高三一轮复习2021版第五章第1讲平面向量的概念及线性运算

1、加法求两个向量和的运 算a三角形法则平行四边形法则交换律：a+b=b+a, 结合律：(+b)+c=y+ O+c)减法求与的相反向 的和的运算a ' 三角形法則a-b=a+(-b)数乘求实数2与向量 的积的运算UaI=UlIaL当2>0时,加与的 方向相同:当久<0时，加与的 方向相反:当2=0时，Zfl=O(a)=()a (2+“M=加+“_«,： (a+b)=x+J>3 两个向量共线定理向咼b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数几使得b=.说明三点共线的等价关系P, B 三点共线AP = ；AB(A0)<=>OP = (1 -t) OA

2、 + tOB(O 为平面内异于 A, P, B的任一点，tR)¢=OP = XdA + y0B(0为平面内异于A, P、B的任一点，xR, yR, X十)=1)基础自测TO判断正误(正确的打"J ”，错误的打“ × ”)(1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量.()(2) AB+BC+CD=AD.()(3) 若两个向量共线.则其方向必泄相同或相反.()(4) 若向量A与向量b是共线向量，则儿B, G D四点在一条直线上.()(5) 若 ab, bCt 则 ac.()(6) 当两个非零向疑, 共线时，一泄有b=a,反之成立.()答案：(I)X (2

3、)(3)X (4)×(5)×(6) 因如图所示，D是ZiABC的边AB的中点，则向CD=()A. -荒+莎 1 B. BC+尹C. BC_BAD BCBA解析：选A.因为（¾二h十丽，CB= -BC,Bb = BA,所以二-荒十占菇. （2019瑞安棋拟）在四边形ABCD中，AC=AB+AD.则四边形ABCD是（）A.矩形C.正方形B.菱形D. 平行四边形解析：选D依题意彳昌鯨十荒二A + AL,贝Uid二葩，Sl½ BC/AD.且BC二AD,所 以四边形ABCD是平行四边形，故选D.Q给出下列命题： 零向量的长度为零，方向是任意的： 若Q, 都是单位向

4、量，则（i=b： 向ABBA相等.则所有正确命题的序号是.解析：根据零向星的走义可知正确；根据单位向星的定义可知，单位向臺的模相等, 但方向不一走相同，故两个单位向呈不一走相等，故错误；向星正与鬲互为相反向星， 故歸.答案：已知平而内四点A, B, G D,若忑b=20, Cbc+CB,则久的值为.1 2解析：依题意知点A, B, D三点共线于是有亍十久二1, = y咎案-口宋3分类讲解化解騷进.考点平而向量的有关概念MU给出下列命题： 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若IotI=Iftb 贝IJ a=b 或a=-bt 若儿B, G D是不共线的四点，JiUB=DC.则ABCD为

5、平行四边形:®a=b的充要条件是Sl=01且"Zh其中真命题的序号是.【解析】 是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向呈相等；但两个向呈 相等，不一走有相同的起点和终点 是错误的，Ial二I乩但, b方向不确走.所以G 不一走相等或相反. 是正确的，因为而二疋，所以IABl = IDclaW说；又A, B, C, D是不共线的四 点，所以四边形ABCD为平行四边形. 是错误的，当Q且方向相反时，即使01二Ibl,也不能得到zb,所以“IflI二01且 ab't不是“zb"的充要条件，而是必要不充分条件【答案】平面向呈有关概念的四个关注点相等向呈具有

6、传递性，非零向呈的平行也具有传递性.共线向星即为平行向豊它们均与起点无关（3）向呈可以平移，平移后的向呈与原向星是相等向呈，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆非零向呈«与缶的关系：缶是与同方向的单位向呈跟踪训练给岀下列命题： 两个具有公共终点的向量一泄是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； 若加=0（为实数），则入必为零； 已知入，U为实数，若M=b,则“与共线.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选A.错误.两向量共线要看其方向而不是看起点与终点正确因为向呈 既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.

7、错 误.当二O时，无论入为何值，加二0.憩.当入二P二0时，M二b,此时，与可以 是任意向星.考点曙平而向量的线性运算(高频考点)平而向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是髙考考查向量的热点.常以选择 题、填空题的形式出现.主要命题角度有：(1) 用已知向量表示未知向虽：；(2) 求参数的值.C角度一用已知向量表示未知向呈例2如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么丽等于()【解析】 在ACEF中，有丽二盘十汗.因为点E为DC的中点，所以荒二因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所 IUCF = ICB.所以EF = DC 十 CB 二 *4B

8、 十Z)A=AB - AD,故选 D.【答案】D13角度二求参数的值例 3 如图，在ZvlBC 中，AB=2, BC= 3, ZABC=60o , AH丄BC 于点 H, M 为 AH的中点.若/而=屁+ 荒，贝IJ z+a=.【解析】 因为AB = 2, ZBC= 60% AH丄BU 所以BH=L 因为点M为AH的中点，所以而二*葫二瓠十丽）=+二靭 B + BC,= AB+BC,所以2二*, “二右，2所以 + = y【答案】I向量线性运算的解题策略（1）向呈的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向星求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向呈的和用三角形法则

9、找出图形中的相等向呈、共线向量.将所求向呈与已知向呈转化到同一个平行四边 形或三角形中求解1. （2019 兴质检）已知平行四边形ABCD,点, M?, MA，和N, NA M，,MI-I 分别将线段 BC 和 DC进行 等分(nN n2),如图，+AM2+W-1+/VVl+AN2÷ +ANn-1 =45AC,则 n=()B. 30D32A. 29C. 31解析：选 C.由题图矢口，因为AMl 二 AB 十 *BC, AMi = AB + BC , AMIi -BC.A?Vl=Ab+ , AN2 = Ab + DC, , AMI-I=D +-DC.AB = DC, AD = BC.所

10、以AMi 十 AM2 + +AMft -1 + AN +ANi 十+ AMl -1 = H - 1 一 3 ( n 1 )(AD + AB)二5C,3 (,Z-I)所以一2一二45,解得二31 故选C.2已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足甬+丽+帀=(),AP=PD.则实数久的值为.解析：因为D为边BC的中点，所以 PB±PC=2PD,又顾十寿十占二0,所 UIM = + PC=2PZ),所以乔二2丽，与丽二応比较，得2二-2.答案：一2(UWl平而向量共线泄理的应用例4设两个非零向量与不共线.若乙=a+b, BC=2a+Sb. CD=3(a-b)9 求证：A, B, D

11、三点共线;(2)试确左实数使ka+b和+肋共线.【解】(1)证明：因JAB = a + b. BC=2 + 8>, CD = 3a-b)f所以丽二荒十二2 + 8 + 3(-b)二5S十D)二5觞，所以鯨，丽共线, 又它们有公共点B,所以人B, D三点共线.因为ka + ba± kb共线,所以存在实数2,使ka+b=(a±kb).艮卩(£ - )a = (Z - 1).又心b是两个不共线的非零向呈,所以k m 二O所以k试用, b表示钱：,AD. BE； 证明：B, E, F三点共线. 解：(1)ABC 中，AB = a, AC = b. 所以BC = AC

12、 - AB 二 b - a、 AD = AB + BD = AB + BC = a+- «) = + , BE = BA +AE二-AB+ AC= - a+b - = O所以k = ±.共线向呈定理的应用j：证明向童共线：对于向量么若存在实数入Jz = b(bO) 与共践沁明三点共线：若存ft ,使=Ct :<i:亲 ½ *< i i 11条件列方程(组)求參撤的值1提醉证明三点共线时，需说明共坝的两向量有公共点.Sta1. 设01，是两个不共线的向：,则向 = 2e-¢2与向=+2(A7?)共线的充D. 2=-A. A=O要条件是()解析：

13、选 D因为 a = 2e - e2> b = e +z2> ep S不共线,因为a，D共线Qb二尹=>二ei -严二-.2. 如图，在AABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B, E, F分别为AG AD的三等分点.且分别靠近儿D两点，设乔=G AC=b.U所以 BF 二 *BE,所以篩与旋共线，且有公共点乩所以B, E、F三点共线.课堂小结Cf求解向呈共线问题的五个策略(1) 向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.(2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向戢共线与三点共线的区别与 联

14、系，当两向星共线且有公共点时，才能得到三点共线.(3) 若与“不共线且a=pb则=O.(4) 直线的向量式参数方程：A, P, B三点共线o>=(-t) OA+tOB(O 为平面内任一点，R)OA=OB+OC(, 为实数)，若A, B, C三点共线，贝収+“=1&易错防范(1) 作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由 减向量的终点指向被减向量的终点.(2) 在向量共线的重要条件中易忽视aa0f9 9否则可能不存在，也可能有无数个.基础达标1.下列各式中不能化简为陀的是()A. AB+(PA+BQ) B. (AB+PC)+(BA-QC)C. QC-

15、QP+CQD PA+ABBQ解析：选 DAB 十( + ) = AB±BQ + = +AQ = PQ AB + PC) + (BA-Qe) = (AB + BA) +(PC - QC) = PC+CQ = PQ ； QC-QP+ CQ 二陀+强二陀；顾+ AB-BQ = PB-BQ.显然由而-西得不出陀，所以不能化简为西的式子是D.2设是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）A. 与加的方向相反B. “与;z的方向相同C I一加 12IalD I一加IMUS解析：选B.对于A,当z>0时，与加的方向相同，当z<0时，与加的方向相反；B正确；对于C, I-MI二丨-

16、加I由于I-刀的大小不确走，故I-加与的大小关系不确走； 对于D, I；M是向星，而I-加I表示长度，两者不能比较大.3. （2019-浙江省新髙考学科热础测试）设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，IAI=6, ICA + CI = ICA-Cb 则沛1 =（）A. 12B. 63C. 3D解析：选 C.因）ICA+ CBI = 2ICM9 ICA-CBl = IBAL 所以 21CMl = IAI = 6,所以ICi/1 = 3,故选C.4. 已知心是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是（）A. a+ba-bB. k>llMIC. （ab）2=a2-2ab-b2D（a-b）

17、5=a3-3a2 b + 3a b2-b3解析：选D.由三角形的三边关系和向呈的几何意义，a + ba-b,所以A正确；因为Iadl = IaIbIIcos , b L 又ICOSa, b lL所以I0lll切恒成立，B正确；由向呈数呈积的运算，得S -b）2 = a2-2a b + b2, C正确；根据排除法，故选D.5已知, 是非零向:,命题（i=b,命题g： I+I=II÷IM,则”是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A若a = b9 则la + bl = l2a = 2lal9 ll+ Ifrl = ll+ kl = 2

18、kh 即p=>g,若Ia + b = a + Ifrl,由加法的运算知与同向共线，即二肋，且2>0,故g为p.所以"是g的充分不必要条件，故选A.6. （2019温州市普通髙中摸考）已知A, B, C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D,若OC=A+OB（>0. P>0）,则2+“的取值范围是（）A（0, 1）B. +8）解析：选B由题意可彳寻OD二£0C二AOA十切OB（OV £ V 1）,又A, D. B三点共线，所以k±k=,贝J2 + jU=> I,即2十“的取值范围是（1，十8）,选项B正确.7. 已知A

19、BCD的对角线AC和BD相交于O,且OA=a. OB=b,则氐=, BC=（用a, b表示）解析：答案：ba ab8. 若IABI=8, IACI=5,则I荒!的取值范囤是解析：BC = AC-AB.当Ak花同向时，I荒I二8 - 5二3 ；当Ak花反向时，IBCl = 8 十5二13；当Ak 花不共线时，3 V I花V 13综上可知3 WI荒IWl 3.答案：3, 139（2019sa州质检）如图所示，在ZXABC中，BO为边AC上的中线，BG=2G0.设/AG. Ab=AB+AC（R）,则 2 的值为 解析：因为BG = 2GO,所以花二# + ¾二A + C,又西花，可设CD

20、= mAG, 从而祜二咸'+ &）二才E十,jAB + JAC = （I + J）AC十年方.因为ib = ,4十/AC,所以彳=10（2019-杭州中学高三月考）已知P为ABC内一点，且5门一2AB-AC=Q.则/¾C的面积与AABC的而积之比等于解析：因为 5P-2AB-C=0,所UMF = B + IACf延长AP交BC于D,贝0A二辆十扼二Ab,2 从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD = CB.2 32设点B到边AC的距离为Ch则点P到边AC的距离为×孕二尹2所以'PAC的面积与AABC的面积之比为亍2姣窓-口采 511经过AB重心G的

21、直线与OA, OB分别交于点P, Q.设OP=mOA. OQ=nOB,R, 求出的值.解：设页二 , OB = b.贝 UJb 二扌 S 十),PQ = OQ- OP = nb - ma. PG = OG-OP = (a+ b ) - ma由P, G、0共线得，存在实数/1使得陀二2陀,消去2,得士十占二3.12在AABC中，D. E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点，K GB=2GE.设AB=, AC=b,试用 , 表示AD AG.解：AD二*(AB十AC)二*十扌> > > > 2 * 1 . AG = AB + BG = AB 十亍BE = AB + BC

22、)WAB +- AB)=AB + AC二如十如.能力提升1.设P是BC所在平而内的一点，且CP=IPA.则刊B与APBC的而枳的比值是A.C.IZ=Y）I ?解析：选B因为二2顾，所以=二亍 又诃4B在边刊上的高与匕PBC在边PC上的 PAll 1ICPl S厶咼相等，所以=S-PBC2. （2019福理省普通髙中质好检我）已知D, E是AABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，AP=XAB+yAC.则Q的取值范用是（）A.4191 l-9, -丨B.1-41 -y2 1 Ir219 2JD- b 4.C.解析：选D由题意，知P, B, C三点共线，则存在实数人使丙二XBC - -所以鯨-乔

23、二底花乔），所以乔二-AC+（+ ）AB,贝!？1 "，所以A + y=l且gx=z+1'2于是 Ay = x( 1 - X)=X - £十扌，所以当X =抽 y取得最大值扌；当X二g或 = 2时，Xy取得最（J 值,3. （2019-浙江名校协作体髙三联考）如图，在BC中，点O是BC的中点，过点O的2 1 9 4.,故选D.直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M, N,若AB=AC=HANy则m+nBiO解析：BG/AC,则BGNC、辭鬻因为O是BC的中点，所以 NOC竺HGOB,所以IBGl 二 INCI,又因为IACI = MbVh所以INCI 二(“

24、 -I)IAM,所以鬻二"-1.因为IABl = nAM9 所以IBMl 二(1 Zn)IAMl>所以= 1 nh 所以 H-I 二 1 加,m i 二 2答案：24. (2019JM州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB=3. AD=4. M. N分别为线 段BC, CD上的点，且满足2÷=1> AC=XAM+yAN,则x÷y的最小值为.解析：连接MN交AC于点G,由勾股走理.曲MN-CMSCN-所以l= + z "GW2GV2,即MN二CMCN,所以C到直线MN的距离为定值1,此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一切线因为花二XAM+ yAN=(