同济大学高等数学课件 隐函数求导

1、 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数(略略)隐函数的求导方法 方程方程 确定了一个函数确定了一个函数方程方程 也确定了一个函数也确定了一个函数2220 xyR22yRxln20 xyxyye( )yf x隐函数如何确立？隐函数如何确立？一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理定理1.1.设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程则方程00),(xyxF在点单值连续函数单值连续函数 y = f (x) , )(00 x

2、fy 并有连续并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件满足条件导数导数0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3

3、222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的则还可求隐函数的 解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxx

4、y ,13y . 1022 xdxyd解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 练习练习:验证方程验证方程01esinyxyx在点在点(0,0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数, )(xfy d0dyxx解解: 令令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx连续连续 ;由由 定理定理1 可知可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 导的隐函数导的隐函数 则则xyFy cos在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值

5、可且且并求并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0 xy)(, 01esinxyyyxyxyycos两边对两边对 x 求导求导1xey0 yx)0 , 0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导定理定理2 . 若函数若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程则方程0),(zyxF在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略,

6、仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得( , )( , , )0,zf x yF x y z设是方程所确定的隐函数则则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在例例3. 设设,04222zzyx.22xz求解法解法1 利用公式利用公式设设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2(

7、)2(zxz2zxzx242 zFz解法解法2 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz再对再对 x 求导求导zxFFxz xz例例4. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解：解： 利用偏导数公式利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则则)()(222

8、1zyzxFF 已知方程已知方程故故内容小结内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 代公式代公式 .思考与练习思考与练习设设, ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxzzx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf作业作业 P89 4； 5； 7.雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.