2022届高三数学寒假自检试卷

1、寒假高三数学自测卷一、单项选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分)1.已知集合A=x|04x4a,XGN,8=1,2,3,若AHB=8,则a的取值范围是()A.B.(3,+oo)C.3,4)D.3,-w)2.设复数z满足z-2=2i,同=2,复数z所对应的点位于第一象限，则=()Za1+V5iD/3i-l+/3+i24243.已知向量、B满足|a|=6,ab=-3若(彳。一可则2=()A.1B.-1C.2D.-24.右图是函数y=sin(ox+c)的部分图像，则sin(0x+e)=()A.sinx+)B.sin(g24C.sinf2x+JD.cosf5 .酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，

2、某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是()A.甲地：均值为7,方差为2B.乙地：均值为4,中位数为5C.丙地：众数为3,中位数为2D.丁地：极差为3,75%分位数为86 .如图，在正四面体A-8CO中，E、尸分别是AC、AB的中点，M.N分别是BE、。尸的中点，贝U()4A.直线BE与OF垂直，直线MN平面BC。夕/B.直线8E与。尸垂直，直线MN与平面8C相交C.直线8E与。尸异面且不垂直，直线MN平面8C。/DD.

3、直线BE与。尸异面且不垂直，直线MN与平面BCO相交7.双曲线C：m-y=l(a(U0)的焦距为4,圆d+y2=4与双曲线C及C的一条渐近线在第一象限的交点分别为A,B,若点B的纵坐标是点A纵坐标的2倍，则C的方程为().8.已知a=2%另=31n6,c=4%则(A.bcaB.abcC.bacD.ac0,Z?0,2a+b=ab,则下列结论正确的是（）A.a+b的最小值为3+20B./+从的最小值为坨C.+的最大值为应D.lga+lg。的最小值为31g210.已知定义在R的偶函数x）,其周期为4,当x0,2时，/（x）=2r-2,则（）A./（log23）=lB.的值域为-1,2C./（x）在4

4、,6上为减函数D.“X）在-6,6上有8个零点11.已知正项数列%满足4=4,21na”,1=a“-l（eN）,则下列说法正确的是（）A.In%是等比数列B.对任意的eN*,lna,jlnanC.1对任意“eN*都成立D.a,-a2-a3%4e12.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:/+g=l（a%0）的离心率为也，人、人分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线/:加+缈-/-从=0,则（）2A.直线/与蒙日圆相切B.C的蒙日圆的方程为/+丁=2/C.记点A到直线/的距离为d,则d

5、-|A闾的最小值为竺二色空3D.若矩形MNG”的四条边均与C相切，则矩形MNG”的面积的最大值为8从三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 在x-%的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含/项的系数为一一ij-r“cosa(1-sin2a)人,士“14. 已知tana=2,则的值为.2sina-cosa15. 已知球。的半径为1,A,8是球面上两点，ZAOB=90,C为该球面上的动点.当三棱锥0-43C的体积取得最大值时，过A,B,C三点的截面圆的面积为.16. 如图，A2B2,昌是全等的等腰直角三角形(04=正，g(i=l,2,3)处为直角顶点)，且。，A，4,4

6、四点共线.若点匕，6，6分别是边A片，44，&鸟上的动点(包含端点)，则砥丽=,西函的取值范围为.TT17. (10分)在a(sinA-sinC)=(b-c)(sin3+sinC),2bcos(C-)=a+c,向量玩=(l+cos8,6sinC)与”=(-c,b),且所三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析.在ASC中，。，仇。分别是内角43,C所对的边，且.(1)求角8的大小；(2)若aABC是钝角三角形，且力=百，求的取值范围.18. （12分）已知数列满足一+-+=22-2.（a2-ata3-a2a.-ayan+i-an（1）设求%的通项公式;（2）若=2,求”“的通项公式.1

7、9. （12分）如图，A3是圆。的直径，PA_L圆。所在的平面，C为圆周上一点，。为线段PC的中点，ZCBA=30.AB=2PA.（1）证明：平面A5）_L平面尸8c.（2）若G为4。的中点，求二面角尸-8C-G的余弦值.20. （12分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员中与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，甲乙两名队员投进篮球的概率为别为P，P2.32(1)若Pi=：，Pz=：，则在第一轮游戏他们获“神投小组的概率；(2)若Pi+P2=,则在游戏中，甲乙两

8、名队员想要获得神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时Pi,P2的值.21. (12分)抛物线E:y2=2px(p0),点户是抛物线E上一点，尸为此抛物线的焦点，。为坐标原点，OP=2y/3,PF=3.(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线E的两条互相垂直的弦A8和8交于点G(2,0),M和N分别是A8和CQ的中点;，求G到宜线的最大距离.22. (12分)设函数/(x)=alnx+1-l(aeR).(1)求函数/(x)的单调区间:(2)当xw(0,1)时，证明：x2+x1e1Inx.123456789101112参考答案DBBBACDBACDABBCDAC13.1

9、514.15.=16.610,121153LJ17.(1)B*(2)(石,3)(1)若选条件，根据正弦定理得a(-c)=S+c)S-c),+c2-ac=b2,由余弦定理可得，cosB=a+Cb=-,又8w(0z),则B=f；2ac23若选条件，由正弦定理得，2sin8(；cosC+*sinC)=sinA+sinC,贝Usin8cosc+Gsin8sinC=sin(8+C)+sinC,化简得VJsinBsinC=sinCcosB4-sinC,Ce(0,)，则sinCwO,于是5/5sin8-cosB=l,则sin(B-1)=:,结合3(0,%)可得8=；623若选条件，ml.nf则?0=-c(l

10、+cosB)+V3/?sinC,由正弦定理得，-sinC(1+cosB)+VJsinfisinC=0，C(0,4),则sinCwO,于是Gsin8-cosB=l,则sin(8-5)=:，62结合8(0,外可得8=。.a_c_6(2)由正弦定理，sinA-sinC一.冗，则=2sinA,c=2sinC,又/$(?是钝角三角形，不妨设sin3A是钝角，又A+C=,于是gAv?,则有vA+g,因为AC_L8C,NCSA=30,所以AB=2AC.又A8=2K4,所以PA=AC,而。为线段PC的中点，所以ADLPC.又PCcBC=C,所以AC平面P8C,而A)u平面4切，故平面A80_L平面PBC.管2

11、220.(1)|；(2)理论上至少要进行27轮游戏，p,=p2=1.21.(1)y2=4x(2)222.解：力的定义域为(。,+巧，贝I/，)=-5=学，当“V0时，r(x)40在(0,+8)恒成立，则函数/(x)的单调减区间为(0,+8),没有增区间：当a0时，当卜寸，/(力0.则函数/(x)的单调减区间为(0,：单调增区间为(J，田;综上所述，当V。时，函数“X)的单调减区间为(。，+功，没有增区间：当a0时，函数“X)的单调减区间为(),单调增区间为(2)证明：由(1)可知当a=l时，/(x)的单调减区间为(05，单调增区间为(1,)；当x=l时，“X)取极小值/=0,所以x)”(l)=0,当xe(0,l)时，即有lnx+-l0,所以lnxl，XX所以要证V+x-J-lvelnx,只需证XXXJ整理得XX又因为xO,l),所以只需证e(x+l)令(x)=e，一(x+l)，贝IJ，(x)=eX_2(x+),令(x)=/f(x)=e_2(x+),贝IJ/T(x)=e_2,令(x)=e，-2=0,得x=ln