合肥工业大学自动控制理论课件3-2

1、3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.3.1 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型二阶系统的结构图：二阶系统的结构图：) 1()2()(2TssKsssGnn闭环传递函数为：闭环传递函数为： 2222)(nnnsss二阶系统的二阶系统的主要参数主要参数：)2(2nnssR(s)E(s)C(s)- -开环传递函数为：开环传递函数为： n: :自然振荡频率（无阻尼振荡频率）自然振荡频率（无阻尼振荡频率）: :阻尼比阻尼比闭环特征方程闭环特征方程 0222nnss闭环特征根为闭环特征根为 nns122, 1j01s2s1j01s2s1j01s2s01j01s2s0j01

2、s2s1 j01s2s10 3.3.2 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1.1.欠阻尼情况（欠阻尼情况（01011） 闭环极点为两个负实数极点：闭环极点为两个负实数极点： 122, 1nns设 11112221nnnnTT则 221111TsTs21 222121/()11( )( ) ( )2(1/)(1/)nnnTTC ss R sssssTsTs 21 21 22212121/()( )2()()(1/)(1/)nnns sTTssssssssTsT相当于两个惯性环节串联21112211111/11/11/sTTsTT TsT0)(0tdttdh121211211

3、( )( )1(0)/1/1ttTTh tLC seetTTTT( )h t0t1小大(与一阶系统不同与一阶系统不同)稳态误差为稳态误差为0 0，说明系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。 动态指标动态指标: :21 0.60.2dnt21 1.5rnt12141.253.3sTTtT12114.75sTTtT12141.253sTTtT( (近似为近似为一阶系统一阶系统) )(与欠阻尼拟合方法相同)1过阻尼二阶系统的调节时间特性 125% TT考虑:，作 曲线：112/st TT T由图中曲线看出：由图中曲线看出：4.4.临界阻尼情况（临界阻尼情况（=1=1） 闭环极点为重极

4、点：闭环极点为重极点： 1,2ns 22222( )2()nnnnnssssssRttr1)()( 1)(221( )( ) ( )()nnC ss R sss ( )1(1)ntnh tt e( )h t0t10)(0tdttdh121/nTT即 (0)t 211()nnnsss临界阻尼二阶系统单位阶跃响应具有非周期性，没有振荡和超调。该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应，起始点斜率为零. 动态性能指标为： 稳态误差为0，说明跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。 nst/75. 4例例3-53-5 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的 传递函数。 )(t

5、h0t13 . 11 .0解：解： 根据响应曲线，可知1 . 0%30%pt%30%100%21e0.361 . 0dpt2131.4dn22221132( )224.21132nnnsssss233.651dn31.4d代入传递函数代入传递函数例例3-4 3-4 系统如图所示。要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于1秒，求开环增益K。 ) 11 . 0(ssKR(s)E(s)C(s)- -解：解： 系统的开环传递函数为： 2/2( )1(2)(0.11)(1)2nnnnKG ss sssss10.12nT52.5nK2nK4.75/0.951snt验证： 根据题意，要使调节时间最小应选择=1

6、，有3.3.3 3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 由于单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的导数，对不同阻尼比下的单位阶跃响应表达式求导，可以得到二阶系统的单位脉冲响应。1022( )sin( 1)(0)1ntnk tett12( )(0)ntnk ttet122(1)(1)22( )2121tnntnnk teelim ( )( )0sster tc t(0)t 稳态误差为： ( )k t0nt0.20.40.60.81.00.20.40.60.81.002468100.10.250.51.03.3.4 3.3.4 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应 21( )

7、( )r ttR ss1 22121( )()()s sC ssssss10nnjs22, 11221( )sin(2 )(0)1ntdnnc ttett 瞬态分量瞬态分量稳态分量稳态分量12211 211222112212()()1()sssss ss sss ssssssssss输入信号输入信号)()()()(2112212112212121ssessssessssssssttctsts)2sin(112)()()(2tetctrtedtnnnntsstee2)(lim( )c t0nt10.50.2( )r tt( )e t0nt10.50.2稳态误差为： 121,21nns tntnn

8、nneettc)1(222)1(2222212)1(12)1(2)( )( )( )e tr tc tnsse2222222(1)(1)22(1)(1)22121nnttnnnee(0)t 稳态误差为： 1222( )()nnC sss221( )(1)(0)2ntnnnc ttt et )211 (1 2)()()(tnnnettctrte22ssnne1,2ns 222/2/11()nnnnssss稳态误差为： 二阶系统时域分析小结二阶系统时域分析小结典型二阶系统传递函数典型二阶系统传递函数222( )2nnnsss阻尼比阶跃响应曲线特性瞬态指标稳态误差欠阻尼欠阻尼按正弦规律衰减振荡00过

9、阻尼过阻尼按指数规律单调上升00临界阻尼临界阻尼按指数规律单调上升00无阻尼无阻尼等幅振荡( )1( )r tt( )1( )r ttt ( )( )r tt0111st%03.5/snt4.75/snt(5%) 11.253.3stT11.253stT21e2n2n2n100%,ssste 问题：问题： 仅靠调整参数不能同时改善瞬态仅靠调整参数不能同时改善瞬态 和稳态性能。和稳态性能。2.3.5 2.3.5 改善二阶系统瞬态性能的措施改善二阶系统瞬态性能的措施)2(2nnssR(s)E(s)C(s)-欠阻尼系统在单位阶跃信号作用下，系统将产生超调。思路：( )c t0t11t3t4t( )e

10、 t2t( )c t0t11t3t4t( )e t2t00，t1t1时间内：时间内：e(t)为正，输出c(t)增加，一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调， e(t)不能过大。给给e(te(t) )加入一个附加加入一个附加的负信号，有利于减的负信号，有利于减小超调；小超调；在在t1t1，t2t2时间内时间内：系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势。给给e(te(t) )加入一个附加入一个附加的负信号，有利加的负信号，有利于减小超调；于减小超调；在在t2t2，t3t3时间内时间内：c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，

11、同时有可能使c(t)出现反向超调。给给e(te(t) )加入一个附加加入一个附加的正信号，有利于减的正信号，有利于减小反向超调小反向超调。在在t3t3，t4t4时间内时间内：c(t)出现反向超调，e(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调。在此时间段内，给在此时间段内，给e(te(t) )加入一个附加的正信号，加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。有利于减小反向超调。p 在0，t1时间内，e(t)为正，系统输出c(t)增加，这种增加一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调， e(t)不能过大，在在00，t t1 1 时间内，给时间内，给e(t)e(t)加入一个附加的

12、负信号，有利于减小超调；加入一个附加的负信号，有利于减小超调；p 在t1，t2时间内，系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势，若在若在tt1 1，t t2 2 时间内，给时间内，给e(t)e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；加入一个附加的负信号，有利于减小超调；p 在t2，t3时间内，c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，同时有可能使c(t)出现反向超调，在此时间段内，给在此时间段内，给e(te(t) )加入一加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调个附加的正信号，有利于减小反向超调；p 在t3，t4时间内，c(t)出现反向超调，e

13、(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调，在此时间段内，给在此时间段内，给e(te(t) )加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。分析系统出现超调的原因：通过以上分析，要减小超调量，可以给e(t)加入一个附加信号附加信号，其极性要求为： 00，t t1 1 ： “ “ - ”- ” t t1 1，t t2 2 ： “ “ - ”- ” t t2 2，t t3 3 ： “ “ + ”+ ” t t3 3，t t4 4 ： “ “ + ”+ ”经分析，e(t)e(t)的导数的导数 和 -c(t)-c(t)的导数的导数的极性符合要求。因此，减小系统的超调

14、量，改善平稳性的措施可以有以下两种： 输出信号的测速负反馈控制( )( )de tT e t( )( )te tK c t误差信号的比例-微分控制取控制信号为1 1、比例、比例- -微分控制微分控制 系统的开环传递函数为： )2() 1()(2ndnsssTsG闭环传递函数为： 222)21(2) 1()(nnnddnsTssTs阻尼比为： nddT21可见，采用比例-微分控制，增加了系统的等效阻尼比，不改变系统的自然振荡频率和开环增益，但增加了一个闭环零点。 )2(2nnssR(s)E(s)C(s)-1dT s)2(2nnssR(s)E(s)C(s)sTd注意：注意：采用比例-微分控制后，系

15、统为有零点的二阶系统，性能指标计算公式为： 式中： 1 1）峰值时间）峰值时间 2 2）超调量）超调量 %1001%212dpdtder3 3）调节时间）调节时间 nddnndszzt)1ln(21ln)2ln(21322221dndjpt 1dzT221/()( 1/)nddnddarctgzarctgj 2( 1/)dddarctg2222/(1)dnndrzz 2 2、测速反馈控制、测速反馈控制 开环传递函数为： 222(2)2( )111(2)2nnntnntnntns sKG sK ssss sK闭环传递函数为： 222)21(2)(nnntnsKss阻尼比为： nttK21可见，测速反馈