大学物理竞赛辅导(电学)课件

1、大学物理竞赛辅导(电学)College College PhysicsPhysics大学物理大学物理 竟赛辅导竟赛辅导 -电磁学电磁学-大学物理竞赛辅导(电学) 从场的角度认识1 1 电流和电流密度电流和电流密度dtdqI 方向方向：正电荷运动的方向正电荷运动的方向单位单位：安培安培一一. .电流强度电流强度( (宏观量宏观量) ) current strengthcurrent strength大小大小：单位时间内通过导：单位时间内通过导 体某一横截面的电量体某一横截面的电量SEqt大学物理竞赛辅导(电学)需要引入描述电流的空间分布的物需要引入描述电流的空间分布的物理量理量电流密度电流密度电

2、流场：电流场：导体内每一点都有对应的导体内每一点都有对应的( , , )j x y z大学物理竞赛辅导(电学)二二. .电流密度电流密度( (微观量微观量) ) current densitycurrent densitydSdIJ大小大小:垂直于电流方向的单位面积上的电流强度。垂直于电流方向的单位面积上的电流强度。 方向方向为该点正电荷定向移动的方向。为该点正电荷定向移动的方向。1.1.导体中某点的导体中某点的电流密度电流密度 单位单位：安培安培/ /米米2 2dssddIj大学物理竞赛辅导(电学)0,q jdv与与同向同向0,q jdv与与反向反向IEdSddSdIqnvdddIjnqvS

3、载流子数密度为载流子数密度为设每个载流子电量为设每个载流子电量为qn平均漂移速度的大小平均漂移速度的大小dv矢量式矢量式djnqv大学物理竞赛辅导(电学)JSdS电流场中的电流线电流场中的电流线sdJJdsdI2 2. .电流密度和电流强度的关系电流密度和电流强度的关系SsdJI “一个矢量场和它的通量的关系一个矢量场和它的通量的关系”大学物理竞赛辅导(电学)“电流线发出于正电电流线发出于正电荷减少的地方荷减少的地方, ,终止于终止于正电荷增加的地方正电荷增加的地方”. .SJ线线三三. .电流连续性方程电流连续性方程dtdqsdJS内0dtdq内, 0)(SsdJI, 0)(SsdJI0dt

4、dq内电流电流线线流出流出封闭面即电封闭面即电流流流出时：流出时：电流电流线线流进流进封闭面即电封闭面即电流流流进时：流进时：因为电荷守恒定律因为电荷守恒定律, ,则有则有封闭面内封闭面内电荷减少电荷减少封闭面内封闭面内电荷增加电荷增加0dtdq内大学物理竞赛辅导(电学)2 2 稳恒电流与稳恒电流与稳恒电场稳恒电场0SsdJ二二. .稳恒条件稳恒条件电流场中每一点的电流密度的电流场中每一点的电流密度的大小和方向均不随时间改变大小和方向均不随时间改变.一一. .稳恒电流稳恒电流封闭面上的电流密度的通量等于零。封闭面上的电流密度的通量等于零。 或或流进封闭面的电流等于流出封闭面电流。流进封闭面的电

5、流等于流出封闭面电流。或稳恒电流的电路必须闭合。或稳恒电流的电路必须闭合。SJ线线0dtdq内大学物理竞赛辅导(电学) 节点电流定律节点电流定律 ( (基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律) ) 稳恒电路中稳恒电路中流入流入节点节点的电流等于流出节点的电流的电流等于流出节点的电流 由稳恒条件可得出几个结论由稳恒条件可得出几个结论-导体表面电流密度矢量均无法向分量导体表面电流密度矢量均无法向分量(沿轴向沿轴向). -对无分支稳恒电路对无分支稳恒电路, ,各横截面电流强度相等各横截面电流强度相等. .o1I3I2I0SsdJ大学物理竞赛辅导(电学)三三. .稳恒电场稳恒电场1.1.稳恒电场稳恒电场-对

6、稳恒电路对稳恒电路, ,导体内存在导体内存在稳恒稳恒电场电场. .-对稳恒电场对稳恒电场, ,由不随时间改变的电荷分布产生由不随时间改变的电荷分布产生. .2.2.稳恒电场稳恒电场和静电场比较和静电场比较 相同之处相同之处: : -电场不随时间改变电场不随时间改变. . -满足高斯定理满足高斯定理. . -满足环路定理满足环路定理, ,是保守场引入电势是保守场引入电势. .0Ll dE 回路电压定律回路电压定律( (基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律) ) 稳恒电路中沿任何闭合回路的电动势之和等于稳恒电路中沿任何闭合回路的电动势之和等于电压降之和电压降之和大学物理竞赛辅导(电学)不同之处：不同之

7、处： -产生稳恒电流的电荷是运动的电荷产生稳恒电流的电荷是运动的电荷, ,电荷分布不随时间改变电荷分布不随时间改变. . -稳恒电场的存在伴随着能量的转移稳恒电场的存在伴随着能量的转移. .大学物理竞赛辅导(电学)一一. .电源及电源的作用电源及电源的作用 非静电力非静电力electromotive force 非静电力场强非静电力场强non-electrostatic forceEFqKK二二. .电动势电动势把把单位正电荷单位正电荷经电源经电源内内部由部由负负极极移向移向正正极过程中极过程中非静电力非静电力所作的所作的功功. .LKKl dEl dE场中某点的非静场中某点的非静电场强为单位

8、正电场强为单位正电荷在该点受的电荷在该点受的非静电力非静电力. .3 3 电动势电动势大学物理竞赛辅导(电学)EkEII例例：大学物理竞赛辅导(电学)一一. .欧姆定律欧姆定律一段无源电路的一段无源电路的欧姆定欧姆定律律 a a）积分形式积分形式 b b）微分形式微分形式EJURUIR/1/1导体中任一点电流密度的导体中任一点电流密度的方向方向( (正电荷运动方向正电荷运动方向) )和和该点场强方向相同该点场强方向相同. . 4 4 欧姆定律和电阻欧姆定律和电阻大学物理竞赛辅导(电学)欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式欧姆定律欧姆定律12UUIRI1U2U对于柱形材料对于柱形材料 lRS:电

9、阻率电阻率:电导率电导率1:电导率电导率大学物理竞赛辅导(电学)欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 的推导的推导在导体内假想一个柱体在导体内假想一个柱体 导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向平行正比，两者方向平行IUdUEUdSdlddUIR ddlRSddE lU dddE lEISRddIES/jEjE大学物理竞赛辅导(电学)例：例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为率分别为 和和 的均匀导电介质，它们的厚度分别为的均匀导电介质，它们的厚度分别为d d1 1和和

10、d d2 2，导体的横截面积为，导体的横截面积为S S，流过的电流为，流过的电流为I I。求：。求：（1 1）两层导电介质中的电场强度；）两层导电介质中的电场强度；（2 2）每层导电介质两端的电势差。）每层导电介质两端的电势差。 1212 12 ddII微分欧姆定律举例微分欧姆定律举例大学物理竞赛辅导(电学)SIjESIE11SIE22SIddEU11111SIddEU22222解：（解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：）由欧姆定律的微分形式，有：于是：于是： （2）根据电势的定义可得：）根据电势的定义可得：大学物理竞赛辅导(电学)恒定电流电路定律恒定电流电路定律一、电路上两点的电势差一、电路

11、上两点的电势差欧姆定律微分形式的推广欧姆定律微分形式的推广()kjEE计算计算、两端的电势差两端的电势差abdddbcbabaacVVElElEl而而dddddcccccaaaaajjSlElllIIRIRSS一段含源电路一段含源电路。 aIRciRb大学物理竞赛辅导(电学)1. 不含源的简单电路：不含源的简单电路：2. 闭合电路：闭合电路：讨论：讨论：0,0R。 aIRciRb()kjEE()bbbbkkccccbcjjsE dlEdldlEdlsIdRIR abVVIRIR或或baVVIRIR简单电路的欧姆定律简单电路的欧姆定律abVVIR0abVV闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律IR

12、IR大学物理竞赛辅导(电学)约定：约定：IIIR-IRabVVIRIR一段含源电路一段含源电路。 aIRciRbIRIRVVab大学物理竞赛辅导(电学)3.3.闭和回路闭和回路的的欧姆定律欧姆定律rRIiiiabRIU2.2.一段有源电路的一段有源电路的欧姆定律欧姆定律I1R2R12aboc3R1I3I2I大学物理竞赛辅导(电学) 二二. .电阻电阻SlRSdldRR)1 (0tt大学物理竞赛辅导(电学)SdlR202 rdraR半径为半径为a aI例：例：大学物理竞赛辅导(电学)解：解：例例 一半径为一半径为 的的 半球形电极埋在大地里，大地半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电

13、导率为视为均匀的导电介质，其电导率为 ， 求接地电阻。求接地电阻。rI1r2r跨步电压跨步电压若通有电流若通有电流I，求半径为，求半径为 ， 两个球面的电压。两个球面的电压。1r2rr2d1d22rrrRRrr 221112212d111d()22rrrrrRRrrr 12121211()2IVVIRrr 大学物理竞赛辅导(电学)211212111d()2rrVVE rrr 另一种解法：另一种解法： jE22Ijr22IErrI1r2r大学物理竞赛辅导(电学) 直流电源作用在元件上，电流从直流电源作用在元件上，电流从0I0I，是过，是过程中的现象程中的现象 U U 、I I是变化的，欧姆定律、

14、基尔霍夫定律是是变化的，欧姆定律、基尔霍夫定律是否还适用？否还适用？虽然虽然 U U、I I随时间变化，但满足随时间变化，但满足似稳条件似稳条件满足似稳条件的电路中，可以用欧姆定律积满足似稳条件的电路中，可以用欧姆定律积分形式和基尔霍夫方程组来处理问题分形式和基尔霍夫方程组来处理问题 5 5 暂态过程暂态过程大学物理竞赛辅导(电学)LRLR电路中的暂态过程电路中的暂态过程 充磁：充磁： K接通接通1，电能转变成磁能，电能转变成磁能 iRLdtdiL iRdtdiL微分方程微分方程0, 00it用分离变量法用分离变量法 )(RiLRLiRdtdidtLRRiditidtLRRidi00)1()(

15、tLRRtie大学物理竞赛辅导(电学)讨论 时间常数时间常数 ：是电流从是电流从0 0增加到增加到0.63I0.63I0 0所需时间所需时间0)(IRtit)1 ()(0LteItiRLL01063. 0)1 ()(IeItin放磁：电流达到稳定值后，放磁：电流达到稳定值后， 将将K K拨到拨到2 2 iRdtdiLiRLLtItie0)(大学物理竞赛辅导(电学)RCRC电路中的暂态过程电路中的暂态过程 充电：充电： K接通接通10, 0qtRCUUiRCqdtdqiCqdtdqR)1()(0CteqtqRCCqqeqtq0010,63. 0)1 ()(n放电：放电： K K接通接通2 2大学

16、物理竞赛辅导(电学)LCRLCR暂态过程暂态过程），）2(01( ,接于接于接于接于KKCqiRdtdiLdtdqi 022CqdtdqRdtqdL关于关于q的二阶常的二阶常系数微分方程系数微分方程LCR2大学物理竞赛辅导(电学)三种阻尼状态三种阻尼状态 显然阻尼度与显然阻尼度与R 、L、C取值有取值有关，电感、电容是储能元件，关，电感、电容是储能元件，电阻是耗散性元件，其大小电阻是耗散性元件，其大小反映电路中电磁能耗散的情况反映电路中电磁能耗散的情况阻阻尼尼振振荡荡, ,临临界界阻阻尼尼过过阻阻尼尼1,1,1大学物理竞赛辅导(电学)6 6 电路的典型问题：电路的典型问题： 已知全部电源的电动

17、势、内阻和全部负载电阻，已知全部电源的电动势、内阻和全部负载电阻，求每一条支路的电流；求每一条支路的电流； 已知某些支路的电流，求某些电阻或电动势。已知某些支路的电流，求某些电阻或电动势。 基尔霍夫电路定理给出了把这些物理量联系起基尔霍夫电路定理给出了把这些物理量联系起来的来的完备方程组完备方程组，从而普遍地解决了电路的计，从而普遍地解决了电路的计算问题。算问题。 大学物理竞赛辅导(电学)基尔霍夫第一定律（节点电流方程）基尔霍夫第一定律（节点电流方程） 规定规定流向流向节点的电流为节点的电流为负负，从节点从节点流出流出的电流为的电流为正正 汇于节点的各支路电流强度汇于节点的各支路电流强度的代数

18、和为零的代数和为零 0)(In若一个完整电路共有若一个完整电路共有n n个节点，则可以写出个节点，则可以写出n-1n-1个独立的个独立的节点方程节点方程基尔霍夫第一方程组基尔霍夫第一方程组 Sd0Sj321III大学物理竞赛辅导(电学)基尔霍夫第二定律（回路电压方程）基尔霍夫第二定律（回路电压方程） 沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变0lE dn 写方程的约定写方程的约定 n规定其绕行方向（可以任意规定）规定其绕行方向（可以任意规定）n标定一个电流方向标定一个电流方向n解出解出 I0I0，实际电流与标定一致实际电流与标定一致n解出解出 I0I0，右侧导

19、体板带电量右侧导体板带电量Q，其右侧相距，其右侧相距d处有一个质量为处有一个质量为m，电量为电量为-q（q0）的粒子）的粒子P。导体板静电平衡后，。导体板静电平衡后，P从静从静止释放，假设它可自由穿越导体板，且不会影响板上的止释放，假设它可自由穿越导体板，且不会影响板上的电荷分布，试问：经过多长时间电荷分布，试问：经过多长时间T，多长路程，多长路程S后，后，P第第一次返回其初始位置？一次返回其初始位置？dd3QQSQ1Q2-Q2Q1Pm，-qE1E2E3大学物理竞赛辅导(电学)28届届15.（20分）如图所示电路中，分）如图所示电路中，t0的粒子，以初速的粒子，以初速v0开始运动，若开始运动，

20、若v0与与B的夹角为锐角的夹角为锐角，则粒子运动的轨道是等距螺旋线，它的旋转半径，则粒子运动的轨道是等距螺旋线，它的旋转半径（注意：并非螺旋线的曲率半径）（注意：并非螺旋线的曲率半径）R=R= ，螺距，螺距H=H= 。Bvvv螺距螺距2 cosdv TmvqBqBmvRT22回转周期回转周期回转半径回转半径0sinmvRqB大学物理竞赛辅导(电学)28届届7.（6分）半径分）半径R R，电流，电流I I的大圆环，在其中央轴距的大圆环，在其中央轴距环心环心x x处的磁感应强度大小为处的磁感应强度大小为B(x)=B(x)= 。有一半径为有一半径为rRrR的小圆环，环心位于的小圆环，环心位于x x点

21、，环平面与点，环平面与x x轴轴垂直，如图所示，则小圆环与大圆环之间的互感系数近垂直，如图所示，则小圆环与大圆环之间的互感系数近似为似为M=M= 。OIRxxr0。可以过圆周上的。可以过圆周上的P1或或P2或或P3点设置一个点设置一个竖直、光滑、绝缘转轴，竖直、光滑、绝缘转轴， P1、P2、P3点的方位已经在点的方位已经在图中示出。设置转轴后，从静止释放的圆板便会作定图中示出。设置转轴后，从静止释放的圆板便会作定轴转动，转动角速度的最大值依次记为轴转动，转动角速度的最大值依次记为1max，2max ，3max ，三个中最大者为，三个中最大者为 。当角速。当角速度达到此值时，转轴提供的支持力大小

22、度达到此值时，转轴提供的支持力大小为为 。大学物理竞赛辅导(电学)27届届6.（6分）真空中一个正点电荷分）真空中一个正点电荷q处于一立方体内中处于一立方体内中心处，则通过该立方体表面的总电通量为心处，则通过该立方体表面的总电通量为 ；通过该立方体的上表面的电通量为通过该立方体的上表面的电通量为 。acdbq0iiSqSdE内大学物理竞赛辅导(电学)1717届届7.7.半径为半径为R R的半球面的半球面A A的球心的球心 OO位于位于O-O-z z轴上距轴上距O O点点R R处，半球面横截面与处，半球面横截面与O-O-xyxy面平行，坐标原点面平行，坐标原点O O处有一电量处有一电量为为q q

23、的点电荷，则半球面的点电荷，则半球面A A的电通量的电通量 . . 解：解：以以 为半径作一球面，为半径作一球面，它被半径为它被半径为R的半球面的半球面截下一球冠，球冠的高截下一球冠，球冠的高度为度为 ，球冠的，球冠的面积为：面积为：R2)2(RR 2)22(2)2(22RRRRS 球冠对点电荷球冠对点电荷q张的立体角为：张的立体角为：)22()2(2 RS已知点电荷已知点电荷q在在 立体角内的电通量为立体角内的电通量为 ，故在球冠，故在球冠上的电通量为：上的电通量为：40/ q)22(44)A(00qqe球面大学物理竞赛辅导(电学)27届届7.（6分）已知空气的击穿场强为分）已知空气的击穿场

24、强为E0，则置于空气，则置于空气中的半径为中的半径为R的球形高压起电器（可看作图示导体球壳的球形高压起电器（可看作图示导体球壳置于绝缘底座上）最高电压为置于绝缘底座上）最高电压为 ；若此高压起电器置于真空中，导体球壳上所带电量有若此高压起电器置于真空中，导体球壳上所带电量有无上限（回答有、无、不确定），并说明原因无上限（回答有、无、不确定），并说明原因 。0MURE有，表面受扩张力，电量太有，表面受扩张力，电量太大，则扩张力太大，导致导大，则扩张力太大，导致导体壳撑破体壳撑破R大学物理竞赛辅导(电学)ee2eaaOxr1r2x27届届11.（15分）如图所示，水平面上两个带有电量分）如图所示，

25、水平面上两个带有电量+e的点电荷，距离为的点电荷，距离为2a，有一，有一粒子（所带电量为粒子（所带电量为+2e），），很快地从这两个点电荷中间穿过，其路径恰好在两点很快地从这两个点电荷中间穿过，其路径恰好在两点电荷连线的中垂线上。如果电荷连线的中垂线上。如果粒子的速度很快，以致于粒子的速度很快，以致于两点电荷在两点电荷在粒子穿过时仍保持静止，试求粒子穿过时仍保持静止，试求：（：（1 1）当）当粒子处在位置粒子处在位置x x处时，两点电荷构成的体系与处时，两点电荷构成的体系与粒子之粒子之间的相互作用能；（间的相互作用能；（2 2） 粒子在那些位置时受作用力粒子在那些位置时受作用力最大。最大。大学

26、物理竞赛辅导(电学)静电场中导体性质： （稳定状态）1.导体内处处无电荷积累；2.导体内电场强度处处为0.大学物理竞赛辅导(电学)大学物理竞赛辅导(电学)SABCDqd1d0d2ABCDR0RxrK1K227届届15.（20分）四块面积同为分）四块面积同为S，原不带电的导体薄平板，原不带电的导体薄平板A、B、C、D依次平行放置，相邻间距很小，分别记为依次平行放置，相邻间距很小，分别记为d1，d0，d2，如，如图所示。给图所示。给B充以电量充以电量q0，再用图中虚直线所示的细导线连接，再用图中虚直线所示的细导线连接B、C，最终达到静电平衡。（，最终达到静电平衡。（1）试求）试求A到到D的电势降的

27、电势降UAD；现；现将图中所示系统达到静电平衡后，通过理想导线，电键将图中所示系统达到静电平衡后，通过理想导线，电键K1和和K2，电动势为电动势为的直流电源以及电阻分别为的直流电源以及电阻分别为R0，Rx和和r的电阻器连接的电阻器连接成图中所示电路。开始时成图中所示电路。开始时K1，K2均断开，而后接通均断开，而后接通K1，直到电，直到电路达到稳定状态。（路达到稳定状态。（2）试求该过程中从电源正极朝平板）试求该过程中从电源正极朝平板A流去流去的电量的电量Q，并判断，并判断Q的正负号；最后再接通的正负号；最后再接通K2，测得流过电阻器，测得流过电阻器r的电流强度始终为零。（的电流强度始终为零。

28、（3）设）设Rx为未知量，试求为未知量，试求Rx，并给出，并给出的取值范围。的取值范围。大学物理竞赛辅导(电学)26届届6.（6分）如图所示，平行板空气电容器已经被直流电源充分）如图所示，平行板空气电容器已经被直流电源充电到稳定状态，电容器存储的静电能记为电到稳定状态，电容器存储的静电能记为W0.（1）不断开直流）不断开直流电源，通过外力让相对介电常数为电源，通过外力让相对介电常数为r 的介质块从图示位置缓慢的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内，恰好填满两极板所夹空间，该过程中外地全部进入电容器内，恰好填满两极板所夹空间，该过程中外力做功力做功A A1 1= = W0。（2 2）若通过图中

29、电键）若通过图中电键K K先将直流电先将直流电源断开，再通过外力让相对介电常数为源断开，再通过外力让相对介电常数为r的介质块从图示位置缓的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内，该过程中外力做功量慢地全部进入电容器内，该过程中外力做功量A A2 2= = W0。Kr电阻电源10(1)rAW201(1)rAW大学物理竞赛辅导(电学)(21212002是电容器的体积VVEVEWr由此可得由此可得 插入介质板后插入介质板后, 电容器中的静电能为电容器中的静电能为外力做的功等于静电能的增加外力做的功等于静电能的增加, 即即020020020001) 1() 1(212121WVEVEVEWWArrr平

30、行板中插入介质板后平行板中插入介质板后, 由于两极板间的电压不变由于两极板间的电压不变, 因此电场强度也不变因此电场强度也不变解解 (1) 插入介质前电容器中静电能为插入介质前电容器中静电能为)(2121200200是电容器的体积VVEVEWrVEVEVEWrrr20022002212121因此因此 插入介质板后插入介质板后, 电容器中的静电能为电容器中的静电能为外力做的功等于静电能的增加外力做的功等于静电能的增加, 即即020020020002) 11() 11(212121WVEVEVEWWArrr(2) 由于断开电键后极板上的电荷不变由于断开电键后极板上的电荷不变, 因此因此 插入介质后

31、电容器的电场为插入介质后电容器的电场为01rEE大学物理竞赛辅导(电学)yzxPxu26届届7.（6分）如图所示，无穷大均匀带电平面上的电荷分）如图所示，无穷大均匀带电平面上的电荷面密度为面密度为，以平面上某点，以平面上某点O为原点设置为原点设置O-xyz坐标系，坐标系，其中其中x轴与带电平面垂直，轴与带电平面垂直，x轴上轴上P点的坐标点的坐标x0。令平面。令平面上的电荷一致地沿着上的电荷一致地沿着y y轴负方向匀速运动，速度大小为轴负方向匀速运动，速度大小为u u，将将 x x，y y 和和 z z 轴的方向矢量记为轴的方向矢量记为 ， 和和 ，那么，那么P P点的电场强度点的电场强度 =

32、= ，P P点的磁感点的磁感应强度应强度 = = 。iEjkB 02Ei01 2Bu k 大学物理竞赛辅导(电学)解解 (1) 无限大带电平面的电场强度为无限大带电平面的电场强度为iE02(2) 无限大带电平面上沿无限大带电平面上沿 主轴负方向的电主轴负方向的电流密度为流密度为udtdldldtudldtdSdlIj/由于对称性由于对称性, 如图所示的电流元如图所示的电流元dI1和和dI2在在P点产生的磁场点产生的磁场沿沿x轴抵消轴抵消. 由此可得由此可得P点处的磁感应强度为点处的磁感应强度为)2(cos200rIBdIrkdBkkBBzz无限长载流导线xyz0dI1dI2P1Bd2BdBdd

33、zuzkjdzrkcossin/2cos200dzzukcossin120)(cossin120 xtgdxtguk)(cos220tgduk2/2/02/2/2202seccos2dukdukkuuk00212大学物理竞赛辅导(电学)B PROv026届届12.（15分）如图所示，所在平面为某惯性系中无重力的空分）如图所示，所在平面为某惯性系中无重力的空间平面，间平面，O处固定着一个带负电的点电荷，空间有垂直于图平面处固定着一个带负电的点电荷，空间有垂直于图平面朝外的匀强磁场朝外的匀强磁场B。荷质比为。荷质比为的带正电粒子的带正电粒子P，恰好能以速度，恰好能以速度v0沿着逆时针方向绕着沿着逆

34、时针方向绕着O点做半径为点做半径为R 的匀速圆周运动。的匀速圆周运动。（1 1）将）将O处负电荷电量记为处负电荷电量记为- -Q，试求试求Q；（2 2）将磁场）将磁场 B 撤去，撤去，P将绕将绕O作作椭圆运动，设在图示位置的处速度椭圆运动，设在图示位置的处速度为为v v0 0，试求，试求P在椭圆四个顶点处的在椭圆四个顶点处的速度大小。（本小问最后答案不可速度大小。（本小问最后答案不可出现出现Q量。）量。）大学物理竞赛辅导(电学)解解 : (1) 点电荷无重力点电荷无重力, 在库仑力和洛仑兹力作用下作圆周运动在库仑力和洛仑兹力作用下作圆周运动reeRQqF204设带电粒子设带电粒子P的电量为的电

35、量为 q, 质量为质量为m; 则粒子所受的库仑力为则粒子所受的库仑力为带电粒子带电粒子P磁场中所受的洛仑兹力为磁场中所受的洛仑兹力为rmeBqBqF0带电粒子带电粒子P所受的合力方向沿半径方向指向圆心所受的合力方向沿半径方向指向圆心O, 大小为大小为BqRQqFFFme204带电粒子作圆周运动的向心力等于所受的合力带电粒子作圆周运动的向心力等于所受的合力, 即即BqRQqRm20204BRQR0202041220004()RQBR大学物理竞赛辅导(电学)(2) 撤去磁场粒子只受库仑力作用撤去磁场粒子只受库仑力作用, 由于开始库仑由于开始库仑力大于所需向心力力大于所需向心力, 因此粒子将作椭圆运

36、动因此粒子将作椭圆运动. 设椭圆中心与点电荷设椭圆中心与点电荷Q的距离为的距离为x, 则根据角动量守恒定律则根据角动量守恒定律, 1和和2两个位置对点电荷两个位置对点电荷Q有有) 1 ()2(2021xRmRmLL起始点也就是椭圆的最远端点起始点也就是椭圆的最远端点, 该处速率最小该处速率最小, 大小为大小为v0,由由于该处速度垂直于半径于该处速度垂直于半径, 因此起始位置的椭圆因此起始位置的椭圆“半径半径”应小应小于该处库仑力对应的圆周半径于该处库仑力对应的圆周半径, 如图所示如图所示.0RQ由能量守恒定律有由能量守恒定律有) 2()2(421421022020 xRQqmRQqm0RQv2

37、v3v4由由(1)式得式得RxR202 代入代入(2)式得式得02022020421421RQqmRQqm200204RQqBqRm将将代入得代入得020202202020)(21)(21BRqmmBRqmm大学物理竞赛辅导(电学)020202202020)(21)(21BRqmmBRqmm2020020220020)()(21)(BRqmmmBRqm202022020)(2)(2qBRmmmBRqm20202220222mmmqBRBRq20202)()(2mqBR02022)(2mqBRmqBR022BR即0RQv2v3v4角动量守恒角动量守恒) 4(330RmmR由对称性可得由对称性可得

38、 v3= v4. 设位置设位置3处椭圆的半径为处椭圆的半径为R3, 则有则有由能量守恒定律有由能量守恒定律有) 5 (421421223023020 xRQqmRQqm)2()2)(2(2020020RBBRxRRBxRRxR大学物理竞赛辅导(电学)0RQv2v3v4) 4(330RmmR) 5 (421421223023020 xRQqmRQqm022RBBRx由由(4)式得式得033RR 将将R3和和x 代入代入(5)式得式得202203023020)2()(421421RBBRRQqmRQqmBqRmRQq020204将将代入上式得代入上式得20220320202302020)2()()

39、(21)(21RBBRRBRqRmmBRqmm2023002023020)2()()(2121RBRBBRqmmBRqm大学物理竞赛辅导(电学)0RQv2v3v4由此解得由此解得, 0043)2(BR2023002023020)2()()(2121RBRBBRqmmBRqm试卷题解解法：试卷题解解法：大学物理竞赛辅导(电学)/jEE0E0E26届届14.（15分）导体内存在电场时就会有传导电流，电流密度分）导体内存在电场时就会有传导电流，电流密度 与电场强度与电场强度 之间的关系为之间的关系为 ，其中，其中 为导体电阻率。为导体电阻率。取一块电阻率为常量取一块电阻率为常量 的长方形导体块，静止

40、放置，开始时处的长方形导体块，静止放置，开始时处处无净电荷。处无净电荷。（1 1） 开始，沿着导体块长度方向建立匀强电场开始，沿着导体块长度方向建立匀强电场 ，导体，导体内即产生传导电流，左右两端面便会累积电荷，电荷面密度分别内即产生传导电流，左右两端面便会累积电荷，电荷面密度分别记为记为-，如图所示。试求，如图所示。试求随随 t 变化的关系和图示方向电变化的关系和图示方向电流密度流密度 j 随随 t 变化的关系；变化的关系；（2 2）将（）将（1 1）中的电场）中的电场 改取为沿导体长度方向的交变电改取为沿导体长度方向的交变电场场 ，其中，其中为正的常量。（为正的常量。（2.1）试求）试求-

41、t 和和 j-t ；（2.22.2）将）将t t时的时的 j-t 表述成表述成 ，试求，试求 和和 。jE/jE0t 0E0E0cosEt0cos()jjt0jtan大学物理竞赛辅导(电学)解解 : (1) 设设t时刻导体左右两端的电荷密度为时刻导体左右两端的电荷密度为-和和 , 则由此产生的电场为则由此产生的电场为0E因此导体内的总电场为因此导体内的总电场为000EEEEEE)(1) (1)(000EEEEdtdtj由题意得由题意得, dtEdEdtd0000001)()(1积分得积分得)1 ()(1)(ln010000000teEttEEtteEeEdtdtj00101000)(1()(因

42、此电流密度为因此电流密度为大学物理竞赛辅导(电学)(2) 根据根据(1)的分析的分析, t时刻导体左右两端的电荷密度时刻导体左右两端的电荷密度- 和和 满足的方程为满足的方程为)(1) (1000EEEEdtdj)cos(1)(1000000tEEdtdtEdtdcos1100令令 tEQPcos1,100由提示得由提示得, 00tdtPdtCettEdtteEdtQettPdt00)sin/1(cos)/1 (/11cos10202000大学物理竞赛辅导(电学)将上述两式代入方程的解得将上述两式代入方程的解得, )sin(cos1)()(0002000CettEetttCettEdtteEd

43、tQettt000)sin/1(cos)/1 (/11cos10202000CettEt0)sin(cos1)(0200000tdtPdt0)sin(cos1)(02000tCettE由由t=0时时=0 , 得得0)0sin0(cos1)(02000CE即即1)(2000EC将将C代入电荷密度式得代入电荷密度式得)sin(cos1)()(002000tettEt大学物理竞赛辅导(电学)sin(cos1)()(002000tettEt由此可得电流密度为由此可得电流密度为)sin(cos1)()(002000tettdtdEdtdtj1)cossin1)(00022000tettE1sincos1

44、)(0002000tettEsincos1)()(,02000ttEtjt则有sin1)(1cos1)( 1)(1)(20200202000ttEsin1)(1cos1)(1)(202002000ttE大学物理竞赛辅导(电学)sin1)(1,cos1)(202000令则有则有)sinsincos(cos1)()(2000ttEtjsin1)(1cos1)(1)()(202002000ttEtj)cos()cos(1)(02000tjtE式中式中1)(20000Ej01cossintan大学物理竞赛辅导(电学)解解: 1、2间的线剪断后间的线剪断后, 1和和2 向左运动向左运动, 3向右运动向右

45、运动. )2(43)2(442212121020202232221lqlqlqmmm运动过程中只有静电场力做功运动过程中只有静电场力做功, 因此能量守恒因此能量守恒, 即即312v3v1v2当三个小球在竖直方向成一直线时当三个小球在竖直方向成一直线时, 3的速度为最大的速度为最大.) 1 (;021321且mmm三个小球组成的系统所受合外力为零三个小球组成的系统所受合外力为零, 动量守恒动量守恒, 即即由由(1)式得式得, 12322代入代入(2)式得式得, lqmm022323421214125 届届大学物理竞赛辅导(电学)312v3v1v2lqmm0223234212141lqm02234

46、2143由此可得球由此可得球3的最大速度的最大速度, lmq02max36312v3v1v2312312v3v1v2系统在运动过程中系统在运动过程中, 合外力为零合外力为零, 质心不动质心不动.因此因此3运动的最大距离为运动的最大距离为llmlms3322334330cos220maxCCC25 届届大学物理竞赛辅导(电学)rerqQERr2034:(2) 求球壳的电势求球壳的电势: 由高斯定理可得由高斯定理可得, 球壳外的电场强度为球壳外的电场强度为因此球壳外表面的电势为因此球壳外表面的电势为3333204RrRRRQqVE dlE dre drr32003144RQqQqdrrR解解 静电

47、平衡时静电平衡时, 球壳内表面带电球壳内表面带电-(Q+q), 外表面均匀带电外表面均匀带电Q+qQ+q-(Q+q)25 届届大学物理竞赛辅导(电学)(1) 求导体表面的电势求导体表面的电势2024)(RqQV(ii) 球壳内表面的电荷在导体球上产生的电势为球壳内表面的电荷在导体球上产生的电势为1014RQV(i) 导体球的电荷在其表面产生的电势为导体球的电荷在其表面产生的电势为3034)(RqQV(iii) 球壳外表面的电荷在导体球上产生的电势为球壳外表面的电荷在导体球上产生的电势为(iv) 点电荷点电荷q 在导体球心位置产生的电势为在导体球心位置产生的电势为rqV044Q+q-(Q+q)由

48、此可得由此可得, 导体球上的电势为导体球上的电势为rqRqQRqQRQVVVVV0302010432144)(4)(4V1V4可以用电可以用电势叠加的方法势叠加的方法加以证明加以证明.大学物理竞赛辅导(电学);433312rrrrrR由此可算出各节点的电阻由此可算出各节点的电阻: ;564115/4115/41)2()2(343456rrrrrrrRrrRRrrrrrrrRrrRR15114/114/11)2()2(121234rrrrrrrRrrRRAB20915356/15356/153)2()2(5656123456BA解解 (1) AB间等效电路图为间等效电路图为12345612345

49、625 届届大学物理竞赛辅导(电学)解解lSlSlSElFAS02022) 1 (20200020221)(212)/(2)2(EElSlSlSAVAwe25 届届大学物理竞赛辅导(电学)(3) 求均匀带电球求均匀带电球面上面上的电场强度的电场强度假设用一外力假设用一外力F缓慢朝里推移球面电荷缓慢朝里推移球面电荷, 如图所示如图所示, 向里推移向里推移dr所做的功为所做的功为drQEFdrdAR外力所做的功转化为电场能储存在向里推移形成的球壳内外力所做的功转化为电场能储存在向里推移形成的球壳内(球壳内原来无电场球壳内原来无电场).球壳的体积为球壳的体积为drRSdrdV24球壳内的能量密度为球

50、壳内的能量密度为2244RQEdrRdrQEdVdAwRReRSSRSRQEdqEEdqdFF所需力的大小为所需力的大小为)4()4(212120220020RQERQEwe场根据高斯定理球壳内电根据第根据第2问的结论问的结论, 球壳内的能量密度为球壳内的能量密度为22002)4(214RQRQER由此得到球壳表面的电场强度为由此得到球壳表面的电场强度为208RQER大学物理竞赛辅导(电学)解解: 随时间变化的均匀磁场产生感生电场随时间变化的均匀磁场产生感生电场dtdBrEdtdBrdtdErkk22225 届届大学物理竞赛辅导(电学)解得解得在最高点在最高点处相切处相切大学物理竞赛辅导(电学)例：原来不带电的导体球附近有一点电荷例：原来不带电的导体球附近有一点电荷,如图所示。如图所示。求求（1）导体球上的电势；（）导体球上的电势；（2）若导体球接地，）若导体球接地，导导体上感应电荷的电量体上感应电荷的电量解解:设：感应电荷面密度为设：感应电荷面密度为 00d44oqSVdRdQSqRod（1）导体是个等势体，若求出）导体是个等势体，若求出O点的电势，即为导体球的电势。点的电势，即为导体球的电势。04qd0大学物理竞赛辅导(电学)（2）导体球接地）导体球接地导体是个等势体，导体是个等势体，O点的电势为点的电势