人大寿险精算数学课件

1、保险精算学中国人民大学统计学院主讲教师：王晓军黄向阳王 燕教材n指定教材nKellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991.nBowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.n参考资料n王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。课程结构n基础n利息理论基础 生命表基础n核心n保费计算 n责任准备金计算n多重损失模型n保单的现金价值与红利n拓展n特殊年金与保险n寿险定价与负债评估n偿付能力与监管第一章利息理论基础利息理论要点n利息的度量n利息问题求解的原则n年金n收益率

2、n分期偿还表与偿债基金第一节利息的度量第一节汉英名词对照n积累值n现实值n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息效力nAccumulated valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest 一、利息的定义n定义：n利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 n影响利息大小的三要素：n本金

3、n利率n时期长度二、利息的度量n积累函数n金额函数n贴现函数n第N期利息)(ta)(tA)(1ta0t1-K- -1)(1ta)(ta)(tA)1()()(nAnAnI( )I n利息度量一计息时刻不同n期末计息利率n第N期实质利率n期初计息贴现率n第N期实质贴现率)1()(nAnIin)()(nAnIdn例1.1 实质利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？2121ddii、例1.1答案 1211112222( 0 )1 0 0 0 ,(1 )1 0 2 0 ,( 3 )1 0 5 0(1 )( 0 )2 0 ( 3

4、 )( 2 )3 02 02 %( 0 )1 0 0 02 01 . 9 6 %(1 )1 0 2 03 02 . 9 4 %(1 )1 0 2 03 02 . 8 6 %( 2 )1 0 5 0AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA利息度量二积累方式不同n线形积累n单利n单贴现n指数积累n复利n复贴现iniiittan)1(11)(iiitant)1()(dndddttan)1(11)(1dddtant)1()(1单复利计息之间的相关关系n单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。n单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。n 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更

5、大的积累值。所以短期业务一般单利计息。n 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。1t1t例1.2 n某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例1.2答案 5531%215000)5(%2)4(5556%2515000)5(%2)3(5520%)21(5000)5(%2)2(5500%)251(5000)5(%2)1(55）（复贴现计息单贴现计息复利计息单利计息AAAA利息的度量三利息转换频率不同n实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为 。n名义利率

6、：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率， 。n利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。n实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。)(miit()mimj实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11ii1d111）（idvv名义利率n 名义利率1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(名义贴现率n 名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，

7、按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例1.3答案1、2、3、420(4)0.081500 1742.9744niP84.693206. 01100021122)2(0nndAA%0605.611206.014121413)4(12)12(4)4(idi利息效力n定义：瞬间时刻利率强度()()( )ln( )( )( )ln ( )( )limlimtmmmmA tdA tA tdta tda ta tdtid等价公式n一般公式n恒定利息效力场合dstseta0)(ln(1)( )expia nn1ln( )ex

8、pvann 例1.4n确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、%52)1 (05. 0tt例1.4答案50.104610001000272.1648100010001100105. 0)1(05. 005. 010101002tdtteeee、三、变利息n什么是变利息？n常见的变利息情况n连续变化场合：函数利息力n离散变化场合：)(t),(,11ttddii111( )(1)(1)ttkkkka tid0( )exp( )ta ts ds例1.51、如果 ，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积

9、累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？tt11例1.5答案5 .712)03. 1 ()98. 0(100021411000306.193504. 1045. 105. 11000)1 ()1 ()1 (10002116832)2(24)4(5555352510)1ln(110idiiineentdttn、第二节利息问题求解原则一、利息问题求解四要素n原始投资本金n投资时期长度n利率及计息方式n期初/期末计息：利率/贴现率n积累方式：单利计息、复利计息n利息转换时期：实质利率、名

10、义利率、利息效力n本金在投资期末的积累值 二、利息问题求解原则n本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题n工具：现金流图n方法：建立现金流分析方程（求值方程）n原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。01t2tnt现金流时间坐标1p2pnp0p例1.6：求本金n某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6答案n以第7年末为时间参照点，有n以第8年末为时间参照点，有n以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）千元7435. 31006. 106. 1406. 14

11、6xx千元7435. 306. 11006. 1406. 157xx例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？例1.7答案（1）（2）%124%35700)14000)4(43jijj（)204.2 %4 .2061)1 ()(61)1 (15000)1 (6000)1 (30002224舍去（由舍去负根iiiiii例1.8：求时间n假定 分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？)12(i例1

12、.8精确答案 7.340017.1ln122ln2%)17.01(%26.11005.1ln122ln2%)5.01(%68.501.1ln122ln2%)11(%1212)12(12)12(12)12(ninininnn时，时，时，例1.9近似答案rule of 723602. 072. 0%2) 1 (1206. 072. 0%12)2(612. 072. 0%12) 1 (72. 008. 1ln08. 02ln08. 0)1ln(2ln)1ln(2ln2ln)1ln(2)1 ()12()6()12(niiniiniiiiiiiiininin原理：例1.10：求积累值 n某人现在投资10

13、00元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？例1.10答案 57562000025.12000025.110002000)1 (2000)1 (1000)7(06.009.0209.0823238eeeeejejA第三节年金第三节汉英名词对照n年金n支付期n延付年金n初付年金n永久年金n变额年金n递增年金n递减年金nAnnuitynPayment periodnAnnuity-immediatenAnnuity-duenperpetuitynVarying annuityn

14、Increasing annuitynDecreasing annuity一、年金的定义与分类n定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。n分类n基本年金n等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n一般年金n不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金二、基本年金n基本年金n等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n分类n付款时刻不同：初付年金/延付年金n付款期限不同：有限年金/永久年金基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 0 0- 1 1 1

15、 - 1 0 0 0- 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金基本年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sdvaaiivaadd例1.11n一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。400.0451.11500500 18.40169200.8a例答案：例1.12 n某人以月度转换名义利率5.58

16、%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例1.12答案（1）（2）2464300000%465.01215RRa04.22621500465.130000004.226215%465.0606060%465.012060RsPVRaPV或者例1.13n假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。06. 0)2(i例1.13答案n方法一：n方法二：88 0.0312 0.03200100

17、1446.06809.352255.41ava8 0.0320 0.03100100723.031532.382255.41aa例1.14n有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？0 .21 .1 4552 50 .2Pa例答 案 ：例1.15永久年金nA留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例1.15答案25842)(7000:24993)(7000:4

18、946570007000%710000007. 02007. 007. 01007. 02007. 010aaDaaCaBI：基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付ivann1iisnn1)1 (dvann1 disnn1)1 ( ia1da1 未知时间问题n年金问题四要素n年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）n关注最后一次付款问题n在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（drop payment）n在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon payment）nRR nRR 例1.16n有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间

19、尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）例1.16答案0.05141414 0.0514141415141414 0.050.2114.2114100100014.21(1)1000(1.05)10020.07120.07()(2)20.071.0521.07()(3)1000(1.05)10020.071.0520.27nanFDsRRFDballoon paymentFDRFDdrop

20、paymentFDsRFD变利率年金问题n类型一：时期利率(第K个时期利率为 )ki11111111212111111111(1)(1) (1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)nntnstsnnnnnntnn stsaiiiiiiisiiiiiii 变利率年金问题n类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率 计息）ki1212121111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)nntntntnntnnn tntaiiiisiiii 例1.17:n某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10

21、年年末时存款的积累值.例1.17答案06.1670217.848789.8217:17.8487100089.8214%)101 (09.4637,10%1009.463710001 .06606.04两笔年金积累值之和为年的积累值为后六年年金积累到第十积累值为年年末的年利率积累到第这笔存款再按年年末积累值为前四年的积累值在第四ss 例1.18:n某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.18答案97.1506417.848780.6577:17.8487100080.6577%)61 (09.4637,10%

22、609.463710001 .06606.04两笔年金积累值之和为年的积累值为后六年年金积累到第十积累值为年年末的年利率积累到第这笔存款再按积累值为前四次付款第四年年末ss 三、一般年金n一般年金n利率在支付期发生变化n付款频率与利息转换频率不一致n每次付款金额不恒定n分类n支付频率不同于计息频率的年金n支付频率小于计息频率的年金n支付频率大于计息频率的年金n变额年金支付频率不同于计息频率年金n分类n支付频率小于利息转换频率n支付频率大于利息转换频率n方法n通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。n年金的代数分析支付频率小于计息频率年金0k2knk计息支付111)(ki方法一:利率转换

23、方法二:年金转换( )( )kkiidd延付：初付:RaRRskk1:1: 初付延付例1.19:n某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.例1.19答案n方法一:利率转换法n方法二:年金转换法71.144572000%55.12%12%55.1254sii ）（71.144573826.5222000%3%1203. 02003. 04)4(sRRaRi 每季度实质利率为例1.20：永久年金n有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。kkkkkkisivvvv11)1 (112方法一：kkki

24、sRasRRs111方法二：支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付计息支付12nim1m1m1年金分析方法n方法一：利率转换法n年金转换法12()()11()()11111mmnmmmnmnmmmmnvavvvmivavvmd延付：初付：()()()()(mmmninm jmmmndnmdiiijmaaddddmaa）延付：初付：例1.21n某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.例1.21答案n方法一:n方法二: 521.106880000%8719. 012%98.10%8719.

25、 012012RaRii ）（521.1068)1 (12800008000012%3729.101)1 ()121 (12)12()12(10)12(12)12(%98.10vdRaRdid 例1.22：永久年金n一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？例1.22答案%46.239 . 0)1 (9 . 010111015 . 05 . 05 . 05 . 0iivvvv方法一：(2)(2)(2)2(2)2100.22:1123.4 %226addmethoddii 年金关系延付年金初付年金现时值积累值nmmna

26、iia)()(nmmnadda )()(nmmnsiis)()(nmmnsdds )()(一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付knsaknaa knssknas )()(1mnmniva)()(1mnmndva )()(1)1 (mnmniis( )( )(1)1nmmnisd连续年金n定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.n公式:00( )00( )00(1)ttnns dstnnns dstnav dtedtsi dtedt恒定利息效力场合()00()001lim1(1)limnnnttmnnmnnnttmnnmeav dtedtae

27、sidte dts例1.23n确定利息效力使10203ss)(0102ln1202313131010102010201020deleteeoreeeeess变额年金n等差年金n递增年金n递减年金n等比年金等差年金n一般形式n现时值n积累值012nPP+QP+(n-1)QinvaQPaVnnn)0(insQPsnVnn)(特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值10)(nttntnnnavinvaIa 10)(nttnnnsinsIs 10)(nttnnnaianDa10)1 ()1 ()(nttntnnnsiisinDs例1.24n从首次付款1开始,以后每次付

28、款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成 n计算nmaI)(05. 02010)(aI例1.24答案78.86)(1078.86)()(78.8610)(92005.0201010102005.0201010101005.02010DaaaIvIaIaaIvaIaaI）（方法三：）（方法二：）（方法一：例1.25n有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。例1.25答案111111(1)()()1111(1)1(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanvnaIaDavviianvnvvv aivvaivai

29、a a等比年金kikiikkvkvvVnnn ,)11(1)1 ()1 ()0(1kikiiVinVnnn)()1()0()1()(1)1 (nk012n11+k例1.26:n某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.例1.26答案67.16666603. 0500005. 008. 0)08. 105. 1(15000lim)0(nnV第四节收益率第四节中英文单词对照n贴现资金流n收益率n再投资率n时间加权利率n币值加权利率nDiscounted cash flownyield ratenReinvestment r

30、atenTime-weighted rates of interestnDollar-weighted rates of interest贴现资金流分析n例1.27：现金流动表n按利率 投资返回的净现时值itnttRviP0)(年投入回收净现金流投入净现金流返回010000010000-10000110005000-40004000210006000-50005000312007500-63006300tRtC不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4361.875%3786.8510%2501.88i)(iP收益率的概念n使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为

31、“内返回率”n用线形插值法求得上例中收益率为22.65%n收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。0)(0tnttRviP收益率的唯一性n例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。n解答：%20or %10)1 (230132)1 (1002iiii收益率的唯一性n由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。nDescartes符号定理n收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。n收益率唯一性的判定定理二n整个投资期间未动用投资余额始终为正。未动用投资余额, 2 , 1 , 0 ,tBt, 2 ,

32、1, 1 (100tCiBBCBttt）收益率唯一性判别（D氏符号判别）n例1.27n例1.28年符号转变次数0-10000一次140002500036300tR年符号转变次数0-100两次12302-132tR再投资率n本金的再投资问题n例1.29：有两个投资方案可供我们选择nA方案：实质利率为10%，为期5年nB方案：实质利率为8%，为期10年我们应该选择哪项投资？例1.29 资金积累过程例1.29答案n如果A五年后的再投资率6.036%,选择A。n否则选择B。5510(1 0.1) (1)(1 0.8)6.036%jj利息的再投资问题（一）例1.30:q某人一次性投资10万元进基金A。该

33、基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？例1.30的积累过程例1.31答案105%1000007000188045.3n jPiPss利息的再投资问题（二）n例1.32（例1.31续）n假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？例1.32的积累过程基金收益率计算n基本符号nA=初始资金nB=期末资金nI=投资期内利息nCt= t时期的净投入（可正可负）nC=n 在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息tt

34、Ca bi1ab币值加权方法(1)1(1)(1)1(1)(1)(2)1assume that net principal contributions occur at time t=,22(1)0.50.5()ttt ttttttttttIiACiiACiiACt iIiACtBACIthenIIIIiACtACABAIBAI 时间加权方法n原理时间 012-m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm基本公式1112100111,1,2,1(1)(1)(1)1kkkkmmmmBjkmBCijjjBBiBCBC 例1.32n某投资基金n1月1日，投

35、资100000元n5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元n11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。n次年1月1日，该资金总额为100000元。n请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。例1.32答案111 15 111 11 13000042000100000112000125000100000(1)120001200010.62%21(1)100000300004200036(2)112000125000110000011200030000tttttttttimeCBdollarweightedIBACIiAt

36、CtimeweightedBiBC 100000118.79%12500042000 币值加权和时间加权的比较n都是计算单位时期投资收益率的方法n币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。n时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。第五节分期支付与偿债基金第五节中英文单词对照n分期偿还方法n分期偿还表n偿债基金n偿债基金表nAmortization methodnAmortization schedulenSinking fundnSinking fund schedule债务偿还方式n分期偿还：n借款人在

37、贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。n偿债基金：n借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。分期偿还n常见分期偿还类型n等额分期偿还n不等额分期偿还n递增分期偿还n递减分期偿还n分期偿还五要素n时期 n每次还款额 n每次偿还利息n每次偿还本金n未偿还贷款余额分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0-11k1n10总计n-nanv1nv1na11knv1knvknav1vnanna例1.33n某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款

38、。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？例1.33答案33.29260)(1897.372172)2(63.160989.15610042. 152.3171) 1 (180180%42. 01818018121216911218012BBPIPaBPPIPvP偿债基金n常见偿债基金类型n等额偿债基金n不等额偿债基金n偿债基金六要素n时期 n每期偿还利息n每次存入偿债基金金额n每期偿债基金所得利息n偿债基金积累额n未偿还贷款余额偿债基金表（贷

39、款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0 -1102Kn10iii1n jsi1 jn jjss11jn jss1n js1n js1 jn jss2 jn jssk jn jss21jn jss1njn jjss1kjn jjss1k jn jss偿债基金利息本金分析n对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：n第次付款的实际偿还本金为：(1)1kk jn jn jsjijiss (1)kn jjs例1.34nA曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为

40、5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问n1500中又多少是当前支付给贷款的利息?n1500中有多少进入偿债基金?n1500中又多少应被认为是利息?n1500中有多少应被视为本金?n第11年末的偿债基金余额为多少?例1.34答案59004005005000)5(9006001500)4(6004001000:11400%85000:11)3(50010001500)2(1000%1010000)1(11111011IPBB次付款纯利息为所以第年积累利息为偿债基金第例1.35n(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一

41、年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.n(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.例1.35答案81.1139%61)(10100)(10)%6100()2(83.122705. 07217. 71010)7217. 7(100)(10100) 1 (%510%510%510%510%51005. 01005. 010sDssLDssLLDaaL第二章生命表函数与生命表构造本章重点n生命表函数n生存函数n

42、剩余寿命n死亡效力n生命表的构造n有关寿命分布的参数模型n生命表的起源n生命表的构造n选择与终极生命表n有关分数年龄的三种假定本章中英文单词对照n死亡年龄n生命表n剩余寿命n整数剩余寿命n死亡效力n极限年龄n选择与终极生命表nAge-at-deathnLife tablenTime-until-deathnCurtate-future-lifetimenForce of mortalitynLimiting atenSelect-and-ultimate tables第一节生命表函数生存函数n定义n意义：新生儿能活到 岁的概率。n与分布函数的关系：n与密度函数的关系：n新生儿将在x岁至z岁之间

43、死亡的概率：)Pr()(xXxS)(1)(xFxS)()(xSxfxPr()( )( )xXzs xs z剩余寿命n定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。n分布函数 ：Pr( ()()( )()( )txqT Xtpr xXxt Xxs xs xts xtxq剩余寿命n剩余寿命的生存函数 ：n特别：txpPr( ( )Pr()()( )txpT xtXxt Xts xts x0( )xps x剩余寿命n ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率n ：x岁的人将在1年内去世的概率n ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 xpxqxt uq1

44、xxpp1xxqqxt uxtxtxt uxt uqqqpp整值剩余寿命n定义： 未来存活的完整年数，简记n概率函数( )x( )K x(),( )1,0,1,K XkkT xkk11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq剩余寿命的期望与方差n期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记n剩余寿命的方差( )x00( ( )(1)oxtxtxeE T xtdpp dtoxe2220( ( )( ( ) )( ( )2otxxVar T xE T xE T xtp dte整值剩余寿命的期望与方差n期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简

45、记n整值剩余寿命的方差( )x100( )xkxx kkxkkeE K xkpqpxe22210( )()()(21)kxxkVar K xE KE Kkpe死亡效力n定义： 的瞬时死亡率，简记n死亡效力与生存函数的关系( )xx( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x 0( )expexpxsx ttxsxs xdspds死亡效力n死亡效力与密度函数的关系n死亡效力表示剩余寿命的密度函数0( )( )expxxxsf xs xds( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx ts xs xtG tps xs xtdds xs xt

46、g tG tpdtdts xs x ( )g t第二节生命表的构造有关寿命分布的参数模型 nDe Moivre模型(1729) nGompertze模型(1825)1( )1 , 0 xxxs xx ( )exp(1) / ln , B0,c1,0 xxxBcs xB ccx有关寿命分布的参数模型 nMakeham模型(1860)nWeibull模型(1939)( )exp(1)/ln , B0,A-B,c1,0 xxxABcs xAxB ccx1( )exp/(1) , 0,0,0nxnkxs xkxnknx参数模型的问题n至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不

47、令人满意。n使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差n寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。n在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源n生命表的定义n根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.n生命表的发展历史n1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。n1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布

48、。人们因而把Halley称为生命表的创始人。n生命表的特点n构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造n原理n在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）n常用符号n新生生命组个体数：n年龄：n极限年龄：x0l生命表的构造n 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：n 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作0lnxdxd1nxxx nxnxxxxxxdlllqdlllqxl0( )xlls x0l生命表的构造n 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：n 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总

49、数：txxyxtdylLxyxoxxxTl dyTel0l0ltxLxT生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89

50、txxxtqxlxtdxtLxTxe例2.1：n已知 n计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。)1001 (10000 xlx30103030302030,qqpd例2.1答案1000000020555020530304140301030603030303050302031303050)1001 ( 316/1 270/1 7/3 7/5 1001dxxlTlllqlllqlllqllpllde、选择-终极生命表n选择-终极生命表构造的原因n需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。n需要构造终极生命表的

51、原因：选择效力会随时间而逐渐消失n选择-终极生命表的使用选择-终极表实例x选择表终极表70.0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 7571.0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 7672.0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 7773.0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 7874.0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 7975.0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 8076.0298 .0424 .05

52、35 .0664 .0812 .0936 8177.0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82xq5xq1 xq2 xq3 xq4 xq5x第三节有关分数年龄的假设 有关分数年龄的假设 n使用背景:n生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况n基本原理:插值法n常用方法n均匀分布假定(线性插值)n常数死亡力假定(几何插值)nBalducci假定(调和插值)三种假定n均匀分布假定(线性插值)n常数死亡力假定(几何插值)nBalducci假定(调

53、和插值)10 , ) 1()()1 ()(txtsxsttxs10 , )1()()()1(txsxstxstt10 , ) 1()(1)(1txstxsttxs三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Balluccixtqxtptxyq)(tfTxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqtqute1txxxtqq11(1)xxqt q1(1)xxt qtq例2.2：n已知 n分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：)1001 (10000 xlx5 .305025. 5305 . 0,，qq例2.2答案30313

54、030300.530300.50.530300.53030301691707010.5 1406911700.510.5139uullqeplq UDDqq CFeqq Balduccipq 、例2.2答案5.25505505500.2555550550555.25500.255.25505.25502 1 0.1 0.9 451 0.1 0.9 0.250.10545440.1 0.9 (1)0.1050422450.250.1 0.90.1050847440.25qqpqqpqq UDDq CFq Balducci、例2.2答案3030.53030.5303030.5303013 1 0.

55、569.569ln()ln()701 0.569.5qUDDqCFpqBalduccipq 、第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构n人寿保险趸缴纯保费厘定原理n死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定n死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定n递归方程n计算基数第三章中英文单词对照一n趸缴纯保费n精算现时值n死亡即刻赔付保险n死亡年末给付保险n定额受益保险nNet single premiumnActuarial present valuenInsurances payable at the moment of death nInsurances payable at the end of the year

56、 of deathnLevel benefit insurance第三章中英文单词对照二n定期人寿保险n终身人寿保险n两全保险n生存保险n延期保险n变额受益保险nTerm life insurancenWhole life insurancenEndowment insurancenPure endowment insurancenDeferred insurancenVarying benefit insurance第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 人寿保险简介n什么是人寿保险n狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。n 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标

57、的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。人寿保险的分类n受益金额是否恒定n定额受益保险 n变额受益保险n保单签约日和保障期期始日是否同时进行n非延期保险n延期保险 n保障标的的不同n人寿保险（狭义）n生存保险n两全保险 n保障期是否有限n 定期寿险 n 终身寿险人寿保险的性质n保障的长期性n这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。n保险赔付金额和赔付时间的不确定性n人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依

58、赖于被保险人剩余寿命分布。n被保障人群的大数性n这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。趸缴纯保费的厘定n假定条件:n假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。n假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。n假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。纯保费厘定原理n原则n保费净均衡原则n解释n所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 基本符号n 投保年龄 的人。n 人的极限年龄n 保险金给付函

59、数。n 贴现函数。n 保险给付金在保单生效时的现时值)(xxtbtvtztttvbz趸缴纯保费的厘定n趸缴纯保费的定义n在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 n趸缴纯保费的厘定n按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于()tE z第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定死亡即刻赔付n死亡即刻赔付的含义n死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。n由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的

60、剩余寿命。主要险种的趸缴纯保费的厘定nn年期定期寿险n终身寿险n延期m年的终身寿险nn年期生存保险nn年期两全保险n延期m年的n年期的两全保险n递增终身寿险n递减n年定期寿险1、n年定期寿险n定义n保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。n假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险n基本函数关系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(现值随机变量的方差n方差公式n记（