i=1,2,3,n）称为传递函数的极点。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”O”表示，极点用“”表示。j0z1z2自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论输入函数2.4.3 2.4.3 传递函数的零点与极点对输出的影

38、响传递函数的零点与极点对输出的影响u 传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中(即零初始条件响应)也会包含这些自由运动的模态。【例】112( )6(3)( ),3,1,2( )(1)(2)C ssG szppR sss 12( )5rrR sssttee2,自由运动的模态terrtr521)(即自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论零初始条件响应1112521221126(3)( )( ) ( )(1)(2)59(312 )(32 )tttrrsc tLG s R sLssssrr err err e 前两项具有与输入函数相同的模态，后两项由

39、极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关。u 传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重【例例】33. 1) 2)(1(25 . 1)(,5 . 0) 2)(1(24)(2211zssssGzssssG自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论)( 1)(ttr输入信号2122( )123( )10.50.5ttttc teec tee 各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。零状态响应分别为：自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论传递函数的几点说明传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概

40、念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，适合于单输入单输出系统的描述。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.4.4 2.4.4 脉冲响应函数脉冲响应函数 初始条件为0时，

41、系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为( )( )( )( )Y sG s X sG s即11( ) ( ) ( )( )y tLY sLG sg t g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.4.5 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数环节：环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。一般系统的传递函数通过因式分解都可表示为: 从上式可知任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。2 2112 2112

42、 2(1)(21)( )(1)(21)bcill lildevjkkkjkbcmdenKsssG ssT sT sT s 式中：， 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论微分环节：比例环节：Ks一阶微分环节：1s二阶微分环节：2221ss积分环节：1s一阶惯性环节：11Ts二阶振荡环节：22121T sTs自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论( )( ) oix tKx tK比例系数运动方程：1 1）比例环节）比例环节 特点特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。( )G sK传递函数：自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例】12z( )( )( )zoi

43、NsG sKNs21( )( )( )oiRUsG sKUsR 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2 2）惯性环节惯性环节 运动方程为一阶微分方程的环节特点特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。00( )( )( ) idx tTx tKx tdtTK时间常数比例系数运动方程：X ( )( )X ( )1oisKG ssTs传递函数：自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例】( )( )( )ooidxtDkxtkx tdt1( ) 1DKKG sTDsKTs，自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论( )( )

44、( )ccrdRCu tu tu tdt【例例】11G( ) T11sRCRCsTs，自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论3 3）微分）微分特点特点：输出量正比于输入量的变化速度，能预示输入信号的变化趋势。 ( )( )iodx tx tkdt运动方程：( )G sks传递函数：理想微分环节 在物理系统中微分环节很难独立存在，经常和其它环节一起出现。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例】 测速发电机无负载时( ) ( )( )( )ioiodtu tkdttu tk输入转角输出电压电机常数( )( )( )oiUsG skss传递函数：自 控 控 制 理 论自 控 控 制

45、理 论【例】( )( )1( )( )( )oiu ti t Ru ti t dti t RC0( )( ) ( )11iUsRCSTSG sTRCU sRCSTS， 显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当| |Ts|1时，才近似为微分环节。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论( )( )( )ioidx tx tx tdt运动方程：传递函数：一阶微分环节( )1G ss 微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。运动方程：传递函数：二阶微分环节222( )

46、( )( )2( )iioid x tdx tx tx tdtdt22( )21G sss自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论4 4）积分）积分特点特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能，具有明显的滞后作用。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。 ( )( )oix tk x t dt运动方程：传递函数：( )kG ss【例】 1 oi1u (t)=-u (t)dtRC1G(s)=-=-TRCRCsTs，自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5 5）振荡环节振荡环节特点特点：环节中有两个独立的储能元件，且所储能量元可进行交换，从而导致其输出出现振荡。22o

47、ooi2d x (t)dx (t)T+2 T+x (t)= x (t)dtdt运动方程：222221( )212nnnG sT STSSS传递函数：式中： nT时间常数无阻尼固有频率阻尼比自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例】 R-L-C电路222( )( )( )( )( )1( )( )d y tdy tmfky tF tdtdtX sG sF smsfsk【例例】 质量-弹簧-阻尼系统 2cccr22d u (t)du (t)LC+RC+u (t)=u (t)dtdt1G(s)=LCs +RCs+1kF(t)mfy(t)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论6 6）延

48、时环节延时环节特点特点：输出能准确复现输入，但须延迟一固定的时间间隔。( )()oix tx t运动方程：( )sG se传递函数： - 迟时间延迟环节与惯性环节的区别：延迟环节与惯性环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出滞后一段时间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0时间内,没有输出，但t = =之后，输出等于之前时刻的输入。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论小小 结结 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件； 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成； 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的

49、作用。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.5 2.5 系统函数方框图及简化系统函数方框图及简化2.5.1 2.5.1 系统函数方框图系统函数方框图 系统函数方框图又称框图，是传递函数的一种图形描述式，可以形象地描述系统各单元之间和各作用量之间的相互关系，比较直观。 注意：注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。1 1）方框图的组成）方框图的组成信号线：带有箭头的直线，线上标注信号的象函数名称，箭头表示信号的流向。X(s)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论引出点：表示信号引出或测量的位置和传递方向，从同一信号线上引出的信号，大小和性质完全相同。函数方块(环

50、节)：表示环节对信号的变换，框中写入环节的传递函数。X1(s)X2(s) = G(s) X1(s)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论比较点(求和点) ：表示对两个或两个以上的信号进行代数运算，输入信号处应标明极性。 信号线 比较点引出点函数框C(s) G1(s) G2(s) R(s) N(s)+ +E(S) H(s)- -+ + +自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2 2）方框图的建立）方框图的建立绘制系统方框图的步骤绘制系统方框图的步骤由输入到输出，列写出系统各元件（环节）的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应；在零初

51、始条件下，对微分方程进行拉氏变换；绘制出各部件的方框图；按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例1 1】R-C网络【解解】(1)(2)( )( )( )( )( )ioou tu ti tRi t dtu tC( )( )( )( )( ) iooU sUsI sRI sUssC自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论(3)1( )( )( )ioI sU sUsR(4)1( )( ) oUsI sCs自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例2 2】R-C网络【解解】 (1)1111( )

52、( )( )ii tu tu tR11211( ) ( )( )u ti ti t dtC122( )( )1( )ou tu ti tR221(t)( )oui t dtCui(t)uo(t)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论(4)(4)(2)(2)(3)(3)1111( )( )( )iI sU sU sR1211 ( )( )1( )I sIsSU sC122( )( )1( )oU sUsIsR221(s)( )oUIsC sUi(s)Uo(s)Uo(s)Ui(s)Uo(s)注意注意：负载效应自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论4 4）方框图等效变换）方框图等效变换

53、任何复杂的系统方框图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。变换前后的变量之间关系保持不变变换前后的变量之间关系保持不变等效变换的原则等效变换的原则自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论(1)(1)方框图的运算法则方框图的运算法则几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。串联运算规则串联运算规则自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论并联运算规则并联运算规则自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论反馈运算规则反馈运算规则( )( )( )oXsG sE s前向通道传递函数0( )( )( )B sH sXs反馈通道传递函数( )( )( )iE sX

54、 sB s ( )( ) ( )( )( )( )( )oioE sB sXsG s X sH s Xs消去、得偏差信号( )( )( )oB sH s Xs反馈信号( )( )( )( )1( )( )oiXsG ssX sG s H s自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论(2)(2)方框图的变换规则方框图的变换规则求和点的移动规则求和点的移动规则自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论引出点的移动规则引出点的移动规则自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论求和点交换律、结合律和分配律求和点交换律、结合律和分配律)(1sX)(2sX)(3sX)(sY)(1sX)(3sX)(2

55、sX)(sY自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论111 同一信号的分支点位置可以互换同一信号的分支点位置可以互换)(sG)(sX)(sY)(1sX)(2sX)(sG)(sX)(sY)(2sX)(1sX 相加点和分支点在一般情况下，不能互换。相加点和分支点在一般情况下，不能互换。)(sG)(2sX)(3sX)(sX)(sG)(2sX)(3sX)(sX相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5 5）方框图简化）方框图简化基本思路基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简

56、单回路。然后将串联、并联和反馈连接的方框合并。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例1】简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。【解解】这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)-+R(s)C(s)+自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)-C(s)(a)(b)G1(s)()()()(1)

57、()(543232sGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)-C(s)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论12323451236( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )G s G s G sC sR sG s G s G sG sG s G s G s G s(c)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)C(s)-自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例2】求下图所示系统的传递函数。【解】 A点前移自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.6

58、 2.6 信号流图及梅逊增益公式信号流图及梅逊增益公式2.6.1 2.6.1 信号流图及其术语信号流图及其术语信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点：节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。节点用“”表示。支路：支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益(传递函数)表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论输入节点（源点）输入节点（源点）：只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点（阱点、汇点）输出节点（阱点、汇点）: :只有输入的节点，

59、代表系统的输出变量。混合节点：混合节点：既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。混合节点支路自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论通路通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。前向通路：前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用 Pk 表示。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论回路：回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用 La 表示。不接触回路：不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。自 控 控 制

60、理 论自 控 控 制 理 论2.6.2 2.6.2 信号流图的绘制（自学）信号流图的绘制（自学） 信号流图的绘制方法：信号流图的绘制方法：由系统微分方程绘制信号流图 根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框图的步骤类似。由系统方框图绘制信号流图自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论2.6.3 2.6.3 梅逊增益公式梅逊增益公式nkkkps11)(从输入端到输出端的前向通路总数的余子式，即在中，除去与第k条前向通道相接触的所有回路的L项主特征式从输入端到输出端第k条前向通路的总增益（或传递函数之积）闭环传递函数（或总增益）自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论, ,1abcdefa