数学史部分古希腊数学学习教案

1、会计学1数学史部分数学史部分(b fen)古希腊数学古希腊数学第一页，共42页。)()(cpbpappS 希腊最重要的几何学著作希腊最重要的几何学著作(zhzu)是度量学是度量学（Metrica），分三卷，是），分三卷，是R.舍内（舍内（Schone）于）于1896年才在君士坦丁堡发现的年才在君士坦丁堡发现的. 第一卷：讲述各种图形的面积度量第一卷：讲述各种图形的面积度量. 求非完全平方的整数平方根近似值的希罗求非完全平方的整数平方根近似值的希罗方法方法 n=ab，则，则 第一近似值由第一近似值由 给出给出.此方法允许逐步近似此方法允许逐步近似.n2ba 的第一近似值的第一近似值 ，n1a第二

2、近似值第二近似值2112anaa 第三近似值第三近似值2223anaa 第1页/共42页第二页，共42页。 第二卷：讲述各种立体图形的体积测量，包括：第二卷：讲述各种立体图形的体积测量，包括：锥体，柱体，平行六面体，棱锥，圆锥和棱锥的平锥体，柱体，平行六面体，棱锥，圆锥和棱锥的平截头体；球体球截形，锚环，五种正立方体和某些截头体；球体球截形，锚环，五种正立方体和某些旁面三角台旁面三角台. 第三卷：讲述把一定的面积和体积依给定的比例第三卷：讲述把一定的面积和体积依给定的比例分成分成(fn chn)两部分的问题两部分的问题. 第2页/共42页第三页，共42页。n（4 4）测量沟渠的深）测量沟渠的深

3、. .n（5 5）两城市间的距离）两城市间的距离. .n（6 6）本书最后论述如何运用齿）本书最后论述如何运用齿轮的结构，用一个给定的力去移轮的结构，用一个给定的力去移动给定的重物动给定的重物. . 第3页/共42页第四页，共42页。第4页/共42页第五页，共42页。第5页/共42页第六页，共42页。第6页/共42页第七页，共42页。AAAAABABABAAAcossin22sin;2cos12sin;sincoscossin)sin(; 1cossin22 第7页/共42页第八页，共42页。第8页/共42页第九页，共42页。（4） Ptolemy 定理：定理：“在圆内接四边形中在圆内接四边形

4、中，两对角线之积等于两对边乘积的和，两对角线之积等于两对边乘积的和.”（5）用直尺）用直尺(zh ch)和圆规做出圆的内接和圆规做出圆的内接正五、十五边形正五、十五边形. （6）圆周率的近似值）圆周率的近似值（7）球面三角定理，用以解决特定）球面三角定理，用以解决特定(tdng)的天文学问题的天文学问题.6141. 3 第9页/共42页第十页，共42页。n其余几篇研究行星其余几篇研究行星n天文学大成一书，在哥白尼天文学大成一书，在哥白尼(N.Copernicus,14731543)(N.Copernicus,14731543)之名之名著关于天体的运转著关于天体的运转(Derevolutioni

5、busorbium (Derevolutionibusorbium Caelestium)Caelestium)成书前，一直是标准成书前，一直是标准(biozhn)(biozhn)的天文学著作的天文学著作第10页/共42页第十一页，共42页。 Ptolemy曾怀疑曾怀疑(huiy)过欧几里德平行公设，试过欧几里德平行公设，试图利用几何原本中的其它公理和公设推出第五公图利用几何原本中的其它公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里德的一系列原始假定，但未能成设，使之去掉欧几里德的一系列原始假定，但未能成功功 几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯(Menelaus of A

6、lexandria，进一步研究了球面三角，并著球面，进一步研究了球面三角，并著球面论论(Sphaerica)，着重讨论球面三角形的几何性质，着重讨论球面三角形的几何性质第11页/共42页第十二页，共42页。 在在PtolemyPtolemy逝世之后，希腊的黄金时代已经过逝世之后，希腊的黄金时代已经过去，希腊数学开始去，希腊数学开始(kish)(kish)走下坡路正是在此走下坡路正是在此时，有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添时，有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里了新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里亚的帕普斯亚的帕普斯(Pappus(Papp

7、us， 300 300？-350-350？) )和丢番图和丢番图(Diophantus)(Diophantus)，他们的工作推动了希腊后期的数，他们的工作推动了希腊后期的数学学第12页/共42页第十三页，共42页。第13页/共42页第十四页，共42页。邮票邮票(yupio)(yupio)上的托勒密上的托勒密 第14页/共42页第十五页，共42页。第15页/共42页第十六页，共42页。第16页/共42页第十七页，共42页。第17页/共42页第十八页，共42页。Diophantus第18页/共42页第十九页，共42页。远远超出了同时代人的水平远远超出了同时代人的水平. .第19页/共42页第二十页

8、，共42页。算术的主要内容：算术的主要内容： 第一卷讲述一元的确定方程第一卷讲述一元的确定方程. .DiophantusDiophantus解一次方程的方法与现代基本相同，但解一次方程的方法与现代基本相同，但是没有概括出一般是没有概括出一般(ybn)(ybn)的解法和步骤的解法和步骤. . 余下的几卷讲述二元和三元，二次或高次的不定余下的几卷讲述二元和三元，二次或高次的不定方程方程. .cBxAxybyx 22; FExDxzCBxAxy2222第20页/共42页第二十一页，共42页。值得注意的是：值得注意的是： 书中缺少书中缺少(qusho)一般的方法，主要是依靠一般的方法，主要是依靠其高超

9、的技巧其高超的技巧. Diophantus只承认正有理数；只承认正有理数； 满足于对一个问题只求出一个解满足于对一个问题只求出一个解. 深刻的定理：深刻的定理： “两个有理数立方的差也是两个有理数立方的和两个有理数立方的差也是两个有理数立方的和” Veita, Fermat 把一个数表示成两个，三个或四个数的平方和把一个数表示成两个，三个或四个数的平方和 Fermat, Euler, Lagrange第21页/共42页第二十二页，共42页。数的乘积加上第三个数为平方数的乘积加上第三个数为平方(pngfng)(pngfng)数数. . 求三个数，使得其中任何两个求三个数，使得其中任何两个数的乘积

10、加上这两个数的和为数的乘积加上这两个数的和为平方平方(pngfng)(pngfng)数数. .第22页/共42页第二十三页，共42页。. .第23页/共42页第二十四页，共42页。第24页/共42页第二十五页，共42页。及第一篇与第二篇的一部分内容及第一篇与第二篇的一部分内容. .这是一部总结前人成果这是一部总结前人成果(chnggu)(chnggu)的典型著作，在数学史上有特殊的的典型著作，在数学史上有特殊的意义意义. . 第25页/共42页第二十六页，共42页。Pappus, Collection 第26页/共42页第二十七页，共42页。PAPPUS, of Alexandria. Mat

11、hematicae Collectiones. 第27页/共42页第二十八页，共42页。 secbar (3) 阿基米德阿基米德(Archimedes)的半正多面体；的半正多面体；(4) 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯(Apollonius)圆锥曲线圆锥曲线(Conics)中未提及的圆锥曲线的焦点中未提及的圆锥曲线的焦点(jiodin)、准、准线性质等等线性质等等.第28页/共42页第二十九页，共42页。. .这个问题到这个问题到1818世纪又得到进一世纪又得到进一步的研究步的研究. .第29页/共42页第三十页，共42页。6 6、四边形中一条对角线被另一条、四边形中一条对角线被另一条对角线以及两组

12、对边交点的连线，对角线以及两组对边交点的连线，分割成调和比的线段分割成调和比的线段(xindun)(xindun)；第30页/共42页第三十一页，共42页。、Pappus Pappus 定理：若定理：若A,B,CA,B,C与与D,E,FD,E,F分别分别(fnbi)(fnbi)是两条直线上的三个点，则是两条直线上的三个点，则AE,BF,CDAE,BF,CD分别分别(fnbi)(fnbi)与与DB,EC,FADB,EC,FA的三个的三个交点共线交点共线. .第31页/共42页第三十二页，共42页。 badyyV2 第32页/共42页第三十三页，共42页。 Pappus Pappus 问题：问题：

13、 Apollonius Apollonius曾断言：曾断言：“可以求出这样一个动可以求出这样一个动点的轨迹点的轨迹, ,它与两定直线距离的乘积它与另它与两定直线距离的乘积它与另外两定直线距离的乘积一个常数外两定直线距离的乘积一个常数”.”. Pappus Pappus指出这个轨迹就是一个圆锥曲线，但指出这个轨迹就是一个圆锥曲线，但他没有他没有(mi yu)(mi yu)给出证明给出证明. .他还进一步指出，他还进一步指出，这一问题可以推广到包含这一问题可以推广到包含5 5条、条、6 6条或更多条直条或更多条直线的情形，这成为著名的线的情形，这成为著名的PappusPappus问题问题. .第3

14、3页/共42页第三十四页，共42页。 17世纪世纪(shj)，笛卡尔（，笛卡尔（Descartes）曾试图）曾试图用分析方法来解决这个问题，这也是导致笛卡用分析方法来解决这个问题，这也是导致笛卡尔（尔（Descartes）创立解析几何学（）创立解析几何学（Analytic geometry）的一个重要因素）的一个重要因素. 数学汇编（数学汇编（Mathematical Collection）被认为是古希腊数学的安魂曲被认为是古希腊数学的安魂曲. Pappus 之后，之后，古希腊数学开始衰落古希腊数学开始衰落. 第34页/共42页第三十五页，共42页。第35页/共42页第三十六页，共42页。 倍

15、立方体问题之所以不能解决，是因为作图倍立方体问题之所以不能解决，是因为作图时只能使用时只能使用(shyng)(shyng)圆规和无刻度的直尺。这是圆规和无刻度的直尺。这是古希腊人对作图的要求。古希腊人对作图的要求。 假设已知立方体的棱长是假设已知立方体的棱长是1 1个单位，那么这个个单位，那么这个立方体的体积便是立方体的体积便是1 1的的3 3次方等于次方等于1 1。根据需求，要。根据需求，要求作的立方体的体积是原立方体的两倍，即求作的立方体的体积是原立方体的两倍，即1 12=22=2，所以求作的立方体的棱长为，所以求作的立方体的棱长为2 2的立方根这的立方根这一个无理数，通过有限次画线、作圆

16、、求交点是一个无理数，通过有限次画线、作圆、求交点是无法作出长为无法作出长为2 2的的3 3次根的线段的，所以倍立方体次根的线段的，所以倍立方体问题是不可能用直尺和圆规来解决的。问题是不可能用直尺和圆规来解决的。第36页/共42页第三十七页，共42页。2 2、三等分角、三等分角 Trisecting an angel Trisecting an angel 1837 1837年凡齐尔（年凡齐尔（1814181418481848）运用代数方法）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。 在研究在研究“三等分角三等分角”的过程中发现了如蚌线的过程中发现

17、了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。 人们还发现，只要放弃人们还发现，只要放弃“尺规作图尺规作图”的戒律的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米德发现只要在直尺家阿基米德发现只要在直尺(zh ch)(zh ch)上固定一上固定一点，问题就可解决了。点，问题就可解决了。 第37页/共42页第三十八页，共42页。 现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点，命尺端为。设所要三等分的角是，命尺端为。设所要三等分的角是，以为圆心，为半径，以为圆心，为半径(bnjng)(bnjng)作

18、半圆作半圆交角边于，；使点在延线上移动，交角边于，；使点在延线上移动，点在圆周上移动，当尺通过时，联点在圆周上移动，当尺通过时，联（见图）。由于，所以（见图）。由于，所以。这里使用的工具已不限。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。于标尺，而且作图方法也与公设不合。 第38页/共42页第三十九页，共42页。3 3、化圆为方、化圆为方 Squaring the circle Squaring the circle穷竭穷竭(qingji)(qingji)法法求一正方形，其面积求一正方形，其面积(min j)和一已知圆的面积和一已知圆的面积(min j)相同相同第39页/共42页第四十页，共42页。 在在1882年证明年证明为超越数，因此也证实该为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。因为可用尺规作问题仅用尺规是无法完成的。因为