高等数学（3）微分学与中值定理 -

1、第二章第二章 一元微分学一元微分学 微积分学的产生是科学史上最重大的成就之一。微积分学的产生是科学史上最重大的成就之一。 其实早在公元前五世纪，从安蒂丰建立所谓的穷其实早在公元前五世纪，从安蒂丰建立所谓的穷竭法，经过欧多克索斯（公元前四世纪），到阿基竭法，经过欧多克索斯（公元前四世纪），到阿基米德米德( (公元前三世纪公元前三世纪) )的探索和发展，积分学就曾以的探索和发展，积分学就曾以另外一种面貌，局部的出现过（它比导数思想的出另外一种面貌，局部的出现过（它比导数思想的出现早得多，当然只要有积分，就会相应的有微分的现早得多，当然只要有积分，就会相应的有微分的思想萌芽）。思想萌芽）。 牛顿和莱

2、布尼茨，发展、整合前人成果，将微分牛顿和莱布尼茨，发展、整合前人成果，将微分与积分联系起来形成一个系统，创立了微积分学。与积分联系起来形成一个系统，创立了微积分学。 在牛顿和莱布尼茨之前，笛卡尔，费尔马，巴罗在牛顿和莱布尼茨之前，笛卡尔，费尔马，巴罗（牛顿的老师）等人，曾经为了确定曲线的切线以及（牛顿的老师）等人，曾经为了确定曲线的切线以及函数的极大、极小值，运用了微分或导数思想方法。函数的极大、极小值，运用了微分或导数思想方法。尽管不太成熟，也往往局限于具体的问题和计算。尽管不太成熟，也往往局限于具体的问题和计算。 但是，即便在他们运用微积分学取得了巨大成但是，即便在他们运用微积分学取得了巨

3、大成功的时候，导数与微分，在概念的逻辑基础上，依功的时候，导数与微分，在概念的逻辑基础上，依然存在着巨大的争议然存在着巨大的争议- -这便是所谓的无穷小危机。这便是所谓的无穷小危机。 直到十九世纪，极限概念形成并严格化之后，直到十九世纪，极限概念形成并严格化之后，微积分学才有了相对稳固的逻辑基础。微积分学才有了相对稳固的逻辑基础。 我们将会看到，无论是导数、定积分还是无穷我们将会看到，无论是导数、定积分还是无穷级数求和，都是某种类型的极限。仅从逻辑的角度级数求和，都是某种类型的极限。仅从逻辑的角度讲，极限是微积分学的讲，极限是微积分学的“核核”。真正掌握了极限理。真正掌握了极限理论，便不难理解

4、微积分学中的所有重要概念。论，便不难理解微积分学中的所有重要概念。 但是不能忘记：数学理论的生命之源在于现实。但是不能忘记：数学理论的生命之源在于现实。微积分学不是纯粹思辨和逻辑的衍生品。微积分学不是纯粹思辨和逻辑的衍生品。 任何有意义的理论，当然包括数学，是人类在任何有意义的理论，当然包括数学，是人类在解决各种问题中建立的。解决各种问题中建立的。 数学理论总是抽象和形式化的。但正是因为这数学理论总是抽象和形式化的。但正是因为这一点，它一经产生，往往会反映更多的现实关系，一点，它一经产生，往往会反映更多的现实关系，有更广泛的应用范围（简单考虑一下数）。有更广泛的应用范围（简单考虑一下数）。 如

5、果不能从理论和逻辑上深刻理解数学概念及其如果不能从理论和逻辑上深刻理解数学概念及其关系，便无法自由的应用数学理论。但是如果不能关系，便无法自由的应用数学理论。但是如果不能将数学理论与现实关系联系起来，也无法深刻理解将数学理论与现实关系联系起来，也无法深刻理解数学理论的意义。数学理论的意义。 导数概念的产生有着十分直接的现实背景，分别导数概念的产生有着十分直接的现实背景，分别来自于力学和几何学。来自于力学和几何学。第一节第一节 导数定义以及由定义求导导数定义以及由定义求导1.导数概念导数概念 1.1问题与理论抽象问题与理论抽象-概念的引入概念的引入 第一个经典问题：这个问题产生自力学，即如何确第

6、一个经典问题：这个问题产生自力学，即如何确定（严格说是定义）某时刻的瞬时速度；定（严格说是定义）某时刻的瞬时速度； 第二个经典问题：这是一个与力学密切相关的几何第二个经典问题：这是一个与力学密切相关的几何问题。考虑做曲线运动的质点，在每个瞬间，假设没问题。考虑做曲线运动的质点，在每个瞬间，假设没有外力影响，其运动的指向应该是曲线上过该质点所有外力影响，其运动的指向应该是曲线上过该质点所处位置的切线方向，那么曲线上某点处的切线应该如处位置的切线方向，那么曲线上某点处的切线应该如何确定（定义）？何确定（定义）？ 【例【例1 1】（变速直线运动瞬时速度）】（变速直线运动瞬时速度） 假设有一物假设有一

7、物质做直线运动，取它运动时所形成的直线为数轴质做直线运动，取它运动时所形成的直线为数轴OS（图（图2-12-1），物体位置），物体位置S与运动时间与运动时间t之间的变化规律之间的变化规律为为S= f (t)，假设速度变化是连续的，现在来考虑物体，假设速度变化是连续的，现在来考虑物体在时刻在时刻t0的运动的快慢设的运动的快慢设t0去取增量去取增量t，在时刻，在时刻t0处处位置函数得到一个相应的增量位置函数得到一个相应的增量 S= f (t0+ t)- - f (t0)即物体从时刻即物体从时刻t0到时刻到时刻 t0+t的位移，我们称的位移，我们称 为物体在时刻为物体在时刻t0 0到时刻到时刻t0

8、0+ +t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度00()()f ttf tSvtt OSS0= f (t0)S0+S（图（图2-12-1）S= f (t0+ t)- f (t0)00()()f ttf tSvtt 只有当物体做匀速直线运动时，物体在任意时刻的只有当物体做匀速直线运动时，物体在任意时刻的速度与平均速度速度与平均速度v一致当物体作变速直线运动时，平一致当物体作变速直线运动时，平均速度就不能准确反映物体在时刻均速度就不能准确反映物体在时刻t0 0的运动速度，只的运动速度，只能大致反映物体在这一时间段内运动的快慢能大致反映物体在这一时间段内运动的快慢 日常生活中，我们所说的速度通常指

9、的是平均速日常生活中，我们所说的速度通常指的是平均速度，而科学技术中，却往往要考虑某一具体时刻物体度，而科学技术中，却往往要考虑某一具体时刻物体运动的快慢，通常意义下的速度并不能准确的刻画物运动的快慢，通常意义下的速度并不能准确的刻画物体在这一时刻运动的快慢为此我们需要引进一个能体在这一时刻运动的快慢为此我们需要引进一个能够准确合理地描述它的量，这就是瞬时速度也就是够准确合理地描述它的量，这就是瞬时速度也就是科学技术中的科学技术中的“速度速度”的概念的概念 平均速度平均速度v与与t有关，有关， t 很小时，很小时，v可近似看可近似看做时刻做时刻t0时的速度，显然时的速度，显然 t 越小，这样的

10、近似度越小，这样的近似度越好自然地将越好自然地将t 0时时 的极限，即的极限，即Svt 00limlimttSvt 0000()()limlimttf ttf tStt 当作物体在时刻当作物体在时刻t0的运动速度，我们称它为时刻的运动速度，我们称它为时刻t0的的瞬时速度，记作瞬时速度，记作 【例【例2】（平面曲线切线的斜率）】（平面曲线切线的斜率） 与切线的静态与切线的静态定义：切线是与曲线只有一个交点的直线不同的定义：切线是与曲线只有一个交点的直线不同的是，我们从运动的观点来定义切线，即切线为变动是，我们从运动的观点来定义切线，即切线为变动割线的极限位置例如割线的极限位置例如M和和N是曲线是

11、曲线C上上的两点作割的两点作割线线MN当当N沿曲线沿曲线C趋于趋于M时，割线时，割线MN将绕点将绕点M旋旋转而趋于极限位置转而趋于极限位置MT（如果它存在）（如果它存在），直线直线MT就就称为曲线称为曲线C在点在点M处的切线处的切线 这里极限位置的含义是：这里极限位置的含义是：只要弦长只要弦长 MN 趋于零，趋于零，NMT也趋于零也趋于零CMNT （图（图2-2） 将上述几何直观转化为代数分析（确定切线斜率）将上述几何直观转化为代数分析（确定切线斜率）：设曲线设曲线C为一条连续的平面曲线，其方程为为一条连续的平面曲线，其方程为y=f(x)M (x0 , y0)是曲线是曲线C上的一个点上的一个点

12、（图（图2-3）在点）在点M近旁任近旁任取取C上的一点上的一点N (x , y)，于是割线，于是割线MN的斜率为的斜率为00)()(xxxfxfkmn 当点当点N沿曲线沿曲线C趋于点趋于点M，即即xx0时，如果上式的极限时，如果上式的极限存在，设其为存在，设其为k，即，即000( )()limxxf xf xkxx xCyT （图（图2-3） y=f (x)M (x0,y0)N (x,y)Oxx01.3导函数导函数：在开区间内与在闭区间上可导在开区间内与在闭区间上可导1.4可导与连续：可导必连续，但连续未必可导（例）可导与连续：可导必连续，但连续未必可导（例）1.2导数的定义及相关概念导数的定

13、义及相关概念- -某点处可导与不可导；某点处可导与不可导； - -相关的符号约定与导数无穷大；相关的符号约定与导数无穷大； - -左导数与右导数。左导数与右导数。 无论是瞬时变化率还是斜率，先要经过除法计算！无论是瞬时变化率还是斜率，先要经过除法计算！在这里抽象出来的共同形式为：在这里抽象出来的共同形式为：差商及其极限差商及其极限。第三：广义的瞬时变化率。第三：广义的瞬时变化率。 特别之处在于，要确定在某一点或某一瞬间处的特别之处在于，要确定在某一点或某一瞬间处的值，所以便要取极限值，所以便要取极限- -无法摆脱的无限！无法摆脱的无限！ 例例 【例【例2-102-10】讨论函数】讨论函数和函数

14、和函数在在x=0处的连续性与可导性处的连续性与可导性11sin(0)( )0(0)xxfxxx 221sin(0)( )0(0)xxfxxx 2. 由定义求导数的例子：由定义求导数的例子：（2.1）常值函数与恒同函数）常值函数与恒同函数（2.2）三角函数）三角函数y=sinx的导数（的导数（y=cosx的导数）的导数）（2.3）指数函数的导数）指数函数的导数（2.4）分段定义的函数在分界点处的导数。）分段定义的函数在分界点处的导数。（2.4）函数乘积与倒数（以及商）的导数公式函数乘积与倒数（以及商）的导数公式 例例【例【例2-82-8】求函数】求函数的导数的导数f (x)2(0)( )(0)x

15、xyf xxx 例例【例【例2-92-9】求双曲线】求双曲线 在在 处的切线方程处的切线方程与法线方程，并证明此曲线上任意一点与法线方程，并证明此曲线上任意一点 处的处的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数1yx 122（ ，）001xx（， ）3.在几何问题上的一个应用（切线与法线方程）在几何问题上的一个应用（切线与法线方程）第二章第一节习题（作业）nP89-90n2.（2,3）；）；3；4；6.（2）；）；8；9（1,3）；）；n10；11；12.n【10；11；12】.第二节第二节 初等函数导数计算的初等化（计算法则）初等函数导数计算的初等化（计算

16、法则） 问题问题：不难看出，由定义求解导数或导函数，本：不难看出，由定义求解导数或导函数，本质上就是求极限。当导数存在的时候，根据定义质上就是求极限。当导数存在的时候，根据定义求导数，总是在考察两个无穷小之比的极限。尽求导数，总是在考察两个无穷小之比的极限。尽管有各种极限运算法则，很多极限的计算（因此管有各种极限运算法则，很多极限的计算（因此由定义求解导数的计算）还是相当复杂繁琐。能由定义求解导数的计算）还是相当复杂繁琐。能否简化这些计算呢？哪怕仅仅是一部分简化，也否简化这些计算呢？哪怕仅仅是一部分简化，也是很有意义的。是很有意义的。 思考思考：已知初等函数是由前面讨论过的已知初等函数是由前面

17、讨论过的四个基本四个基本初等函数初等函数经四则运算、复合以及取反函数得到的经四则运算、复合以及取反函数得到的（甚至得到多一些）。（甚至得到多一些）。如果由导数定义出发，如果由导数定义出发，得得到函数运算时的求导法则，那么最低限度，初等到函数运算时的求导法则，那么最低限度，初等函数的求导，就函数的求导，就可以简单到初等运算的程度了可以简单到初等运算的程度了！ 但是，别忘记了，定义才是基础！但是，别忘记了，定义才是基础！ 任何运算法则，总有其适用范围。一旦所求导数不任何运算法则，总有其适用范围。一旦所求导数不在这个适用范围之内，我们还是要回到定义。在这个适用范围之内，我们还是要回到定义。 迄今为止

18、，我们接触到的函数运算（即由有限个函迄今为止，我们接触到的函数运算（即由有限个函数经适当的规则获得一个新的函数），主要是四则运数经适当的规则获得一个新的函数），主要是四则运算，函数的复合，以及取反函数。算，函数的复合，以及取反函数。 所以我们首先讨论求导数与这些运算之间有规律性所以我们首先讨论求导数与这些运算之间有规律性的关系，给出固定的公式的关系，给出固定的公式-即相关的运算法则。即相关的运算法则。 其次，讨论两类特殊形式的函数关系其次，讨论两类特殊形式的函数关系-隐函数和参数隐函数和参数方程（包括极坐标表示）方程（包括极坐标表示）-的求导法则，并分别：的求导法则，并分别： 由隐函数求导法则

19、引出一个技巧（对数求导法）；由隐函数求导法则引出一个技巧（对数求导法）； 由参数表示的函数引出由参数表示的函数引出“相关变化率相关变化率”的概念。的概念。例例 【例【例2-152-15】假设某物体沿直线运动的规律是】假设某物体沿直线运动的规律是S=3=3t 4 4-20-20t 3 3+36+36t 2 2，问该物体何时向前运动，何时向，问该物体何时向前运动，何时向后运动后运动1.函数四则运算的求导法则函数四则运算的求导法则- -证明与例证明与例1.1函数四则运算的求导公式（务必熟记）函数四则运算的求导公式（务必熟记）1.2例题（例题（1 1）多项式函数；）多项式函数； （2 2）正切和余切函

20、数（附注：双曲函数都是指）正切和余切函数（附注：双曲函数都是指数函数四则运算得到的，其导数计算很简单）；数函数四则运算得到的，其导数计算很简单）； （3 3）正割和余割函数；）正割和余割函数； （4 4）指数函数与三角函数的乘积。）指数函数与三角函数的乘积。 1.3在运动学中的一个简单应用在运动学中的一个简单应用 2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则2.1 公式与证明公式与证明（区分中间变量增量（区分中间变量增量=0和不为和不为0-关于等式的规定）。关于等式的规定）。注注2 2：需要特别注意导数符号的使用和意义，区别：需要特别注意导数符号的使用和意义，区别中间变量与初始变量。特别是要明确：

21、导数符号所中间变量与初始变量。特别是要明确：导数符号所表示的是以哪一个变量为自变量在求导数。表示的是以哪一个变量为自变量在求导数。注注3 3：在熟练之后，计算的时候不必将中间变量都：在熟练之后，计算的时候不必将中间变量都用其它变量符号表示出来。但一定要心中有数。注用其它变量符号表示出来。但一定要心中有数。注意到注意到注2 2中所说的，不要引起混乱。中所说的，不要引起混乱。2.2多重函数复合与链式法则多重函数复合与链式法则注注1 1：链式法则，在求导过程中，几乎时时在用。：链式法则，在求导过程中，几乎时时在用。需多做练习，熟练掌握。需多做练习，熟练掌握。250(2 ),.dyyxxdx 求求 【

22、例例2.2-162.2-16】 【例【例4.2-184.2-18】22tan,.1xdyydxx 求求【例【例1】一般幂函数的导函数。】一般幂函数的导函数。注：一般的幂函数是被看做指数函数与对数函注：一般的幂函数是被看做指数函数与对数函数的复合。数的复合。2.3计算举例计算举例 一个小结：到目前为止，我们已经可以计算多项式、一个小结：到目前为止，我们已经可以计算多项式、有理分式、有理分式、 一般的幂函数、三角函数、指数函数及一般的幂函数、三角函数、指数函数及双曲函数、以及这些函数经四则运算、复合所得到的双曲函数、以及这些函数经四则运算、复合所得到的各种函数的导函数了。各种函数的导函数了。 对数

23、函数以及反三角函数的导函数公式，我们还没对数函数以及反三角函数的导函数公式，我们还没有给出来。尽管可以利用某些极限由定义得到这些有给出来。尽管可以利用某些极限由定义得到这些函数的导函数，但是我们想给出更一般的运算法则。函数的导函数，但是我们想给出更一般的运算法则。 我们知道，对数函数是指数函数的反函数，反我们知道，对数函数是指数函数的反函数，反三角函数是三角函数的反函数。如果可以用函数三角函数是三角函数的反函数。如果可以用函数的导函数得到其反函数的导数公式，那么就解决的导函数得到其反函数的导数公式，那么就解决了所有初等函数的求导问题，并所得更多一些。了所有初等函数的求导问题，并所得更多一些。3

24、反函数求导法则反函数求导法则 3.1公式与证明（注意只要求在一段区间可逆）。公式与证明（注意只要求在一段区间可逆）。 注注1：这个结果可以特别容易的从几何直观上观察：这个结果可以特别容易的从几何直观上观察到。坐标平面上的一条曲线，若在某点处有切线。到。坐标平面上的一条曲线，若在某点处有切线。那么在颠倒两个变量之后，即把原来的横轴换成纵那么在颠倒两个变量之后，即把原来的横轴换成纵轴，曲线也变换到与对角线对称的位置上，轴，曲线也变换到与对角线对称的位置上，该切线该切线的斜率，恰好是原来斜率的倒数。只要原来的斜率的斜率，恰好是原来斜率的倒数。只要原来的斜率不是不是0，那么变换之后的切线斜率也就存在（

25、不是，那么变换之后的切线斜率也就存在（不是无穷大）。无穷大）。 注注2：利用这个法则，需要注意的是，直接利用反利用这个法则，需要注意的是，直接利用反函数求导法则得到的表达式，其导函数中的变量函数求导法则得到的表达式，其导函数中的变量是因变量符号，所以需要利用原来的函数关系，是因变量符号，所以需要利用原来的函数关系，将其变换为自变量表示的函数。将其变换为自变量表示的函数。 【例【例2-202-20】求反正弦函数】求反正弦函数 y= = arcsin x 的导数的导数 【例【例2-212-21】求反正切函数】求反正切函数 y= = arctan x 的导数的导数3.2例题例题【例】求对数函数的导函

26、数【例】求对数函数的导函数 注：在变换过程中，注意到注：在变换过程中，注意到y= arcsin x中的中的y仅在正负仅在正负 /2之间，所以之间，所以cosy只取正值。类似只取正值。类似考虑考虑arccosx导数公式中变量代换的符号取法。导数公式中变量代换的符号取法。 其它反三角函数的导数公式作为练习。其它反三角函数的导数公式作为练习。现在可以说：初等函数的导数都在掌握之中了！现在可以说：初等函数的导数都在掌握之中了！ 而且从已知的基本初等函数的导数公式可以看出，而且从已知的基本初等函数的导数公式可以看出，初等函数的导数还是初等函数。初等函数的导数还是初等函数。 不过，某些初等函数的导函数的定

27、义域会有一些不过，某些初等函数的导函数的定义域会有一些变化，即导函数的定义域有可能比原函数的定义变化，即导函数的定义域有可能比原函数的定义域少一些点。比如：域少一些点。比如：x的的0.5次方，其导数在次方，其导数在0点无点无定义。定义。 但是正如前面介绍初等函数的时候曾经指出，但是正如前面介绍初等函数的时候曾经指出，某些重要的函数关系，不见得可以直接表示为初某些重要的函数关系，不见得可以直接表示为初等函数，比如有：隐函数和参数表示的函数关系。等函数，比如有：隐函数和参数表示的函数关系。 然而这些函数关系的表达，又往往都是借助于然而这些函数关系的表达，又往往都是借助于初等函数列出的方程。那么是否

28、也可以建立某些初等函数列出的方程。那么是否也可以建立某些求导计算法则，避免只从定义出发求导呢？求导计算法则，避免只从定义出发求导呢？4隐函数求导法则隐函数求导法则4.1基本计算方法（暂时不证明）基本计算方法（暂时不证明）设有函数关系设有函数关系y=f（x）由方程由方程F（x，y）=0给出。给出。 其方程隐含着这样的关系：其方程隐含着这样的关系：F（x，f（x）=0。 ),(yxFx 如果，在式子如果，在式子F（x，y）中，将中，将y看作常量，对看作常量，对F求求对于自变量对于自变量x的导数，所得公式记为：的导数，所得公式记为： ；),(yxFy 将将x看作常量，对看作常量，对F求对于自变量求对

29、于自变量y的导数，所得公的导数，所得公式记为：式记为： 。那么隐函数求导法则表示为：。那么隐函数求导法则表示为：),(),(yxFyxFyxdxdy=0,或者或者yxyxFFyxFyxFxfdxdy),(),()( 上面给出的法则，是以抽象的公式给出的，下面通上面给出的法则，是以抽象的公式给出的，下面通过具体计算，领会这个法则是怎样应用的。过具体计算，领会这个法则是怎样应用的。注：在这个公式中，注：在这个公式中，f(xf(x) )的导函数表达式中往往的导函数表达式中往往会有两个变量，尤其是含有因变量会有两个变量，尤其是含有因变量y.y.但这是没办但这是没办法的事，毕竟原来就不能将函数关系以显函

30、数的法的事，毕竟原来就不能将函数关系以显函数的方式表达出来。方式表达出来。 但是能够给出关系式，总是很有意义的。但是能够给出关系式，总是很有意义的。 4.2隐函数求导法则的例题：隐函数求导法则的例题： 【例【例2-222-22】已知函数】已知函数y= =y( (x) )由方程由方程 确定，求确定，求cos()0 xyexy .dydx 【例【例2-232-23】求椭圆】求椭圆 在点在点 处的处的 切线方程和法线方程切线方程和法线方程22149xy3222（，） 4.3对数求导法对数求导法 计算函数乘法的导数，尤其是在乘积因式计算函数乘法的导数，尤其是在乘积因式很多的情况下，往往非常繁琐。很多的

31、情况下，往往非常繁琐。 利用两边取对数，可以将乘积积变为加法。利用两边取对数，可以将乘积积变为加法。 注意到，由于在注意到，由于在y=f(xy=f(x) )的两边都取对数，的两边都取对数，所得到的公式，在形式上就是一个隐函数。所得到的公式，在形式上就是一个隐函数。 这时利用隐函数求导法则，往往可使某些这时利用隐函数求导法则，往往可使某些导数的计算简化。导数的计算简化。 下面给出几道例题：下面给出几道例题： 【例【例2-252-25】.)0()1(dxdyxxxyx，求，求，设设 【例【例2-242-24】.,1cos3dxdyxxeyx求求设设 5 参数式函数的求导法则参数式函数的求导法则 5

32、.1说明：参数式函数关系，一种间接或局部的说明：参数式函数关系，一种间接或局部的函数关系表达方式。往往有更广泛的应用范围。函数关系表达方式。往往有更广泛的应用范围。 5.2一般参数式函数求导公式及其证明一般参数式函数求导公式及其证明 注注1：如果将如果将y y 看做看做x x的函数，求导数的函数，求导数(dy/dx(dy/dx），），那么只要那么只要x x 对对t t 的瞬时变化率（导数）不为零，参的瞬时变化率（导数）不为零，参数求导的公式就有效。事实上，这时候，起码在一数求导的公式就有效。事实上，这时候，起码在一段区间上，段区间上，y y 确实是确实是x x 的函数。的函数。 注注2：这里涉

33、及几个导数，要搞清楚的是，作为曲这里涉及几个导数，要搞清楚的是，作为曲线切线斜率的导数，到底是在哪个坐标平面上的线切线斜率的导数，到底是在哪个坐标平面上的曲线的切线斜率。曲线的切线斜率。(sin)(1cos)xaya 【例【例2-272-27】设半径为】设半径为a的动圆在的动圆在x轴上无滑动的滚动，轴上无滑动的滚动，A是圆周上的一个定点，开始时点是圆周上的一个定点，开始时点A A在原点在原点O处设参变处设参变量为量为 ，如图，如图2-62-6所示则点所示则点A的轨迹方程为的轨迹方程为 该曲线称为摆线或旋轮线证明摆线上任一点该曲线称为摆线或旋轮线证明摆线上任一点A(x,y)处处的法线必通过圆与的

34、法线必通过圆与x轴相切的切点轴相切的切点B ABOxya 2图图2-65.3例题例题 【例【例2-292-29】设雨滴为球体状，若雨滴聚集水分的速】设雨滴为球体状，若雨滴聚集水分的速率与表面积成正比，证明雨滴半径增加的速率为一常率与表面积成正比，证明雨滴半径增加的速率为一常数数 【例【例2-282-28】求心形线】求心形线 在对应于在对应于 的的点处的切线和法线方程点处的切线和法线方程1 cosr =4 5.3对极坐标表示的曲线的几何性质分析对极坐标表示的曲线的几何性质分析 注意，矢径对幅角的变化率，并非其所表示曲线注意，矢径对幅角的变化率，并非其所表示曲线的切线斜率。求切线方程还须变换到的切

35、线斜率。求切线方程还须变换到x-y平面。利平面。利用用y对对x的导数讨论曲线的切线或法线方程。的导数讨论曲线的切线或法线方程。5.4相关变化率相关变化率- -参数方程组中参数参数方程组中参数t t的几个因变量的几个因变量之间的变化率往往也是相关的。有时可利用这种之间的变化率往往也是相关的。有时可利用这种关系使计算简明。下面举两个例子说明这一点。关系使计算简明。下面举两个例子说明这一点。 【例【例2-302-30】某人以】某人以2 2m/ /s的速度通过一座桥，桥面高的速度通过一座桥，桥面高出水面出水面2020m，在此人的正下方有一条小船以，在此人的正下方有一条小船以 m/ /s的速的速度在与桥

36、垂直的方向航行，求经过度在与桥垂直的方向航行，求经过5 5s后，人与小船相分后，人与小船相分离的速度离的速度3420mxys桥面桥面水面水面注：其实此类问题注：其实此类问题也可直接计算，不也可直接计算，不必借用相关变化率。必借用相关变化率。 采用什么方法，采用什么方法，主要是看哪一种简主要是看哪一种简单。单。第二章第二节作业（习题2-2）nP99-100n3.（2,4,5）；）；4；5（4,6,7,8）；）；6；n7.（1,3）；）；9（1,3）；）；10；11；12；13（2）；）；14.n15,16作为自我测试的练习题。作为自我测试的练习题。第三节第三节 微分微分-概念、意义与计算概念、意

37、义与计算3.1 微分的定义（再说说定义微分的定义（再说说定义-一个引子）一个引子）（1）微分概念的定义及符号表示）微分概念的定义及符号表示（自变量微分符号的含义）（自变量微分符号的含义）（2）因变量的增量与因变量微分之间的关系）因变量的增量与因变量微分之间的关系（3）导数与微分的关系）导数与微分的关系-可微当且仅当可导。可微当且仅当可导。 （3+）函数微分的几何意义）函数微分的几何意义-以直代曲。以直代曲。 （2+）线性与主部线性与主部-代数意义代数意义-因变量增量与其微因变量增量与其微分之差是自变量增量的高阶无穷小分之差是自变量增量的高阶无穷小(简单例子简单例子) 。（4）导数与微商导数与微

38、商-含义与形式表达式含义与形式表达式注：在用微商表示导数的时候，无论是因变量的微注：在用微商表示导数的时候，无论是因变量的微分还是自变量的微分，都不是什么无穷小。从它们分还是自变量的微分，都不是什么无穷小。从它们被引入的方式看，其实都是在导数已经存在的情况被引入的方式看，其实都是在导数已经存在的情况下，利用已知导数组成的表达式。但是这种形式上下，利用已知导数组成的表达式。但是这种形式上的关系，也给某些计算的表示带来了很多方便。的关系，也给某些计算的表示带来了很多方便。3.2微分的运算公式微分的运算公式（1）基本初等函数的微分公式（自读）基本初等函数的微分公式（自读-略）。略）。（2）四则运算的

39、微分公式（注意熟悉表达形式）。）四则运算的微分公式（注意熟悉表达形式）。（3）复合函数的微分）复合函数的微分-一阶微分形式不变性。一阶微分形式不变性。（4）求微分和利用微分形式（一阶微分形式不变求微分和利用微分形式（一阶微分形式不变性）求导数的例题性）求导数的例题 【例【例2-312-31】设函数】设函数 y = =x 3 3求求（1）函数在）函数在x=1和和x=3处的微分处的微分（2）函数在）函数在x=1处处x=0.01时增量和微分时增量和微分 【例【例2-322-32】设】设222,.xxyx edy 求求.dydx 【例【例2-332-33】求由方程】求由方程 y=sin(=sin(x+

40、 +y) )确定的函数的导数确定的函数的导数 【例【例2-342-34】利用微分计算】利用微分计算sin1和和cos46 的近似值的近似值3.3微分的应用微分的应用-近似计算与误差估计近似计算与误差估计（1）由等价无穷小得到的一些近似计算关系（请）由等价无穷小得到的一些近似计算关系（请注意这些等价无穷小所涉及的导数值）。注意这些等价无穷小所涉及的导数值）。（2）两道例题）两道例题-三角函数的近似计算（见前页）；三角函数的近似计算（见前页）； 核弹头爆炸当量的效率分析（见后页，待定）。核弹头爆炸当量的效率分析（见后页，待定）。（3）误差估计）误差估计 绝对误差限；相对误差限。绝对误差限；相对误差

41、限。几个概念：绝对误差；相对误差；几个概念：绝对误差；相对误差； 直接测量值与间接测量值（利用函数）直接测量值与间接测量值（利用函数）例题（见下页）例题（见下页） 【例【例2-362-36】设测得圆的直径】设测得圆的直径D=60.03=60.03mm，测量，测量D的的绝对误差限绝对误差限0 0=0.05=0.05，利用公式，利用公式24AD 计算圆的面积时，试估计面积的误差计算圆的面积时，试估计面积的误差 第二章第三节作业：第二章第三节作业：P1071（2,4,6）；）；2（2）；）；3（1）；）；4。 微分的计算比较简单，几乎没有新东西。人们也微分的计算比较简单，几乎没有新东西。人们也比较容

42、易记住利用它做近似计算。但是微分的概比较容易记住利用它做近似计算。但是微分的概念及其意义，却往往被人忘记。念及其意义，却往往被人忘记。 希望能很好地理解并记住这个概念！希望能很好地理解并记住这个概念！附录：导数与微分的区别附录：导数与微分的区别设给一定点设给一定点 ，在该点处的，在该点处的-0 x导数导数微分微分（1）定义：定义：xxy差商的极限；差商的极限；即即 在在 趋于趋于0时的极时的极限。限。（2）属性：属性：)(0 xf 是一个数。是一个数。y函数因变量增量函数因变量增量的线性主部。的线性主部。dy 是以是以 为自变为自变量的一个线性函数。量的一个线性函数。xdx13=.D Cx 【

43、例【例2-352-35】（为什么不宜制造当量级太大的核弹头）】（为什么不宜制造当量级太大的核弹头） 核武器具有极大的杀伤力，核弹的爆炸量，即核裂变核武器具有极大的杀伤力，核弹的爆炸量，即核裂变或聚变时释放出的能量，通常用相当于多少千吨或聚变时释放出的能量，通常用相当于多少千吨TNT炸药的爆炸威力来衡量已知核弹头在与它炸药的爆炸威力来衡量已知核弹头在与它的爆炸量的立方根成正比的距离内，会产生每平方厘的爆炸量的立方根成正比的距离内，会产生每平方厘米米0.3516kg0.3516kg的超压，这种距离称作有效距离若记有的超压，这种距离称作有效距离若记有效距离为效距离为D，爆炸量为，爆炸量为x，则二者的

44、函数关系为，则二者的函数关系为其中，其中，C为比例常数为比例常数133.2186=100 .C 又知当又知当x为为100100千吨千吨T TN NT T当量时，有效距离当量时，有效距离D为为3 32186km2186km于是于是解出解出0.6934C ，所以，所以13=0.6934.Dx 如果爆炸当量增加至如果爆炸当量增加至1010倍，即变为倍，即变为10001000千吨千吨T TN NT T当量时，则有效距离增加至当量时，则有效距离增加至130.6934 10006.934 km). （约为约为100100千吨千吨T TN NT T当量时的当量时的2 2倍这说明其作用范围倍这说明其作用范围并

45、没有因爆炸量的大幅增加而显著增加并没有因爆炸量的大幅增加而显著增加 下面来研究爆炸量与相对效率的关系所谓相对效下面来研究爆炸量与相对效率的关系所谓相对效率是指核弹的有效距离尺寸爆炸量的变化率率是指核弹的有效距离尺寸爆炸量的变化率dD/dx，即，即爆炸量没增加爆炸量没增加1 1千吨千吨T TN NT T当量时，有效距离的增加当量时，有效距离的增加量由量由23=0.6934,dDxdx 当当x=100, x=1时，利用微分近似计算，得时，利用微分近似计算，得2310.6934 10010.010710.73Dkmm 这就是说，对这就是说，对100千吨级（千吨级（10万吨级）爆炸量的核弹来万吨级）爆

46、炸量的核弹来说，爆炸量每增加说，爆炸量每增加1千吨时，有效距离增加千吨时，有效距离增加10.7m 如果如果x=1000, x=1，则，则2310.6934 100010.00232.33Dkmm 即对百万级的核弹来说，每增加即对百万级的核弹来说，每增加1千吨的爆炸量，有千吨的爆炸量，有效距离仅增加效距离仅增加2.3m，相对效率反而下降了，相对效率反而下降了第四节第四节 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分4.1 高阶导数高阶导数-定义与计算定义与计算 导函数也是函数，也有其瞬时变化率。所以还可导函数也是函数，也有其瞬时变化率。所以还可以求其导数。比如说距离函数的导数是速度函数，以求其导数。比如

47、说距离函数的导数是速度函数，速度函数的导数便是加速度函数。对于原来的函速度函数的导数便是加速度函数。对于原来的函数而言，其导函数的导数，就被称为原函数的高数而言，其导函数的导数，就被称为原函数的高阶导数。只要可以，任意有限阶的导数都可以自阶导数。只要可以，任意有限阶的导数都可以自然引入。然引入。 为方便比较，原函数便被称为自身的为方便比较，原函数便被称为自身的0 0阶导数。阶导数。符号的约定：微商形式与撇与上标的记法；取值符号的约定：微商形式与撇与上标的记法；取值的记法。的记法。 【例【例2-372-37】求函数】求函数 的二阶导数的二阶导数2ln(1)yxx .dydx【例【例2-382-3

48、8】方程】方程 e x- -e y= =xy 确定了确定了y是是x的函数，求的函数，求220.xd ydx 4.2 隐函数和参数形式的高阶导数计算隐函数和参数形式的高阶导数计算 这两种形式的函数所得到的导函数依然是原来这两种形式的函数所得到的导函数依然是原来的形式的形式- -即隐函数或参数形式，所以求高阶导，即隐函数或参数形式，所以求高阶导，也就是继续算下去。也就是继续算下去。 【例【例2-392-39】设函数】设函数y= =y( (x) )由参数方程由参数方程2ln(1)arctanxtytt 确定，求确定，求22.d ydx 利用参数形式得到的因变量利用参数形式得到的因变量y与自变量与自变

49、量x之间之间的导函数，也还是参数表达形式。所以继续的导函数，也还是参数表达形式。所以继续求其导函数（求其导函数（y对对x的变化率的变化率-这里不要混淆它这里不要混淆它们与参数的关系），无非是继续利用参数求们与参数的关系），无非是继续利用参数求导公式。导公式。【例【例2-402-40】求指数函数】求指数函数 y= =e x的的n阶导数阶导数 【例【例2-412-41】求正弦函数】求正弦函数 y= =sinx与余弦函数与余弦函数y=cosx的的n阶导数阶导数 【例【例2-422-42】求对数函数】求对数函数 y= =ln(1+x) ( (x-1)-1)的的n阶导数阶导数4.3 基本初等函数的高阶导

50、数与莱布尼茨公式基本初等函数的高阶导数与莱布尼茨公式 （1）基本初等函数在研究初等函数的微积分时，基本初等函数在研究初等函数的微积分时，有基本的重要性，所以不仅要熟记它们的导数，有基本的重要性，所以不仅要熟记它们的导数，也要熟悉这些函数的各阶导函数。就像为了计算也要熟悉这些函数的各阶导函数。就像为了计算乘法和除法，需要熟记乘法和除法，需要熟记9999表一样。表一样。 【例【例2-462-46】设】设 y= =x 2 a 2x (a0,a1) ，求，求y(20)(20) 【例【例2-432-43】求幂函数】求幂函数 y= = 的的n阶导数阶导数 【例【例2-442-44】求函数】求函数 y= =

51、cos 2 2x 的的n阶导数阶导数2132yxx 【例【例2-452-45】求函数】求函数 的的n阶导数阶导数xx（2）求两个函数乘积的高阶导求两个函数乘积的高阶导- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 求导与加减运算可交换顺序，其高阶导公式很求导与加减运算可交换顺序，其高阶导公式很简单。但是求导与乘积运算并不可直接交换顺序，简单。但是求导与乘积运算并不可直接交换顺序，所以求其高阶导就不是那么直接。但是利用归纳所以求其高阶导就不是那么直接。但是利用归纳法，可得一个在形式上与二项式定理类似的公式，法，可得一个在形式上与二项式定理类似的公式，即所谓莱布尼茨公式。即所谓莱布尼茨公式。 【例【例2-472-

52、47】设】设 y= =xe x 求求d d2 2y 4.4 高阶微分高阶微分（1）高阶微分的定义与表示形式高阶微分的定义与表示形式 （2）意义：现在仅能给出一个粗略的说明。后意义：现在仅能给出一个粗略的说明。后面将会更为清晰。我们知道，一阶微分是因变量面将会更为清晰。我们知道，一阶微分是因变量的一个线性近似，相差一个自变量增量的高阶无的一个线性近似，相差一个自变量增量的高阶无穷小。那么可以猜测这个高阶无穷小应该是穷小。那么可以猜测这个高阶无穷小应该是dx的的二阶无穷小，并且与函数的二阶导有关。类似的，二阶无穷小，并且与函数的二阶导有关。类似的，可以想到更高阶的无穷小应该具有可以想到更高阶的无穷

53、小应该具有dx的的n次方的次方的形式，并且也与函数的高阶导数有关。形式，并且也与函数的高阶导数有关。 【例【例2-482-48】设函数】设函数 y= =sin x 2 由函数由函数 y=sin u，u=x 2复合而来复合而来 （1 1）当）当 y=sin u 时，求时，求d 2 y （2 2）当）当 y=sin x 2 时，求时，求d 2 y 这个例子是想说明，二阶微分已经不具备微分这个例子是想说明，二阶微分已经不具备微分形式不变性了。这是因为什么呢？形式不变性了。这是因为什么呢？ 关键在于，当以初始变量关键在于，当以初始变量x x表示表示y y的二阶微分的时的二阶微分的时候，在一阶微分中，中

54、间变量候，在一阶微分中，中间变量u u的微分的微分du du 也是也是x x 的的函数。做二阶微分时，会产生一个微分项。这一点函数。做二阶微分时，会产生一个微分项。这一点在以在以u u为自变量表示为自变量表示y y的二阶微分时，不会表现出来。的二阶微分时，不会表现出来。请注意这个差别。请注意这个差别。第二章第四节、第五节作业题第二章第四节、第五节作业题第四节：第四节：1（1、3、5）；）；2（2、4）；）；3（2、3）；）；4（2、3）；）；5；8；9.第五节：第五节：1；2；3.第第4、5题，请自己思考。或讨论交流。题，请自己思考。或讨论交流。【4；5】 【例【例2-492-49】求】求0(

55、2)lim.sinxx xxx 【例【例2-502-50】求】求+-arctan2lim.1sinxxx 2.5 罗比塔（洛必达）法则罗比塔（洛必达）法则 为了马上看到高阶导数的用处，这里提前给出为了马上看到高阶导数的用处，这里提前给出一个应用，即利用高阶导数求极限。它可以使某一个应用，即利用高阶导数求极限。它可以使某些极限计算变得简单。下面的求导法则，暂时还些极限计算变得简单。下面的求导法则，暂时还不能证明。需要后面的柯西中值定理。但是使用不能证明。需要后面的柯西中值定理。但是使用起来是很简单的。起来是很简单的。 罗必塔法则的基本形式（定理给出罗必塔法则的基本形式（定理给出- -证明暂略）证

56、明暂略） 【例【例2-512-51】求】求30sinlim.xxxx 【例【例2-532-53】求】求011lim().sinxxx 【例【例2-522-52】求极限】求极限201+tan1sinlim.sinxxxxx 【例【例2-542-54】求】求201sinlim.tanxxxx 【例【例2-552-55】求】求+lnlim(0).nxxnx 【例【例2-562-56】求】求+lim.lnxxex 【例【例2-572-57】求】求+0lim sinln.xxx 【例【例2-582-58】求】求+sin01lim ().xxx 【例【例2-592-59】求】求210lim(cossin)

57、.xxxxx 其中第三种可以直接变为前两种的某一个形式；其中第三种可以直接变为前两种的某一个形式；第四和第五种形式的不定式，可以通过取指、对数第四和第五种形式的不定式，可以通过取指、对数变换，变成第三种形式（也就是前两种形式）。变换，变成第三种形式（也就是前两种形式）。 利用罗比塔法则，一定要注意所见到的不定式是利用罗比塔法则，一定要注意所见到的不定式是否符合使用的条件，不可盲目求导计算否符合使用的条件，不可盲目求导计算。 注：注：罗比塔法则，是在中值定理基础上得到的。使用该法则，属初等罗比塔法则，是在中值定理基础上得到的。使用该法则，属初等运算，没什么高超的。知道这个法则为什么成立，才算基本

58、理解它。运算，没什么高超的。知道这个法则为什么成立，才算基本理解它。 类型的不定式，要经过变形，看属于类型的不定式，要经过变形，看属于那种情况，再进行计算。那种情况，再进行计算。 通常遇到的，看上去比较难于确定的极限，主通常遇到的，看上去比较难于确定的极限，主要可以归为如下一些类型（被称为不定式）：要可以归为如下一些类型（被称为不定式）：0/00/0； ; ; ； ； 。 /01000讨论习题讨论习题2.5，第四、第五题。，第四、第五题。34223lim2331xxxxxx5：（：（1）21limxxxe（2）20000)()(2)(limhhxfxfhxfh（3）4：讨论：讨论 在在0点点处

59、的连续性。附加：可导吗？导数连续吗？处的连续性。附加：可导吗？导数连续吗？)0()1()0(1121)(xexxexxxf附录附录（1 1）幂指函数的求导公式：）幂指函数的求导公式：)ln()ln()()(lnlnffgfgffgeefgfgfgg附录（附录（2 2） 型极限的一般变换方法型极限的一般变换方法11)(lim0 xxx)(1lim0 xxx01()lim()xxxx设设 ， ，求，求 。)(1)(lim)1)(1ln(lim)(1)(lim1)()1)(1ln()(1)(lim)()(ln)(101)(100000lim)(limxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

60、eeeex解：解：归结为求归结为求 ，是，是 型。型。1lim00第六节作业题：第六节作业题：1；2；3（3）；）；4（1）；）；6；7；8；9.【6；9】.第七节作业题：第七节作业题：1；3；4；5. 【5；9】。】。2.6微分中值定理 罗尔、拉格朗日、柯西中值定理 我们知道函数我们知道函数 在某个点在某个点 处的导数是由处的导数是由下面取极限的过程得到的下面取极限的过程得到的( )yf x0 x( )( )f bf aba0()fx 这个过程式的左边是函数的差商，它是函数在一个这个过程式的左边是函数的差商，它是函数在一个区间段的平均变化率，是函数在一个区域的某种性质。区间段的平均变化率，是