第二学期静电场高斯定理

1、15-3,4 高斯定理一、电场线一、电场线(electric line of field)E 在电场中画一组曲线，在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一该点的电场方向一致，这一组曲线称为组曲线称为电场线电场线。 通过无限小面元通过无限小面元dS的的电电场线数目场线数目dN与与dS 的比值称的比值称为电力线密度。我们规定为电力线密度。我们规定电电场中某点的场强的大小等于场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。该点的电力线密度。dSEdNEdS 注意：dS 是垂直E 的2总结：总结：E方向方向大小：大小：切线方向切线方向dNEdS=电场线密度

2、电场线密度EcEbcaEbEa电场线性质：电场线性质： （1）起于正电荷）起于正电荷(或无限远或无限远)，止于负电荷，止于负电荷(或无限远或无限远)； （2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断；）不闭合，也不在没有电荷的地方中断； （3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。 3+4+5+6qq27+ + + + + + + + + + + + 8二、电场强度通量二、电场强度通量(electric flucx) 通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一面通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一面积元的积元的电场强度通量。（简称电通量）。（简称电通量） ES 均

3、匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面EES ecoseES 均匀电场均匀电场 ， 与平面夹角与平面夹角EneSEeES9EE 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 sSEdcosdeesSEdee e2 2d d2,02 e e1 1d d1,02 SEddenddeSS 为封闭曲面为封闭曲面SSdEne1dS2dS22E11E10SSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEdde 例例1 如图所示如图所示 ，有一，有一个三棱柱体放置在电场强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀强电场中场中 . 求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量

4、.1CN200iExyzEoESdES规定：法线的正方向为指向闭合法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。曲面的外侧。11 例例1 如图所示如图所示 ，有一，有一个三棱柱体放置在电场强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀强电场中场中 . 求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量 .1CN200iExyzEo规定：法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。12xyzEoPQRNM解解下右左后前eeeeee 下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd enenene左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前13kSjSiSS

5、kEjEiEEzyxzyx 2 ( 240) ( 1.1)( 160) 4.2390 2.4 528 Nm /exxyyzzESESESESC 解：解：例例2：在均匀电场中，：在均匀电场中，( 240)( 160)390Eijk 通过平面通过平面( 1.1)4.22.4Sijk 的电通量是多少？的电通量是多少？141516三、三、 高斯定理高斯定理（Gauss theorem）17 在真空中在真空中, ,通过任一通过任一闭合闭合曲面的电场强度通量曲面的电场强度通量, ,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 . .0（与（与面外面外电荷无关，闭合曲面称为高

6、斯面）电荷无关，闭合曲面称为高斯面）高斯定理高斯定理101niiSESq 內內e eS Sd d请思考：请思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？e18高斯高斯(Gauss,1777-1855), 是德国数学家是德国数学家 ，也是天，也是天文学家和物理学家文学家和物理学家 ，他，他和牛顿、阿基米德，被誉和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、可以和阿基米

7、德、牛顿、欧拉并列，有欧拉并列，有“数学王子数学王子”之称。之称。 1920+Sd（1）点电荷位于球面中心）点电荷位于球面中心204 qErr SSSrqSEd 4d20e0eq r高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理与球面半径无关，即以点电荷与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。21讨论：讨论：c、若封闭面不是球面，、若封闭面不是球面，积分值不变。积分值不变。.00eaq 电量为电量为q的正电荷有的正电荷有q/ 0条电条电力线由

8、它发出伸向无穷远力线由它发出伸向无穷远电量为电量为q的负电荷有的负电荷有q/ 0条电力线终止于它条电力线终止于它00eq + qb、若、若q不位于球面中心，不位于球面中心，积分值不变。积分值不变。0sqEdS 22(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。 +q因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来。从面内出来。0e 0 sSdE23(3) 场源电荷为点电荷系场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体或电荷连续分布的带电体)， 高斯面为任意包围点电荷系的闭合曲面高斯面为任意包围点电荷系的闭合曲面nEE

9、EE 21 nieienee121 SeSdE snsSSdESdESdE2101ieSSE dSq iq2q1q24（4） 多个点电荷多个点电荷q1,q2,qn，其中，其中k个被任意闭个被任意闭合曲面合曲面S所包围，另外所包围，另外n k个处于个处于S面之外：面之外： 根据上一条的证明，闭合曲面根据上一条的证明，闭合曲面S外的外的n k个电荷个电荷对对S面的电通量无贡献，面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其面的电通量只决定于其内部的内部的k个电荷，并应表示为个电荷，并应表示为kiiqSE10s1d （6） 任意闭合曲面任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体包围了一个任意的带电体 这时可以把

10、带电体划分成很多很小的体元这时可以把带电体划分成很多很小的体元d ，体元所带的电荷体元所带的电荷dq = d 可看作点电荷，与上面可看作点电荷，与上面 第第3条的结果一致，这时条的结果一致，这时S的电通量可表示为的电通量可表示为d1d0sSE25e10S1dniSiESq 內內高斯定理高斯定理1 1）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度. .4 4）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电的电荷对高斯面的电通量通量有贡献有贡献. .电通量电通量与面外电荷无关与面外电荷无关2 2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面. .5 5）高斯定理反映了静电场

11、的基本性质高斯定理反映了静电场的基本性质- -静电场是静电场是有源场有源场. .3 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正. .总总 结结 = = 0，不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。 = = 0，不一定高斯面上各点的场强为，不一定高斯面上各点的场强为 0。26表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,所以所以正电荷是静电场的源头正电荷是静电场的源头。静电场是静电场是有源场有源场表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以所以负电

12、荷是静电场的尾。负电荷是静电场的尾。00ieq 00 eiq 27已知某高斯面上的电通量为零，则以下描述正确的是：（已知某高斯面上的电通量为零，则以下描述正确的是：（ ）A此高斯面上各点的场强一定为零；B此高斯面内一定不存在电荷；C此高斯面内不存在电荷或高斯面内所有电荷代数和为零；D以上说法都不对。一高斯面上场强处处为零，下列说法中错误的是：（一高斯面上场强处处为零，下列说法中错误的是：（ ）A. 此高斯面内不可能存在电荷；此高斯面内不可能存在电荷；B. 此高斯面上电通量为零；此高斯面上电通量为零；C. 此高斯面外可能存在电荷；此高斯面外可能存在电荷；D. 此高斯面内可能存在电荷。此高斯面内可

13、能存在电荷。点电荷点电荷q q在球形高斯面的中心，当球形高斯面的半径缩小为原来的在球形高斯面的中心，当球形高斯面的半径缩小为原来的一半时，与原球形高斯面相比，它的：（一半时，与原球形高斯面相比，它的：（ ）A高斯面上各点的电场强度不变，穿过高斯面的电通量不变；高斯面上各点的电场强度不变，穿过高斯面的电通量不变；B高斯面上各点的电场强度不变，穿过高斯面的电通量改变；高斯面上各点的电场强度不变，穿过高斯面的电通量改变；C高斯面上各点的电场强度改变，穿过高斯面的电通量改变；高斯面上各点的电场强度改变，穿过高斯面的电通量改变；D高斯面上各点的电场强度改变，穿过高斯面的电通量不变。高斯面上各点的电场强度

14、改变，穿过高斯面的电通量不变。28点电荷点电荷 Q 被曲面被曲面 S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷所包围，从无穷远处引入另一点电荷q至曲面外一点，如图所示，则引入前后：（至曲面外一点，如图所示，则引入前后：（ ）A A曲面曲面S S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变；的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变；B B曲面曲面S S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变；的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变；C C曲面曲面S S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化；的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化；D D曲面曲面S S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化；的电场强度通量不

15、变，曲面上各点场强变化；QqS根据高斯定理的数学表达式 ,d0 /iSinside SESq A A闭合曲面内的电荷代数和为零时，闭合曲面上各点的场强一定为零；闭合曲面内的电荷代数和为零时，闭合曲面上各点的场强一定为零；B B闭合曲面内的电荷代数和不为零时，闭合曲面上各点的场强一定处处闭合曲面内的电荷代数和不为零时，闭合曲面上各点的场强一定处处不为零；不为零；C C闭合曲面内的电荷代数和为零时，闭合曲面上各点的场强不一定处处闭合曲面内的电荷代数和为零时，闭合曲面上各点的场强不一定处处为零；为零；D D闭合曲面上各点的场强为零时，闭合曲面内一定处处无电荷。闭合曲面上各点的场强为零时，闭合曲面内一

16、定处处无电荷。下列说法中正确的是：（ ）29如图所示，在如图所示，在C点放置点电荷点放置点电荷q1，在在A点放置点电荷点放置点电荷q2，S为包围为包围q1的封闭曲面，的封闭曲面，P点是曲面上任意一点。现在点是曲面上任意一点。现在把把q2从从A点移到点移到B点，则（点，则（ ）。）。oCPAB A. . 通过通过S面的电通量改变，但面的电通量改变，但P点的电场强度不变；点的电场强度不变； B. . 通过通过S面的电通量和面的电通量和P点的电场强度都改变；点的电场强度都改变； C. . 通过通过S面的电通量和面的电通量和P点的电场强度都不变；点的电场强度都不变； D. . 通过通过S面的电通量不变

17、，但面的电通量不变，但P点的电场强度改变。点的电场强度改变。一不带电导体球壳半径为一不带电导体球壳半径为R，在球心处放一点电荷、测得球壳，在球心处放一点电荷、测得球壳内外的电场，然后将此点电荷移到距球心内外的电场，然后将此点电荷移到距球心R/2/2处，重新测量电场。处，重新测量电场。A. A. 壳内外电场均不变化壳内外电场均不变化B. B. 壳内电场变化、壳外电场不变壳内电场变化、壳外电场不变 C. C. 壳内电场不变化，壳外电场变壳内电场不变化，壳外电场变 D. D. 壳内外电场均变化壳内外电场均变化30四四 高斯定理的应用高斯定理的应用 其步骤为：其步骤为：1 1）对称性分析；）对称性分析

18、；2 2）根据对称性选择）根据对称性选择合适的高斯面；合适的高斯面；3 3）应用高斯定理计算）应用高斯定理计算. .（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）3. .高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致；致；或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。高斯面法线方向一致。2. .高斯面应

19、选取规则形状。高斯面应选取规则形状。1. .高斯面要经过所研究的场点。高斯面要经过所研究的场点。cosSEdS 0q = =目的是将目的是将E E从积分号中提出来。从积分号中提出来。311. 均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场4. 均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场均匀带电圆柱面的电场5. 均匀带电球体空腔部分的电场均匀带电球体空腔部分的电场电荷分布电荷分布具有较高的具有较高的空间对称性的空间对称性的带电体带电体32例例1：求半径为：求半径为R的的均匀带电球体均匀带电球体在球内外各点的场在球内外各点的场强分布

20、。设球体电荷密度为强分布。设球体电荷密度为 ，总电量为，总电量为Q 。30034rQErr rR Rr SrSE341d30Rr 3220034RQErrrr 解解：因为电荷分布具有球对称性。：因为电荷分布具有球对称性。固选取同心的球面为高斯面。固选取同心的球面为高斯面。 QERr3032e4RQrrE33+OR例例2 2 均匀带电球壳均匀带电球壳的电场强度的电场强度0d1SSE0Ed d20SQES r1S204QErr 204Qr E r2s 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的薄的薄球壳球壳 . 求球壳内外任意点的电场强求球壳内外任意点的电场强 度度.RQ204QR rRoE解（解

21、（1）Rr 0Rr（2）34+oxyz例例3 3 无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度下底）上底）柱面）(dd dsssSESESE选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度. .r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解hSSEd柱面）(dsSEneneneE+r350h 02Er 02hrhE d dd d(SsESE S 柱柱面面）+oxyzhneE+r36+ + + + + + + + + + + + + + +

22、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 例例4 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度. .r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02E 对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +