2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章2.2函数的单调性与最值

1、2.2 函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1理解函数的单调性、最大(小)值及其几 何意义.2会运用基本初等函数的图象分析函数 的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性与应 用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、 分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题， 又有解答题.基础落实冋档菇肚妊识训猱菇础耳目知识梳理1.函数的单调性单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f (x)的定义域为 1，如果对于定义域 1 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 Xi, x2定义当xiX2时，都有 f (xi)f (x2),那么就当x1f (X2),那么就说函说函数 f(X)在区间 D 上是增函

2、数数 f(X)在区间 D 上是减函数图象阴描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y= f (x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y= f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y= f (x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数 y= f (x)的定义域为 1，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的 x I，都有 f (x)wM ;存在 xo I，使得 f=M(1)对于任意的 x I，都有 f (x)M;存在 xo I，使得 f (xo) = M结论M 为最大值M 为最小值:概念方法微思考1 在判断函数的单调性时，你还知道

3、哪些等价结论？f xif x2提示 对？Xi,X2D ,XlMX2,0? f (x)在 D 上是增函数；对？X1, X2D ,XlMX2,Xi_ X2(X1_ X2)f (Xi) _ f(X2)0? f (X)在 D 上是增函数.减函数类似.a2 .写出函数 y= x+ X(a0)的增区间.提示( a, .：a和.a ,)基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1)若定义在 R 上的函数 f (x),有 f ( 1)f，则函数 f (x)在 R 上为增函数.(x)函数 y= f (x)在1,+a)上是增函数，则函数的单调递增区间是1,+a). (x)1(3

4、) 函数 y= -的单调递减区间是(一, 0)U(0,+a). (x)X(4) 所有的单调函数都有最大值和最小值.(X)题组二教材改编2.如图是函数 y= f (x), x 4,3的图象，则下列说法正确的是()A . f (x)在4,_ 1上是减函数，在1,3上是增函数B . f (x)在区间(一 1,3)上的最大值为 3,最小值为一 2C.f (x)在4,1上有最小值2,有最大值 3D.当直线 y=t 与 f (x)的图象有三个交点时一 1t2答案 C23 .函数 y=在2,3上的最大值是 _.x 1答案 24 .若函数 f (x) = x2_ 2mx+ 1 在2 ,)上是增函数，则实数m

5、的取值范围是 _答案(_a,2解析由题意知，2 , +a)? m, +a),.mW2.题组三易错自纠15.函数 f (x)= log 2x2+ x)的单调增区间是 _ ; f (x)的值域是 _ .11 答案 4，23，)6 .函数 y= f (x)是定义在2,2上的减函数，且 f (a + 1)f (2a)，则实数a 的取值范围是答案1,1)解析由条件知2a+ K2,22a2a,解得 1 a0,得 f (x)的定义域为x|x4 或 x0,设函数 f (x)=0,x=0,g(x) = x2f (x 1)，则函数 g(x)的单调递减区间是 _题型一多维探究确定函数的单调性1, x1,解析由题意知

6、 g(x) = 0, x= 1,2-x2, x0)在( a,1)上的单调性.解 方法一？X1, X2 ( 8, 1)，且 X1X2,x 1 + 1f(x) =a=11+ -x11f (X1) f (X2)= a1+x1111 + -X2 1a X2 X1，由于 X1X20, X1 10 , X2 10 时，f (x1) f (x2)0 ,即 f (X1)f (X2),所以函数 f (X)在(8,1)上单调递减.方法a x 1 axx1x12因为(x 1)20, a0，所以 f (x)0 时，f (x)在(8,1)上是减函数.思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断.(2)导数

7、法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点:是单调区间必须是函数定义域的子集;10由图知 f (x)的单调递减区间是1,2.函数 f (x) =log1(6x2+x1)的单调增区间为 _二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.(4)性质法： 利用函数单调性的性质， 尤其是利用复合函数 简单函数的单调性.同增异减”的原则时，需先确定跟踪训练 1 (1)(2019 北京)下列函数中，在区间(0,+ )上单调递增的是(1A . y =x2C. y=log1x2答案 A 1 解析 y=x2= .x, y= 2-x=寸x,1

8、y=log1x, y= x 的图象如图所示. 一z.2n1J 1左n1r1由图象知，只有 y=x2在(0 ,+)上单调递增.函数 f (x) = |x- 2|x 的单调递减区间是 _答案1,2x2 2x, x 2,解析 f (x) =x2+ 2x, x0 得，f (x)的定义域为X X3由复合函数单调性知f(X)的增区间即 y=6X2+x 1 的减区间(定义域内), f (X)的单调增区间为1OO命题点 1 比较函数值的大小f (c)的大小关系是()A . f (a)f (b)f (c)B. f (b)f (c)f (a)C. f (c)f (b)f (a)D. f (c)f (a)f (b)

9、答案 D解析因为函数 f(X)= X2在(0 , +m)上单调递增，而0log1= lOg53lOg54125，所以53f (b)f (a)f (c).故选 D.已知定义在 R 上的函数 f(X)=2|Xm|+ 1(m R)为偶函数记 a = f (log22), b= f (log24), c=f (2m),贝Ua, b, c 的大小关系为()A . abcB. cabC. acbD. cba答案 B解析定义在 R 上的函数 f (x)= 2|Xm|+ 1(m R)为偶函数，/. m= 0,二 f(X)=2|X|+ 1，二当x (m,0)时，f (X)是减函数，当 x (0, +m)时，f

10、(X)是增函数./ a= f (log22) = f (1), b=f (log24) = f (2), c= f (2m) = f (0), / a, b, c 的大小关系为 cab.命题点 2 求函数的最值2X11例 4(1)(2020 贵州遵义航天高级中学模拟)函数 g(x)= 在区间-,2 上的最小值是X2题型二多维探究函数单调性的应用(1)(2019 贵阳检测)若函数 f(X)=x2,设 a= log54,b =log1-531C=2乙，则 f (a), f (b),( )A. 1 B. 0 C. 2 D.|答案 B2x 1i解析 g(x) = 2 ，xx1 1函数 y=-在 2，2

11、 上单调递减，1 1所以函数 g(x) = 21在-,2 上单调递增，X21 所以 g(x)min= g 2 = 0.1 函数 f (x) = 3x iog2(x+ 2)在区间1,1上的最大值为 .答案 31解析 由于 y= 3x在 R 上单调递减，y= Iog2(x+ 2)在1,1上单调递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f (x)在 1,1上的最大值为 f ( 1) = 3.命题点 3 解函数不等式x3, xf (x)，则实数 x 的取值范围是In x+ 1 , x0,答案(一 2,1)解析 根据函数 f (x)的图象可知，f (x)是定义在 R 上的增函数. 2 x2x, 2x1

12、.已知函数 f (x)= ln x+ 2x,若 f (x2 4)2，则实数 x 的取值范围是 _ .答案 (.5, 2)U(2, ； 5)解析因为函数 f (x)= ln x+ 2x在定义域(0, +m)上单调递增，且 f (1) = ln 1 + 2 = 2,所以由f (x2 4)2 得，f (x2 4)f (1)，所以 0 x2 41，解得-.5x 2 或 2x 1是( m,+m)上的减函数，贝 y a 的取值范围是答案 CA. (0,1)C.17,D.1，1(3)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的3a1v0,解析由 f (x)是减函数，得ov

13、av1.3a1x1+4aloga1,1 11 1- 7wav3, a 的取值范围是 7 3 .3a 2 x+ 4a, x 1 ,f X1 f X2任意不相等的实数X1, x2,都有0，则 a 的取值范围为X1 X2-解析由题意知，函数 f (x)在 R 上单调递减，3a 20,22则 0a1,解得 7wa 0已知函数 y= loga(2 ax)在0,1是减函数，则实数 a 的取值范围是 _答案(1,2)解析设 u= 2 ax,-a0 且 aM1,函数 u 在0,1上是减函数.由题意可知函数 y= logau 在0,1上是增函数， a1.又Tu 在0,1上要满足 u0,2ax10,-得 a0,综

14、上得 1a2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1) 比较大小.(2) 求最值.定义域.(4)利用单调性求参数.1依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.2需注意若函数在区间a, b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.3分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.1跟踪训练 2 (1)已知函数 f (x)为 R 上的减函数，则满足 f - f (1)的实数 x 的取值范围是X答案(1,0)U(0,1)1 1解析 因为 f (x)在 R 上为减函数，且 f |X| 1，即 0|x|1,所以 0 x1 或1x 1,(2)函

15、数 f (x) =x的最大值为 _ .x2+ 2, x 1 时，函数 f (x)= x 为减函数，所以 f(X)在 x= 1 处取得最大值，为 f (1) = 1 ;当x 2,且 u0 在1,2上恒成立.a 4,解得 4Wa0 , 实数 a 的取值范围是4,5).课时精练基础保分练1下列函数中，在区间(一 1,1)上为减函数的是()1A y =B y= cos xC y= In (x+ 1)D y= 2-答案 D1解析 函数 y =, y= In(x+ 1)在(1,1)上都是增函数，函数 y= cos x 在(1,0)上是增函数,1 x1在(0,1)上是减函数，而函数y= 2x= 2x在(1,

16、1)上是减函数，故选 D.x2 .函数 f (x)= 在()I xA( s,1)U(1,+s)上是增函数B( s,1)U(1,+s)上是减函数C( s,1)和(1,+s)上是增函数D( s,1)和(1,+s)上是减函数答案 Cx11解析 函数 f (x)的定义域为x|xM1 f (x)= 一=- 1,根据函数 y= 1的单调性及有1 x 1 xx关性质，可知 f (x)在(s,1)和(1 ,+s)上是增函数.3 (2020 四川蓉城名校联盟)函数 f (x) = logo.5(x+ 1) + logo.5(x 3)的单调递减区间是()A(3, +s)B(1, +s)C( s,1)D ( s,

17、1)答案 Ax+10,解析由已知易得即 x3,x30,f (x) = log0.5(x+ 1)+ log0.5(x 3) = log0.5(x+ 1)(x 3), x3,令 t = (x+ 1)(x 3)，贝yt 在3,+s)上单调递增，又 00.50,所以 0 2,解析由于 f (x)= x|x+ 2| =x2 2x, x 2 时，y= x2+ 2x= (x+ 1)2 1,显然，f (x)在2, 1上单调递减；当 x 2 时，y= x2 2x= (x+ 1)2+ 1,显然，f (x)在(, 2)上单调递增.综上可知，f (x)的单调递减区间是2, 1 则 a 的取值范围是()2 2 ,A.

18、3,+mB. 3, 1C (0,2)D (0,+ )答案 B12a 11,2解析由题意知11 a1, 解得 3a1 a,7 函数 y= x2+ 2|x|+ 1 的单调递增区间为 _，单调递减区间为 _答案(一31和0,1( 1,0)和(1 ,+ )6 (2020 广西桂林模拟)已知函数f (x)是定义在(1,1)上的减函数,且满足 f (2a 1)0, 解析 由于 y=2x2 2x+ 1, x0, 即y= x + 12+ 2, x0 ,所以所以 a 1.a 1,2 a x+ 1, x0 成立，那么ax, x 1X1 X2实数 a 的取值范围是_3答案 3 , 2f x1 f x2解析 对任意

19、X1MX2,都有0 ,X1 X2所以 y= f （x）在 R 上是增函数.2a2 10,所以2a0 ,所以 a1,解得 a3 成立，则实数 m 的取值范围是_ .1答案 1, 12+ x解析 由 0,得一 2x3 成立等价于不等式 f m f (1)成立，所以m1，得 1m1.11.试判断函数x3 1f (x)=X一在(0,+R)上的单调性，并加以证明.X证明方法一、X3 11设 0X10.二 f (x1) f (X2)0，即 f (X“0 时，f (x)0，故 f(x)在(0,+s)上为增函数.12.已知函数 f (x)对于任意 x, y R，总有 f (x) + f (y) = f (x+

20、 y),且 x0 时，f (x)0.(1)求证：f (x)在 R 上是奇函数；求证：f (x)在 R 上是减函数；4若 f (1) = 3，求 f (x)在区间3,3上的最大值和最小值.(1)证明T函数 f (x)对于任意 x, y R 总有 f (x) + f (y)= f (x + y),令 x= y= 0 得 f (0)= 0,2丄x10，Ax1x2X2,则 xi x20 , f (xi) f(X2)= f (xi) + f ( X2)=f (xi X2), x0 时，f (x)0, f (xi X2)0 ,- f (Xi)f (X2) , f (X)在 R 上是减函数.解/ f (x)

21、是 R 上的减函数， f (x)在3,3上也是减函数, f (x)在 3,3上的最大值和最小值分别为 f ( 3)和 f (3),而 f (3) = 3f (i) = 2, f ( 3) = f (3) = 2, f (x)在3,3上的最大值为 2,最小值为2.0, y= t-的单调递增区间为.a, 0)和,a, +),则，a i,即 0a i,若 a = 0, y= t, t i,2为增函数，满足条件;若 a0, y= t辛的单调递增区间为a, 0)和=;a,+),则 V a 1 即1wa4.的取值范围是_ .答案(a,1U4 ,+ )解析 作函数 f (x)的图象如图所示，4124*由图象可知 f (x)在(a, a + 1)上单调递增，需满足 a4 或 a+ 1W2，即 a4.V拓展冲剌练15. 已知函数 f (x) = 2 021