切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

1、7.与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论切割线定理切割线定理推论已知结论证法。0中，ABCD为PAPB=连结AGBR证:连结TA、TB,证:PT。APAT过P作PT切。0于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1 .切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点

2、的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3 .弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切。0于P,PCPD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5 .弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6 .遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。弦，交于P.PC-PDAAP（CADPB00中，AB为直径，PC=PA

3、PB用相交弦定理.CDLAB于P.（特殊情况）00中，PT切。0PT=PAPB于T,割线PB交。0于APBPD为。0的两PAPB条割线，交。0于PC-PDA、C圆哥定。0中，割线PB交P'CP'D=r2延长P'O交。0于理。0于A,CD为弦OP'2M,延长OP'交。0PAPB=OP于N,用相交弦定r2理证；过P作切线r为。0的半径用切割线定理勾股定理证8.圆哥定理：过一定点P向。0作任一直线，交。0于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|。尸-5|(R为圆半径)，因为。尸一炉叫做点对于。0的哥，所以将上述定理统称为圆哥定理。【典型例题】例1.如图

4、1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DEAE的值。图1解：由切线长定理知：AF=AB=1,EF=CE设CE为x,在RtzADE中，由勾股定理1315£)£=1-=-H宜=1+=一44,44,例2.00中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cmBE=2cmCD=7cm,那么CE=cm图2解：由相交弦定理，得AE-BE=CE-DE/AE=6cmBE=2cm,CD=7cmDE=CD-CE=l-CE.6X2=B(7-笆即CE'-7c五十12二0.CE=3cm或CE=4cm故应填3或4。点拨：相交弦定理是较

5、重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则/乩公艮。解：./P=/p/PAC=/B,.PA6APB/AAB_PB工F,，H炉_o又.PA是圆的切线，PC琨圆的割线，由切割线定理，得-5_PB./=PB*pc=Td即一二一,故应填PG点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3,P是。0外一点，PC切。0于点C,PAB是。0的割线，交。0于A、B两点，如果PAPB=1:4,PG=12cm©0的半径为10cmi则圆心到AB的距离是cm图3解：:PC是。0的切线，PAB是。0的割线，且PAPB=1:4 .PB=4PA又PC=1

6、2cm由切割线定理，得 一二一F4二先7-口 .PB=4X6=24(cmj) .AB=24-6=18(cmj)设圆心O到AB距离为dcm,由勾股定理，得故应填回。例5.如图4,AB为。0的直径，过B点作。0的切线BQOCOO于点E,的延长线交BC于点D,（1）求证：C京二加，受；（2）若AB=BC=2厘米,求CECD的长图4arivrarbl点悟：要证HI,即要证CESACBE证明：（1）连结BEO£ABD=9CT月B=2=OS=1SC=2*=OC=V4+1=石OS=A又"炉=刃毁（出T尸=2Snm=（S-/）厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定

7、理创造条件例6.如图5,AB为。0的直径，弦CD/ARAE切。0于A,交CD的延长线于E。图5求证：证明：连名BD.AE切。0于A,/EA氏/ABDVAE!AR又AB/CD.AE!CD.AB为。0的直径./ADB=90./E=/ADB=90.ADaABADAD_DSAD.CD/AB.AD=BQ.方C=WF*荻例7.如图6,PAPC切。0于A、C,PDB害U线。求证：ADBG=CDAB图6空g点悟：由结论AD-BG=CDAB得心:瑟，显然要证PADPBA和PCSAPBC证明：.PA切。0于A,/PA氏/PBA又/AP氏/BPA.PADAPBA心_阳同理可证4PCSAPBCCPPD.PAPC分别切

8、。0于A、C .PA=PC心CD/.AD-BG=DC-AB例8.如图7,在直角三角形ABC中，/A=90°,以AB边为直径作。O,交斜边BC于点D,过D点作。0的切线交AC于E。求证：BO2OE点悟：由要证结论易想到应证OEMABC勺中位线。而OA=OB只须证AE=CE证明：连名OD.ACLAB,AB为直径AC为。0的切线，又DE切。0于D .EA=EQODLDE O氏OD/B=/ODB在RtABC中，/C=90-ZB/ODB90./C=/EDC .ED=EC .AE=EC .OE是ABC的中位线 .BC=2OE例9.如图8,在正方形ABC前，AB=1,是以点B为圆心，AB长为半径的

9、圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作小所在圆的切线，交边DC于点F,G为切点。当/DEF=450时，求证点G为线段EF的中点；图8解：由/DEF=45,得/0旌=缈-/巫胃=45。 ./DFE=/DEF .DE=DF又AD=DC .AE=FC因为AB是圆B的半径，ADLAB,所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点Co又因为EF切圆B于点G所以AE=EGFC=FG因此EG=FG即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1 .已知：PAPB切。0于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,贝UPA=（）2025A.3B.3C.5

10、D.82,下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C,菱形D.梯形3.已知：如图1直线MNWOO相切于C,AB为直径，/CAB=40°,则/MC的度数（）图1A.50B.40C.60D.554,圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm5 .在AABC中，D是BC边上的点，AD2心.，BA3cmDC=4cm如果是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A./；B,，立不C.一二,D,6 .PT切。0于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交。0于B和A,在线段PD上，若CD=

11、2,AD-3,BD=4,则PB等于（）A.20B.10C.5D.二、填空题7 .ABCD是。0切线，AB/CDEF是。0的切线，它和ABCD分别交于E、F,则/EOF度。8 .已知：00和不在。0上的一点P,过P的直线交。0于A、B两点，若PAPB=24,OP=5,则。0的半径长为9 .若PA为。0的切线，A为切点，PBC割线交。0于RC,若BC=20,24=1。力，则PC的长为10 .正4ABC内接于。QMN分别为ABAC中点，延长M法。0于点D,PC_连名BD交AC于P,则F月_?三、解答题11 .如图2,AABCfr,AG=2cm周长为8cmF、KN是AABC与内切圆的切点，DE切。0于点M,且DE/AC求DE的长。图212 .如图3,已知P为。0的直径AB延长线上一点，PC切。0于C,CD£AB于D,求证：CB平分/DCI13 .如图4,已知AD为。0的直径，AB是。0的切线，过B的割线BM地AD的延长线于C,且BWMNkNG若AB26由，求。o的半径。图4【试题答案】一、选择题1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空题7.908.19.3010.三、解答题：11 .由切线长定理得BD0W长为4,由BD9AB