第12章压杆的稳定性

1、第12章 压杆的稳定性12.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念12.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力12.3 其他约束情况下细长压杆的临界压力其他约束情况下细长压杆的临界压力12.4 临界应力总图临界应力总图12.5 压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算12.6 折减系数法折减系数法 12.7 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施12.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆能否保持原有的直线平衡状态的问题压杆能否保持原有的直线平衡状态的问题称为称为压杆的稳定性压杆的稳定性问题。问题。干力扰(c)ljpp 压杆丧失其原有的直线平衡状态而过渡为微弯平衡状态的现象，称为失

2、稳失稳。 压力P的极限值 称为临界压力临界压力或临界力临界力。ljP(b)干力扰干力扰干力扰干力扰(a)12.2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力ylppxxv如图所示压杆，取直角坐标系如图如图所示压杆，取直角坐标系如图距离原点为距离原点为x x的任意横截面的挠度为的任意横截面的挠度为v v，弯矩为弯矩为MPv （a）压力P取绝对值。杆的挠曲线近似微分方程为 （b）令 ，则式（b）可以写成为22d vPvdxEI 2PkEI2220d vk vdx（c）此微分方程的通解是sincosvakxbkx （d）边界条件 a.代入（d）式有b=0 ， （e） b. v(l) = 0代

3、入（e）式可得sincosvakxbkxsinvakxv( 0 ) = 0sin0akl （f） 由（e）式若 则知 ，即压杆轴线上各点的挠度均等于零。这与压杆在微弯状态下保持平衡相矛盾，只能要求 。满足这一条件的值应该为 ，其中 由此得 或 （g）0a 0v sin0kl kln0,1,2,nPnkEIl222nEIPlsin0akl 当 时 ，无意义，故取 时才使 为最小值。于是求得细长压杆的临界力为: （12-1）这就是两端铰支细长压杆的临界压力的计算公式，称为欧拉公式欧拉公式。0n 1n 0P 22ljEIPlP力学家和材料力学史力学家和材料力学史Leonhard Euler （170

4、7-1783） Euler，瑞士人，数学家、力学家。在数学（数学分析、变分法、拓扑学）和力学（固体力学、刚体动力学、流体力学）的许多领域都有着开创性的贡献。力学家和材料力学史力学家和材料力学史Leonhard Euler （1707-1783） Euler 在在 1744 年出版年出版的专著中，对柱的屈曲的专著中，对柱的屈曲问题进行了系统的研究。问题进行了系统的研究。 他以惊人的毅力和他以惊人的毅力和顽强的精神，克服重重顽强的精神，克服重重困难，坚持科学研究。困难，坚持科学研究。力学家和材料力学史力学家和材料力学史 他是迄今为止世界他是迄今为止世界上最为多产的科学家。上最为多产的科学家。他一生

5、的著述多达八百他一生的著述多达八百余件。在他去世后，俄余件。在他去世后，俄国科学院花了四十七年国科学院花了四十七年的时间，陆续出版了他的时间，陆续出版了他遗留下来的大量文稿。遗留下来的大量文稿。Leonhard Euler （1707-1783） 临界压力临界压力 与压杆的抗弯刚度与压杆的抗弯刚度 成正比，成正比，而与杆长而与杆长 的平方成反比。这就是说，杆愈细的平方成反比。这就是说，杆愈细长，其临界压力愈小，杆件就愈容易失稳。长，其临界压力愈小，杆件就愈容易失稳。在此临界压力的作用下，在此临界压力的作用下， ，将其代，将其代入（入（e e）式可得）式可得 （h） ljPEIlklsinaxl

6、上式说明，两端铰支细长压杆的挠曲线是一条半波的正弦曲线。若令 ，将其代入(h)式可得可见 是压杆中截面的挠度。2lx 12sin2xlaala12.3 12.3 其他约束情况下细长压杆的临界压力其他约束情况下细长压杆的临界压力对于其他约束情况下的细长压杆对于其他约束情况下的细长压杆 （12-212-2） 为不同约束条件下压杆的为不同约束条件下压杆的长度系数长度系数， 为为相当长度相当长度。22()ljEIPll一端自由，一端固定一端自由，一端固定 2.0一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 0.7两端固定两端固定 0.5两端铰支两端铰支 1.0例例一端固定，一端自由的圆截面铸铁立柱l=3m，d

7、=0.2m，E=120GPa。试由式（12-2）计算立柱的临界压力解解 立柱的长度系数 ，而截面惯性矩故临界压力为244540.27.85 106464dIm29523.141.20 107.85 102580(2 3)kN22()ljEIPl12.4 临界应力总图一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度临界应力临界应力，用 表示。 (a) 引入截面的惯性半径 可以得到 (b)22()ljljPEIAlA22()ljEli/iI Alj引用记号 （12-3）临界应力的公式（b）可以写为 （12-4）式中的是一个无量纲的量，称为压杆的柔柔度度或长细比长细比。li22ljE二、欧拉公式的适用范围二、欧

8、拉公式的适用范围欧拉公式的适用条件为 （c）引用记号 （12-5）欧拉公式的适用条件（c）可以写成为 （12-6）这一类压杆称为大柔度压杆大柔度压杆或细长压杆细长压杆22ljpEppEp三、超过比例极限的临界压力三、超过比例极限的临界压力工程中的压杆的临界应力超过了比例极限，不能用欧拉公式来计算，一般采用以实验结果为依据的经验公式来确定其临界应力， (12-7）式中的a和b是与材料力学性能有关的常数 ljab塑性材料制成的压杆 或 （d）引用记号 （12-8a）对于脆性材料制成的压杆 （12-8b）于是（12-7）式的适用条件为 （或 )。这类杆件称为中柔度压杆中柔度压杆或中长压杆中长压杆。l

9、jsabsabssabbbabspbp四、临界应力总图四、临界应力总图 将三种柔度范围 内压杆的临界应力与柔度的关系在直角坐标系中绘出，所得到的图线称为压杆的临界应力总图临界应力总图，图为塑性材料的临界应力总图。ljABCDOpssplj2Elj2lja b ljs五、抛物线公式及其临界应力总图五、抛物线公式及其临界应力总图 临界应力超过比例极限时的抛物线公式是把反映临界应力 与柔度表示成如下的抛物线关系 我国自己通过实验建立的抛物线公式为 （12-9）对常用的结构用钢A2、A3、16锰钢 （12-10）为材料的屈服极限。lj211ljab21() ljscc0.430.57csEs例例 两端

10、固定的受压的杆件，横截面形状分别采用矩形和圆形，截面面32102mm2。分别计算两种情况下的临界载荷。p3m解解 （1）矩形截面 由 ， 得 截面的最小惯性半径:22232 10Abbmm40bmmminIiA321211.55212b bbmmb bb2b压杆柔度 压杆为细长杆30.5 3 10129.911.55pli 22ljljEPAA29262210 1032 1010129.93393 10 Np3mb2b（2）圆形截面由 得 截面惯性半径22232 104dAmm63.8dmmIiA42644dd15.954dmmp3mb2b压杆柔度压杆为中长杆liljljPA30.5 3 10

11、9415.95p 6263(304 1.12 94) 1032 1010636 10 N()abAp3mb2b压杆的稳定条件为 （12-11a）或使用安全系数表示 （12-11b）式中，n为压杆的工作安全系数 nw为规定的稳定安全系数。ljwPPnljwPnnP12-5 压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算 几种钢制杆nw的参考值。金属结构中的压杆 nw=1.83.0机床的丝杆 nw=2.54.0低速发动机的挺杆 nw=46磨床油缸的活塞杆 nw=46起重螺旋杆 nw=3.55压杆的稳定计算包括压杆的稳定校核、截面设计、确定许用载荷三个方面。一般设计中往往先按强度估算，初步确定压杆截面尺寸，再校核

12、其稳定性。 压杆稳定性计算的一般过程为：根据压杆实际尺寸和杆端的约束情况，计算各弯曲平面内柔度 。然后根据最大柔度确定临界压力的计算公式，最后进行稳定计算。例例 蒸汽机的活塞杆受到蒸汽压力P=120KN，杆长度180cm，E=210Gpa， nw8，设计活塞杆的直径d。240pMPalABppp解:设压杆为细长杆解得：P=120KN nw8L=180cm E=210Gpa240pMPa22()ljEIPl924210 10264(1 1.80)d3960 10ljWPPn3120 1083960 10960NNd 32439960 101.8640.07474210 10mmmlABppp柔度

13、为：再由公式（12-5）因 ，说明上面应用欧拉公式进行的试 算是正确的。P=120KN nw8L=180cm E=210Gpa240pMPali2ppEp/4ld1 180097.374/4296210 10240 1092.9lABppp12.6 折减系数法折减系数法用压杆的横截面积A去除式（12-13a）的两端，得 或 （a） 记 （b）于是稳定性条件以应力的形式表示为 （c） ljWPPAAnljWnljWWnW在结构设计中规定将 表示为（d）通过引用折减系数 ，应力形式的稳定条件则可表示为 （12-12） PA ( )W W选定截面形式和支承形式选定截面形式和支承形式预选预选 0 =

14、0.5计算截面面积计算截面面积 ) (00FA 由面积由面积 A0 确定相应尺寸，并计算惯性矩确定相应尺寸，并计算惯性矩计算柔度计算柔度 根据柔度根据柔度 查表得值查表得值 1 1 0 小于规定值吗小于规定值吗？( 1+ 0 )/2 0后续计算后续计算结束结束折减系数法设计折减系数法设计压杆尺寸的流程压杆尺寸的流程解解:由于截面未确定，在稳定条件A和 均为未知量，故只能用试算法来确定压杆的截面。 一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，=160MPa试用折减系数法选择工字钢的型号。 PA 假设截面: 查型钢表，选截面与其接近的22b工字钢，其截面积和惯性

15、半径为例例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，=160MPa，试用折减系数法选择工字钢的型号。10.51 PA 246.4Acmmin2.27icm36350 100.5 160 10243.8cm按所选型号进行稳定核算查表12-3，并插值得压杆的稳定许用应力 为例例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，=160MPa，试用折减系数法选择工字钢的型号。2 150132.22.27li10.39WW21 0.39 16062.4/MN m 工作应力是工作应力比稳定许用应力大许多，应进行第二次选择。第二次可取

16、例例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，=160MPa，试用折减系数法选择工字钢的型号。3350 10275.4/446.4 101PMN mA11()(0.5 0.39) 0.4422211再由稳定条件得截面查表选用25b号工字钢，进行稳定核算：3350 10249.76 20.44 160 10PAcm 例例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，=160MPa，试用折减系数法选择工字钢的型号。253.5Acmmin2.404icm2 150124.82.404li由此柔度查表12-3，并插值得稳定许用应力为工作应力此选用则安全。20.4353350 10265.4/453.5 102PMN mA例例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350k