第2.7讲 图形变换之旋转-备战中考数学热点难点突破（教师版）

1、【备战2019年中考数学热点、难点突破】考纲要求:1能够按要求作出简单平面图形经过旋转后的图形.2探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的旋转性质及其相关性质.3利用图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）解决问题.基础知识回顾: 1.旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.2.旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变

2、化.3.旋转作图步骤分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点.4.中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5.中心对称作图步骤 连结决定已知图形的

3、形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.应用举例:招数一、正三角形类型【例1】已知，点是等边内一点，线段 绕点逆时针旋转到，连接求的长求的度数【答案】（1）4（2）150°来源:Zxxk.Com连接、是等边三角形，在和中，在中，是直角三角形，且是等边三角形， 【例2】已知：如图，在ABC中，BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到ECD，若AB=5，AC=3，求BAD的度数与AD的长【答案】BAD=60°，AD=8招数二、等

4、腰直角三角形类型【例3】在平面直角坐标系xOy中，将等腰直角三角形AOB按如图所示的位置放置，然后绕原点O逆时针旋转90°到A'OB'的位置，若点B的坐标为B(4，0)，则点A' 的坐标为（ ） A. （2，2） B. （， ） C. （2，2） D. （， ）【答案】C【解析】如图，过点A作ACOB于C，过点A作ACOB于C，【例4】已知 RtABC 中，ACB=90°，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C 处，CP=CQ=2，将三角板 CPQ 绕点 C 旋转（保持点 P 在 ABC 内部），连接 AP、BP、BQ（1）如图 1

5、 求证：AP=BQ；（2）如图 2 当三角板 CPQ 绕点 C 旋转到点 A、P、Q 在同一直线时，求 AP 的长；（3）设射线 AP 与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，写出旋转过程中 EP、EQ、EC之间的数量关系【答案】（1）证明见解析（2） （3）EP+EQ= EC【解析】解：（1）如图 1 中，ACB=PCQ=90°，ACP=BCQ 且 AC=BC，CP=CQACPBCQ（SAS）PA=BQ如图 2 中，作 CHPQ 于 H解：结论：EP+EQ= EC理由：如图 3 中，作 CMBQ 于 M，CNEP 于 N，设 BC 交 AE 于 OACPBCQ，CAO=OBE，AO

6、C=BOE，OEB=ACO=90°，M=CNE=MEN=90°，MCN=PCQ=90°，PCN=QCM，PC=CQ，CNP=M=90°，CNPCMQ（AAS），CN=CM，QM=PN，CE=CE，RtCEMRtCEN（HL），EN=EM，CEM=CEN=45°EP+EQ=EN+PN+EMMQ=2EN，EC=EN，EP+EQ=EC招数三、正方形类型【例5】如右上图，在正方形ABCD中AB=3，以B为圆心，半径为1画B，点P在B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针方向旋转 90°至AP，连接BP，在点P移动过程中，BP长的取值范围是_【

7、来源】江苏省常州市正衡中学天宁分校2018届九年级第二次模拟考试数学试题【答案】3-1BP3+1解：如图，当P在对角线BD上时，BP最小，连接BP，在RtABD中，AB=AD=3，由勾股定理得：BD=，BP=BD-PD=3-1，BE=3-1+2=3+1,即BP长度的最小值为（3-1）cm,最长距离为：3+1.故答案为：3-1BP3+1【例6】请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPC是等边三角形，而

8、PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到BPC=APB=_；，进而求出等边ABC的边长为_；问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长【来源】【全国百强校】重庆市江津中学校2018届九年级上学期第二次阶段（半期)考试数学试题【答案】（1）150°，；（2）135°，【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.(2)利用（1）中的解题思路，把BPC,旋转，到BPA,连接PP,BP，容易证明APP是直角三角形，BPE=45°，

9、已知边BP=BP=，BE=BP=1，勾股定理可求得正方形边长. 在APP中，AP=1，PP=2，AP=，即AP2+PP2=AP2；APP是直角三角形，即APP=90°，APB=135°，BPC=APB=135°招数四、三角形与圆混合类型【例7】平面上，RtABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且ECD始终等于ACB，旋转角记为（0°180°）（1）当=0°时，连接DE，则CDE= °，CD= ；（2）试判断

10、：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）若m=10，n=8，当=ACB时，求线段BD的长；（4）若m=6，n=4，当半圆O旋转至与ABC的边相切时，直接写出线段BD的长【答案】（1）90°，；（2）无变化；（3）；（4）BD=或【解析】(1)如图1中，当=0时，连接DE，则CDE=90°CDE=B=90°，DEAB，=BC=n，CD=故答案为：90°，n如图2中，当=180°时，BD=BC+CD=n，AE=AC+CE=m，=故答案为：（2）如图3中，ACB=DCE，ACE=BCD，ACEBCD，（4）m=6，n=，CE=3，

11、CD=2，AB=2，如图5中，当=90°时，半圆与AC相切在RtDBC中，BD=2如图6中，当=90°+ACB时，半圆与BC相切，作EMAB于MM=CBM=BCE=90°，四边形BCEM是矩形，AM=5，AE=，由（2）可知=，BD=故答案为：2或招数五、三角形与函数混合类型【例8】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形ABOC抛物线yx2+2x+3经过点A、C、A三点（1）求A、A、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形ABOC重叠部分COD的面积；（3）点M是第一象限内抛

12、物线上的一动点，问点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标【答案】（1）C（1，0），A（3，0），A（0，3）；（2）；（3）SAMA（m）2+，当m时，SAMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）（2）四边形ABOC为平行四边形，ABOC，ABOC，而C（1，0），A（0，3），B（1，3），OB，SAOB×3×1，又平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形ABOC，ACOOCD，OCOC1，又ACOABO，ABOOCD又CODAOB，CODBOA，()2（）2 ，SCOD×；方法、规律归纳:1旋转问题处理方法

13、：灵活利用旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前后的图形全等.找到所要解决问题与旋转包含等量的联系.2构造旋转的解题方法：遇中点，旋180°，构造中心对称；遇90°，旋90°，造垂直；遇60°，旋60°，造等边；遇等腰，旋顶角。综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。实战演练:1. 如图，在RtABC中，ABC=90°，AB=BC=,将ABC绕点C逆时针旋转60°，得到MNC，连结BM，则BM的长是（ ）A4 B C D【答案】B【解析】试题解析：如图，连接A

14、M，2. 如图，正ABC的边长为4，将正ABC绕点B顺时针旋转120°得到C'A'B，若点D为直线A'B上的一动点，则AD+CD的最小值是_ 【答案】83. 如图，在等边ABC中，AB=4，D是BC的中点，将ABD绕点A旋转后得到ACE，连接DE交AC于点F，则AEF的面积为_【答案】【解析】解：在等边ABC中，B=60º，AB=4，D是BC的中点，ADBC，BAD=CAD=30º，AD=ABcos30º=4×=2，根据旋转的性质知，EAC=DAB=30º，AD=AE，DAE=EAC+CAD=60º，

15、ADE的等边三角形，DE=AD=2，AEF=60º,EAC=CADEF=DF=，AFDEAF=EFtan60º=×=3，SAEF=EF×AF=××3=.故答案为：.4 . 如图，已知在ABCD中，AEBC于点E，以点B为中心，取旋转角等于ABC，把BAE顺时针旋转得到BAE，连接DA，若ADC=60°，AD=5，DC=4，则DA的大小为_【答案】【解析】过点A作AFAD于点F，可得四边形AEAF为矩形，5. 在如图的平面直角坐标系中，抛物线yax22amx+am2+1（a0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于

16、点C，顶点是D，且DAB45°（1）填空：点C的纵坐标是 （用含a、m的式子表示）；（2）求a的值；（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C，当m时，求BC的长度范围【答案】（1）am2+1；（2）a1；（3）0BC（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示DADB，DAB45°，ABD为等腰直角三角形，AB2DEyax22amx+am2+1a（xm）2+1，点D的坐标为（m，1）当y0时，ax22amx+am2+10，即a（xm）21，解得：x1m，x2m+，AB22，解得：a1 6. 在ABC中，BAC90°，ABAC，点D为直线BC上一动点（点D

17、不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是： ；BC、CD、CF之间的数量关系为： （将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述、中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明【答案】（1）BCCF；BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BCDABFAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC正

18、方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90°，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，ABD=ACF，BAC=90°，AB=AC，ACB=ABC=45°ABD=180°45°=135°，BCF=ACFACB=135°45°=90°，CFBCCD=DB+BC，DB=CF，CD=CF+BC7.在中， ，将绕点A顺时针旋转到的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作于点F.（1）如图1，若点F与点A重合.求证： ；若，求出；（2）若，如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段AB

19、的数量关系.并说明理由.（2）由旋转得到，再根据，从而求出=60°，最后判定AFDAED即可得证由：由旋转： ， 在中， 在中， ,；在和中， ，8. 在中，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，），射线，分别交直线于点，. （1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）60°；（2）；（3）（2）M为A'B'的中点，A'CM=MA'C，由旋转

20、可得，MA'C=A，A=A'CM，tanPCB=tanA=，PB=BC=，tanQ=tanA=，BQ=BC×=2，PQ=PB+BQ=；（3）S四边形PA'BQ=SPCQ-SA'CB'=SPCQ-，S四边形PA'BQ最小，即SPCQ最小，SPCQ=PQ×BC=PQ，取PQ的中点G，则PCQ=90°，CG=PQ，即PQ=2CG，当CG最小时，PQ最小，CGPQ，即CG与CB重合时，CG最小，CGmin=，PQmin=2，SPCQ的最小值=3，S四边形PA'BQ=3-.9.问题原型：如图，在等腰直角三角形ABC中，

21、ACB=90°，BC=a将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD过点D作BCD的BC边上的高DE， 易证ABCBDE，从而得到BCD的面积为初步探究：如图，在RtABC中，ACB=90°，BC=a将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD用含a的代数式表示BCD的面积，并说明理由简单应用：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD直接写出BCD的面积（用含a的代数式表示） BED=ACB=90°,线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,(2)简单应用:如图,过点A作AFBC与F,过点D作DEBC的延长线于点E,AFB=E=90°,BF= ,FAB+ABF=90&