数学物理方程举例和基本概念学习教案

1、会计学1数学物理数学物理(wl)方程举例和基本概念方程举例和基本概念第一页，共47页。 热热量量 质质量量 守守恒恒定定律律： 费费克克 FickFick 定定律律： 扩扩散散定定律律 高高斯斯 GuassGuass 定定律律： 11, , ,Dtu x y z t物物体体 内内部部各各点点温温度度由由任任一一时时刻刻 的的温温度度 221, , ,tu x y z tQ变变化化为为 的的温温度度所所吸吸收收 或或放放出出 的的热热量量， 浓浓度度变变化化所所需需增增加加 或或减减少少 的的质质量量 12tt等等于于从从 到到 这这段段时时间间内内进进入入 或或流流出出 物物体体内内部部的的净

2、净23QQ流流热热量量与与物物体体内内部部的的源源所所产产生生的的热热量量之之和和，即即123.QQQ 一般说来，由于(yuy)浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移，这种现象叫扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。S通通过过任任一一闭闭曲曲面面 的的电电通通量量，等等于于这这个个闭闭曲曲面面所所包包围围的的1 自自由由电电荷荷的的电电量量的的倍倍，即即其其中中， 为为介介电电常常数数， 为为电电荷荷体体密密度度。1dd,SVESV nnqqk u 粒粒子子流流强强度度 与与浓浓度度的的下下降降率率成成正正比比，即即k其其中中， 为为扩扩散散系系数数，负负号号表表示示浓浓度度

3、减减少少的的方方向向。第2页/共47页第二页，共47页。参考书目参考书目:数学物理方程学习指导数学物理方程学习指导(zhdo)与习题解答与习题解答 陈才生陈才生 科学出版社科学出版社 2010年年数学物理数学物理(wl)方程与特殊函数学习指南方程与特殊函数学习指南 王元明王元明 高等教育出版社高等教育出版社 2004年年数学物理方程与特殊函数学习指导数学物理方程与特殊函数学习指导(zhdo)与习题全解与习题全解 赵振海赵振海 大连理工大连理工大学出版社大学出版社 2003年年数学物理方法学习指导数学物理方法学习指导 姚端正姚端正 科学出版社科学出版社 2001年年数学物理方程与特殊函数数学物理

4、方程与特殊函数 导教导教导学导学导考导考 张慧清张慧清 西北工业大学出版社西北工业大学出版社 2005年年超星数字图书馆超星数字图书馆（注（注: 网络图书馆）网络图书馆）第3页/共47页第三页，共47页。 数学数学(shxu)物理方程：物理方程： 方程(fngchng)的几个基本概念 定义定义(dngy)：主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有时也包括主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。例如：例如： 1 描描绘绘振振动动和和波波

5、振振动动波波，电电磁磁波波 动动特特征征的的波波动动方方程程: :2.ttxxua uf 2:热热传传导导 反反映映输输或或扩扩运运程程的的散散 方方程程过过2, Laplace.tuauf 其其中中 是是算算子子 ;3 描描述述稳稳定定过过程程或或状状态态，如如：引引力力势势和和PoissoPoisso静静电电势势满满足足n n方方程程的的20, Laplace.auh 其其中中 是是算算子子0, 0.hu 若若则则退退化化为为LaplaceLaplace方方程程: :双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型典型方程典型方程 数学物理方程的发展历史简述数学物理方程的发展历史简述偏微分方程理论的起

6、源可追溯到十八世纪（微积分产生之后），偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后），人们将力人们将力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。例如：例如：1715年，泰勒年，泰勒（1746年，达朗贝尔）年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。这一这一第4页/共47页第四页，共47页。讨论讨论(toln)吸引了众多数学家的吸引了众多数学家的注意。注意。例如例如(lr)：欧拉（：欧拉（1759年）和丹年）和丹贝努利（贝努利（1762年年）在声波的研究）在声波的研究(ynji)中将该方程推广

7、到二、中将该方程推广到二、三维。三维。这样就由对弦振动的研究这样就由对弦振动的研究开创开创了了数学物理方程数学物理方程这门学科这门学科。随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁相互随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。例如：例如：1780年，年，Laplace在研究引力势的工作中提出了在研究引力势的工作中

8、提出了Laplace方程。方程。Euler与与 Lagrange在流体力学的工作中，在流体力学的工作中，Legendre和和Laplace在天体力学的工作中都研究了调在天体力学的工作中都研究了调和方程。和方程。所有这些都所有这些都丰富了丰富了这门学科的内容。这门学科的内容。数学物理问题的研究数学物理问题的研究繁荣起来繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的解决做是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。如：出了贡献。如：Fourier（ 1811年）年） ，在研究热的传播中，提出了三维空间的热传导方程，在研究热的传播中，提出了三维空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程

9、的发展产生了重大影响。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy给出了第一个关于解的存在定理，给出了第一个关于解的存在定理，开创了开创了PDE的现代理论的现代理论。到。到19世纪末，二阶线性世纪末，二阶线性PDE的一般理论已基本建立，的一般理论已基本建立，PDE这门这门学学科开始形成科开始形成。从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也有了新的面貌有了新的面貌。不断涌现。不断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。例如：例如：爱因斯坦方程（引

10、力场），爱因斯坦方程（引力场），Yang-Mills方程（规范场）方程（规范场）第5页/共47页第五页，共47页。 偏微分方程偏微分方程(wi fn fn chn)方程中除了含有几个自变量和未知函数方程中除了含有几个自变量和未知函数(hnsh)(hnsh)外，还含有未知函数外，还含有未知函数(hnsh)(hnsh)的的偏导数偏导数( (也可仅含偏导数也可仅含偏导数) )的方程称为偏微分方程。的方程称为偏微分方程。 定义定义(dngy)一般形式：一般形式：1212, ,0.nnuuuFx xx uFxxx ，其其中中 为为已已知知函函数数 方程的阶方程的阶方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称

11、为方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶偏微分方程的阶。 方程的分类方程的分类线性偏微分方程线性偏微分方程如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次的），如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次的），且其系数仅依赖于自变量，就称之为且其系数仅依赖于自变量，就称之为线性偏微分方程线性偏微分方程。非线性偏微分方程非线性偏微分方程如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），则称其为则称其为拟线性偏微分方程拟线性偏微分方程。若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线

12、性的（一次的），而其若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为半线性偏微分方程半线性偏微分方程。第6页/共47页第六页，共47页。对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数(hnsh)及其偏导数的项称之为自由项。及其偏导数的项称之为自由项。线性偏微分方程线性偏微分方程(wi fn fn chn)可分为可分为当自由当自由(zyu)项为零时项为零时齐次方程齐次方程当自由项为非零时当自由项为非零时非齐次方程非齐次方程判判断断下下列列方方程程的的类类型型，并并

13、指指例例如如：出出方方程程的的阶阶 22222221 , , ,;uuuuafx y z ttxyz 2222222 0;uuuxyy 222223 ;uuatx 242244 ,;uuafx ttx 22222225 1210;uuu uuuuyxxyx yxy 336 0;uuucutxx 07 ;0uvxyuvyx 208 ;0uutxxuucutxx 2阶阶2阶阶2阶阶4阶阶2阶阶1阶阶1阶阶3阶阶线性线性线性线性线性线性线性线性非线性非线性非线性非线性线性线性非线性非线性非齐次非齐次齐次齐次齐次齐次非齐次非齐次齐次齐次半线性半线性拟线性拟线性拟线性拟线性第7页/共47页第七页，共47

14、页。判判断断下下列列方方程程的的类类型型，并并指指例例如如：出出方方程程的的阶阶 22221 1;puuuuptxy，其其中中是是常常数数2阶阶 22222 , , , ,;uuuuuua x yb ufx y uxyxyxy2阶阶 2222223 ;uuuxy2阶阶非线性非线性半线性半线性非线性非线性拟线性拟线性非线性非线性完全完全(wnqun)非非线性线性 偏微分方程具有偏微分方程具有(jyu)3个特点个特点特点特点1：解的自由度比常微分方程大。这是因为：解的自由度比常微分方程大。这是因为n阶常微分方程的解通常依赖于阶常微分方程的解通常依赖于n个任个任意意(rny)常数；而对常数；而对n阶

15、偏微分方程，其解通常依赖于阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意个任意(rny)函数函数.注注：一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等.特点特点2：偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。注注：常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也 有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。 特点特点2：解具有叠加性解具有叠加性注注：解的叠加原理对解的叠

16、加原理对任何阶的线性方程任何阶的线性方程都适用，而对都适用，而对非线性方程非线性方程不成立不成立. 第8页/共47页第八页，共47页。 定解条件定解条件(tiojin)与定解问题与定解问题 定解条件定解条件(tiojin)的的定义定义定解条件是确定数学定解条件是确定数学(shxu)物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。一性的充分必要条件。 定解条件的种类定解条件的种类定定解解条条件件初初始始条条件件边边界界条条件件衔衔接接条条件件定定义义：体体现现物物理理过过程程初初始始状状况况的的数数学学表表达达式式个数：个数：关于时间关

17、于时间t的的n阶偏微分方程，要给出阶偏微分方程，要给出n个初始条个初始条件才能确定一个特解件才能确定一个特解定义：体现物理过程边界状况的数学表达式定义：体现物理过程边界状况的数学表达式种类种类第一类边值条件第一类边值条件第二类边值条件第二类边值条件第三类边值条件第三类边值条件个数：类似于初始条件的情况个数：类似于初始条件的情况由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交界处需给由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交界处需给定两个衔接条件定两个衔接条件其其他他条条件件：由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函数由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附

18、加条件附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加条件称为称为自然边界条件自然边界条件.第9页/共47页第九页，共47页。定解问题定解问题(wnt)初值问题：初值问题：由泛定方程由泛定方程(fngchng)和初始条件构成的定解问题，也称为柯和初始条件构成的定解问题，也称为柯西（西（Cauchy）问题）问题.边值问题：边值问题：由泛定方程和边值条件由泛定方程和边值条件(tiojin)构成的定解问构成的定解问题题.混合问题：混合问题：由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题.注意：注意：泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性泛定方程只能反映和描述同一类现

19、象的共同规律，即共性. 定解条件描述定解条件描述物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解问题（数学模物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解问题（数学模型）型）. 定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性微分方程的解微分方程的解假设方程的阶数为假设方程的阶数为n，若函数，若函数u在所考虑的区域内具有在所考虑的区域内具有n阶的连阶的连续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，则称则称u为为方程的方程的解解（或（或古典解古典解）. 若方程解若方程解u的表达式中含有的表达式中含有n个任意

20、常数（或函数），则称个任意常数（或函数），则称u是方程的是方程的通解通解（或（或一般解一般解）.通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的解，通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的解，称之为称之为定解问题的解定解问题的解。未经过验证的解，称之为未经过验证的解，称之为形式解形式解。注注：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们按较：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们按较弱的意义满足方程，这种解称为弱的意义满足方程，这种解称为广义解广义解。第10页/共47页第十页，共47页。定解问题定解问题(wnt)的适定性的适定性或者

21、，定解问题的提法或者，定解问题的提法(t f)是否适是否适合？合？如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据或边界数据，则称如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据或边界数据，则称该定解问题是该定解问题是适定的适定的，否则称它是，否则称它是不适定的不适定的.注：注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！对不适定问题的研究也是非常有意义的！例如：例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中.例如：例如：注：注：对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。对不适定问题的研究已成为

22、偏微分方程的一个重要研究方向。1923年，阿达马（年，阿达马（J.S. Hadamard，法，法国）提出国）提出第11页/共47页第十一页，共47页。基本基本(jbn)步骤步骤 数学数学(shxu)物理方程的导出物理方程的导出1 1、明确要研究的物理量是什么、明确要研究的物理量是什么(shn me)(shn me)？建立适当的坐标系，从所研究的系统？建立适当的坐标系，从所研究的系统中中2 2、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；3 3、化简、整理即得所研究问题的偏微分方程（泛定方程）。、化简、整理即得所研究问题的

23、偏微分方程（泛定方程）。划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用； 弦振动弦振动方程和定解条件方程和定解条件物理模型物理模型（弦的微小横振动问题弦的微小横振动问题）l 细细弦弦设设有有一一根根拉拉紧紧的的均均匀匀，其其长长为为 ，线线密密软软度度为为柔柔，且且在在单单位位长长度度上上受受到到F垂垂直直于于弦弦向向上上的的力力 初初始始小小扰扰动动后后，在在平平衡衡位位置置附附近近作作微微小小横横振振动动. .试试确确定定该该弦弦上上各各点点的的运运动动规规律律. .分分析析. . 如如图图选选择择坐坐标标系系，xPxxQFxuoA ,u x ttx设设

24、表表示示弦弦上上各各点点在在时时刻刻 沿沿垂垂直直于于 方方向向的的位位移移. .利利用用建建微微元元法法立立方方程程. . ,x xx 任任取取一一弧弧段段它它的的弧弧长长为为21dxxxxPQux . x 第12页/共47页第十二页，共47页。xxxxPQFuPTQT , x xx 这这说说明明：弧弧段段在在整整个个振振动动过过程程中中始始终终没没.发发生生伸伸长长变变化化HookeTt由由定定律律，张张力力 与与时时间间 无无关关. .另另一一方方面面，注注意意到到 coscosT xT xx cos1,cos1由由于于，所所以以 T xT xx Tx这这说说明明：张张力力 与与位位置置

25、 无无关关. .T故故张张力力 是是一一个个常常数数. . , x xxTu 作作用用于于弧弧段段的的张张力力 沿沿着着 轴轴方方向向的的分分量量为为sinsin,TT 其其中中sintancos1tansec 21tan1tan 21xxuu ,.xux t sin,.xuxx t 类类似似地地， , x xx 作作用用于于弧弧段段的的合合外外力力为为sinsin,TTF xdx根根据据NewtonNewton第第二二定定律律，可可得得微微元元的的横横振振动动方方程程为为sinsinttTTF xx u 第13页/共47页第十三页，共47页。即即 ,xxttTuxx tTux tF xx u

26、 应应用用LagrangeLagrange微微分分中中值值定定理理，有有 ,xxttTuxx txF xx u 0,1 . 0 xxxx 令令，有有，上上式式可可写写为为 ,xxttTux tFu 2TFaf 记记，上上式式可可化化简简为为 2,.ttxxua ux tf公式被称为弦的强迫横振动方程公式被称为弦的强迫横振动方程(fngchng)（又称一维非齐次波动（又称一维非齐次波动方程方程(fngchng)）.0FF 若若外外力力 消消失失，即即，则则公公式式弦弦的的自自由由横横振振被被称称为为动动方方程程. .讨论讨论(toln) 若考虑若考虑(kol)弦的重量，则弦的重量，则 , x x

27、x 作作用用于于弧弧段段的的合合外外力力为为sinsinTTF xxg dx根根据据NewtonNewton第第二二定定律律，可可得得微微元元的的横横振振动动方方程程为为sinsinttTTF xxgx u 或或者者 ,xxttTux tFgu 2,.ttxxua ux tfg第14页/共47页第十四页，共47页。推广推广(tugung)（如薄膜振动（如薄膜振动(zhndng)等）等）22(), ( , , )ttxxyyttxxyyua uuua uuf x y t 或或) )（如弹性体振动、电磁波或声波（如弹性体振动、电磁波或声波(shn b)传播等）传播等）22() ( , , )ttx

28、xyyzzttxxyyzzua uuuua uuuf x y t或或) )222222Laplacexyz 称为算子上述公式虽然为弦振动方程，但在力学上上述公式虽然为弦振动方程，但在力学上弹性杆的纵振动弹性杆的纵振动，建筑物的剪振动建筑物的剪振动，潮汐潮汐波波，地震波地震波，管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播以及以及电报方程电报方程等问题，都等问题，都说明：说明：只是其只是其可以用这个方程描述。可以用这个方程描述。这些物理现象的这些物理现象的共性共性是振动产生波的传播。是振动产生波的传播。中的未知函数中的未知函数表示的物理意义不同表示的物理意义不同。第15页/共47页第十五页，共47

29、页。定解条件定解条件(tiojin)(tiojin)的提法的提法初始条件初始条件（初始状态）（初始状态）注：未知函数注：未知函数(hnsh)(hnsh)关于时间为二阶导数，需要两关于时间为二阶导数，需要两个初始条件！个初始条件！ 00,0 ,0 tttu xxuxu xxuxt 初初始始位位移移 或或初初始始速速度度 或或边值条件边值条件(tiojin)（边界上的约束）（边界上的约束）注注：如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件，但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实，但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实际上也是边值条

30、件际上也是边值条件 1第第一一类类 固固定定端端边边值值条条件件（Dirichlet边界条件）边界条件） 120, 0.xx lututt 2第第二二类类 自自由由端端边边值值条条件件（Neumann边界条件）边界条件）00sintanxxTT0, 0.xuTtx 3第第三三 弹弹类类性性支支承承端端边边值值条条件件（Robin边界条件）边界条件）00, 0, .xxxx LkuuuuT第16页/共47页第十六页，共47页。两端弦的张力对外界沿着垂直方向两端弦的张力对外界沿着垂直方向(fngxing)的作用力分别的作用力分别是是 两端受垂直方向两端受垂直方向(fngxing)的（已知）外力的作

31、用。的（已知）外力的作用。 两端两端(lin dun)不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑动）。动）。 12tt记记垂垂直直方方向向的的外外力力分分别别为为：，l0 xABTu由于由于0 xx luuTTxx ， 它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即 120.xx luuTtTtxx， 120.xx lttuunTnT， 此时边界条件为此时边界条件为00.xx luuxx称为称为自由边界条自由边界条件件 2第第二二类类 自自由由端端边边值值条条件件第17页/共47页第十七页，共4

32、7页。 3第第三三 弹弹类类性性支支承承端端边边值值条条件件若若弦弦的的两两端端被被束束缚缚在在可可沿沿垂垂直直方方向向位位移移的的弹弹簧簧上上，其其中中左左、右右两两弹弹簧簧平平衡衡位位0101uu置置的的高高度度分分别别为为和和 ，弹弹性性系系数数分分别别为为和和。0-u u根根据据胡胡可可定定律律，左左边边弹弹簧簧产产生生偏偏离离其其平平衡衡位位置置的的位位移移的的作作用用力力为为 000,xuu 它它应应等等于于弦弦对对左左侧侧弹弹簧簧沿沿垂垂直直方方向向的的作作用用力力0,xuTx 即即 0000.xxuuuTx 或或者者0000.xuxTuTu 11,x luu ,x luTx 1

33、1.xxlluxuuT 111.x luuxTuT 0101TT 记记，则则上上面面边边界界条条件件可可写写成成0101100, xx luunnuuuu第18页/共47页第十八页，共47页。 热传导方程（也统称热传导方程（也统称(tngchng)为输运方程）和定解条件为输运方程）和定解条件物理物理(wl)模型（热传导问题）模型（热传导问题）G在在三三维维空空间间中中，考考虑虑一一、的的导导热热物物体体 ，假假设设它它的的均均匀匀各各向向同同性性内内部部有有热热源源，且且与与周周围围介介质质有有热热交交换换，.研研究究它它的的内内部部各各点点在在任任意意时时刻刻的的温温度度所所满满足足的的方方

34、程程物理物理(wl)定律定律：热量守恒定律： 1Q物物体体内内部部的的热热量量的的增增加加 或或减减少少=3Q物物体体内内部部的的热热源源所所产产生生的的热热量量 2Q通通过过物物体体截截面面流流入入 或或流流出出 的的热热量量+Fourier实热传导定律验定律 ：.uuqnqknn 热热流流强强度度 与与温温度度沿沿界界面面外外法法向向 的的变变化化率率成成正正比比，即即 , ,.kk x y z 其其中中为为热热传传导导系系数数分分析析. . 3, , ,RGu x y z tt设设导导热热物物体体在在空空间间内内占占据据的的区区域域为为 ，表表示示它它在在 时时刻刻利利用用建建微微元元法

35、法立立方方程程. . , ,x y z 处处的的温温度度. . MSDndS1 .DQ内内温温度度改改变变所所需需要要的的热热量量1dQ , ,c x y z , ,dx y zV 21, , , , ,u x y z tu x y z t 12, , , , ,Du x y z tu x y z t则则在在区区域域 内内，温温度度由由到到所所需需的的热热量量为为第19页/共47页第十九页，共47页。 MSDndS 121, , , , ,dDQcu x y z tu x y z tV 21, , ,d dttDu x y z tctVt 21ddttDucVtt 2 .SDQ 通通过过 进进

36、入入 内内的的热热量量根根据据热热传传导导定定律律， ddtnSn在在时时刻刻内内通通过过法法向向 的的曲曲面面微微元元，流流向向 所所指指那那一一侧侧的的热热量量为为: :2dddQqtSdduktSn 12ttSD则则从从时时刻刻 到到 ，通通过过 进进入入 的的热热量量为为212ddttSuQkStn 21ddttSk nuSt T123.,nn n n 其其中中 21123ddttSkukukunnnStxyz21ddttDuuukkkVtxxyyzz第20页/共47页第二十页，共47页。3 .Q 热热源源提提供供的的热热量量ddtV在在时时刻刻内内从从微微体体积积内内放放出出的的热热

37、量量为为 3d, , ,ddQF x y z ttV , , ,.F x y z t其其中中是是热热源源强强度度12ttD则则从从时时刻刻 到到 ， 内内热热源源提提供供的的热热量量为为 213, , , dd .ttDQF x y z tVt 123+QQQ 于于是是，根根据据热热量量守守恒恒定定律律：，有有21ddttDucVtt 21ddttDuuukkkVtxxxyxz 21+, , ,dd .ttDF x y z tVt12ttD由由时时刻刻 ， 和和区区域域 的的任任意意性性，可可得得 +, , ,.uuuuckkkF x y z ttxxxyxz .各各向向同同性性体体的的非非均

38、均匀匀热热传传为为的的方方称称导导方方程程程程第21页/共47页第二十一页，共47页。k c 如如果果导导热热体体是是均均匀匀的的，此此时时 , , , ,以以及及 均均为为常常数数. . 2, , ,kafx y z tc 记记， 1, , ,. F x y z tc 则则上上述述方方程程化化为为 2222222+, , ,uuuuafx y z ttxyz 2, , ,.aufx y z t .方方程程称称为为三三维维热热传传导导方方程程特例特例(tl) 1 若考虑一根均匀的导热细杆，假设它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同，,ux t那么温度 只与有关，方程变成一一维维热热传传导导方

39、方程程2.txxua u 2 若考虑一块导热的薄板，且它的侧面绝热，则可得二二维维热热传传导导方方程程2.txxyyuauu说明说明(shumng)方程方程(fngchng)虽通常被称为热传导方程虽通常被称为热传导方程(fngchng)，但绝不只用，但绝不只用于表述热传导现象于表述热传导现象.例如：例如：考察气体的扩散考察气体的扩散, ,液体的渗透液体的渗透, , 半导体材料中的杂质扩散等物理过程，都可用这个方程半导体材料中的杂质扩散等物理过程，都可用这个方程来刻画来刻画. . 故该方程也被称为故该方程也被称为扩散方程扩散方程. .第22页/共47页第二十二页，共47页。定解条件定解条件(ti

40、ojin)的提法的提法初始条件初始条件（初始状态）（初始状态）注：未知函数注：未知函数(hnsh)关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件！关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件！ 0, ,tux y z 初初始始温温度度 ，其其中中 是是已已知知函函数数。边值条件边值条件(tiojin) u 在在边边界界上上直直接接给给出出未未知知函函数数第第一一边边值值条条件件的的值值，即即 , , , , ,0.ux y z tx y zt 当当为为常常数数时时，表表示示物物体体的的边边界界保保持持恒恒温温。 un 在在边边界界上上给给出出未未知知第第二二函函数数 沿沿边边界界的的外外法法向向边边值值条条

41、件件的的方方向向导导数数的的值值，即即 , , , , ,0.ux y z tx y ztn ， , , ,0 x y z t 特特别别地地，当当，表表示示边边界界面面绝绝热热。Fourier在在导导热热过过程程中中，由由定定律律知知， , , , 0.ukx y z ttn ，故故已已知知通通过过物物体体第第二二的的边边界界流流入入物物体体类类边边界界条条件件表表示示：的的热热流流强强度度。第23页/共47页第二十三页，共47页。 un 在在边边界界上上给给出出未未知知函函第第三三边边数数 及及其其沿沿边边界界的的外外法法向向值值条条件件的的方方向向线线性性组组导导数数的的合合的的值值，即即

42、.uun 1u在在导导热热过过程程中中，设设导导热热物物体体外外界界的的温温度度为为物物体体内内部部与与外外，且且界界有有热热交交换换，Newton则则由由冷冷却却定定律律可可知知，牛顿冷却牛顿冷却(lngqu)定律：定律：在单位在单位(dnwi)时间内，从物体表面单位时间内，从物体表面单位(dnwi)面积中流向外界面积中流向外界的热量的热量q，与物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比，与物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比.即即10.uhuhunHhk 其其中中， 10H uuH，其其中中是是热热交交换换系系数数。qukn 故故已已知知通通过过物物体体第第三三类类边边界界条条件

43、件表表示示：的的边边界界与与周周围围介介质质交交换换热热量量。第24页/共47页第二十四页，共47页。121 0 ( , , , ) 0 ( , , , ) ()0 )( , , , )ssssssuuf x y z tunufx y z tnuhunuuf x y z tn边界上温度为零第一类边界条件边界上温度已知表面绝热第二类边界条件表面上的热流量已知与周围介质无热交换第三类边界条件与周围介质有热交换 （第25页/共47页第二十五页，共47页。 薄膜平衡薄膜平衡(pnghng)方程和定解条件方程和定解条件物理模型（薄膜平衡物理模型（薄膜平衡(pnghng)问题）问题）将将薄薄膜膜张张紧紧于

44、于的的固固定定框框架架上上，除除薄薄膜膜自自均均匀匀微微翘翘身身的的柔柔软软的的重重力力外外，无无其其.他他外外力力.求求静静态态薄薄膜膜上上各各点点的的横横向向位位移移分分析析. . 如图选择坐标系，PQRSTuoyyyyxxxTTT1234PSRQ,u x t设表示薄膜所形成的曲面方程. 利用建微微元元法法立方程.假设假设(jish)： 1PQRSu 作作用用在在与与上上的的张张力力沿沿 方方向向的的合合力力为为 均匀薄膜的面密度 为常数；T 柔软张力 的方向总在该点处的薄膜的切平面与法平面的交中；T 微翘张力密度 是常数；其方向与切平面的方向近似垂直；物理原理物理原理：沿位移沿位移u方向

45、的张力和重力的方向的张力和重力的合力等于合力等于0 平衡状态平衡状态；21sinsinTTx21tantanTTx第26页/共47页第二十六页，共47页。 2QRSPu 作作用用在在与与上上的的张张力力沿沿 方方向向的的合合力力为为21tantanTTxPQRSTuoyyyyxxxTTT1234PSRQ,u x yyu x yTxyy22,u x yTx yy 类类似似地地，34sinsinTTx22,u x yTx yx 则则由由微微元元力力的的平平衡衡关关系系可可得得2222,u x yu x yTx yTx yxy x y g gfT记，则2222,.u x yu x yfxy这就是这就

46、是(jish)微翘的薄膜平衡方程微翘的薄膜平衡方程.,xxyyuuf x y的方程的方程(fngchng)为二维为二维泊松方程泊松方程(fngchng).一般一般(ybn)地，称形地，称形如如若薄膜的重力可忽略，即若薄膜的重力可忽略，即f = 0，则方程被称为，则方程被称为二维拉二维拉普拉斯方程普拉斯方程（或（或调和方程调和方程）.第27页/共47页第二十七页，共47页。Poisson方程和方程和Laplace方程还可描述许多物理现象，如静电场的电势分布、热传导问题中方程还可描述许多物理现象，如静电场的电势分布、热传导问题中定常温度分布、引力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和定常温度分布、引

47、力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和(tio h)势，概括地说，它所势，概括地说，它所描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无关的描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无关的反映物理量在稳恒状态下的变化反映物理量在稳恒状态下的变化规律规律.说明说明(shumng)：例如例如(lr)：稳定温度分布稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化. . 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程拉斯方程和泊松方程. 21, ,.uf x

48、 y za 有热源0.u 无热源薄膜振动方程薄膜振动方程22()( , , )ttxxyyttxxyyua uuua uuf x y t)（二维波动方程）（二维波动方程）201( , )xxyyxxyyuuuuf x ya （薄膜平衡方程）（薄膜平衡方程）第28页/共47页第二十八页，共47页。定解条件定解条件(tiojin)的提法的提法初始条件初始条件（初始状态）（初始状态）注：由于它们都是描述稳定状态的，与时间注：由于它们都是描述稳定状态的，与时间(shjin)无关，无关，故不提初始条件！故不提初始条件！无！边值条件边值条件(tiojin)u 在边界上直接给出未知函数第一边值条件的值，即

49、, , , ,.ux y zx y zun 在边界上给出未知第二函数 沿边界的外法向边值条件的方向导数的值，即 , , , ,.ux y zx y zn，un 在边界上给出未知函第三边数 及其沿边界的外法向值条件的方向线性组导数的合的值，即.uun注意：注意：边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传导边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传导中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。第29页/共47页第二十九页，共47页。 几个几个(j )重要的基本原理重要的基本原理叠加原理叠加原理(yunl) (yunl) 在物理学中经常出现

50、这样的现象：一些不同的单个原因的在物理学中经常出现这样的现象：一些不同的单个原因的综合所产生的综合效果综合所产生的综合效果(xiogu)等于这些不同的单个原因等于这些不同的单个原因各自产生的单个效果各自产生的单个效果(xiogu)的累加，这就是叠加原理的累加，这就是叠加原理.适用条件：适用条件：电场电场泛定方程、定解条件都是线性的泛定方程、定解条件都是线性的线性定解问题线性定解问题. .数学表述：数学表述：可将复杂的定解问题看作是若个相对简单部分的线性叠加而成，那么这可将复杂的定解问题看作是若个相对简单部分的线性叠加而成，那么这几个部分所得出的解的线性叠加给出的形式解，即为原定解问题的解几个部

51、分所得出的解的线性叠加给出的形式解，即为原定解问题的解体现了体现了“化归化归”思想思想.第30页/共47页第三十页，共47页。叠叠加加原原理理 . .,1,2,kux tkn设分别满足齐次方程则函数1,nkkku x tux t22222 0,0kkuuaxl ttx, 00, 0,kkkkttuuxxxlt00,0, 0,kkxx luutk其中常数是任意的满足22222 0,0uuaxl ttx, 00, 0,ttuuxtxlt00,0, 0,xx luut 11 ,.nnkkkkkkxxxx 其中第31页/共47页第三十一页，共47页。例例如如：齐次边界条件的齐次方程 2000,0,0,

52、 00,0, 0ttxxtttxx lua uxl tuxuxxluut利用利用(lyng)叠加原理，可以分解成如下两个问题叠加原理，可以分解成如下两个问题定解问题定解问题(wnt)的分解的分解 2000,0,0,0 00,0, 0ttxxtttxx lua uxl tuxuxluut 2000,0,00, 00,0, 0ttxxtttxx lua uxl tuuxxluut第32页/共47页第三十二页，共47页。,1,2,kux tk 设是齐次方程222,uuax tGtx, 的解, 若函数级数1,kkkux tG在 内收敛，且可逐项求一阶、二阶导数，则和函数1,kkku x tux tG在

53、 内仍是方程的解.叠加原理叠加原理(yunl) I.(yunl) I.第33页/共47页第三十三页，共47页。,1,2,kux tkn设分别满足非齐次方程则函数1,nkkku x tux t22222, 0,0kkkuuafx txl ttx, 00, 0,kkkkttuuxxxlt 0, 0,kkkkxx lututt叠叠加加原原理理. .k其中常数是任意的满足22222, 0,0uuaf x txl ttx, 00, 0,ttuuxtxlt 0, 0,xx lututt1,nkkkf x tfx t 11,nnkkkkkkxxxx 11, .nnkkkkkkxtxt 注注.上面列出的两端边

54、界条件都是第一类的上面列出的两端边界条件都是第一类的. 实际上，对于第二类边界条实际上，对于第二类边界条件以及两端不同件以及两端不同(b tn)类型的边界条件，也成立叠加原理类型的边界条件，也成立叠加原理.第34页/共47页第三十四页，共47页。例例如如：非齐次边界条件的非齐次方程 200,0,0, 0, 0txxtxx lua uf x txl tuxxlututt利用利用(lyng)叠加原理，可以分解成如下三个问题叠加原理，可以分解成如下三个问题200,0,00, 00,0, 0txxtxx lua uf x txl tuxluut 200, 0,0, 0, 0txxtxx lua uxl

55、 tuxxlututt 200, 0,00, 0, 0txxtxx lua uxl tuxlututt 200, 0,0, 00,0, 0txxtxx lua uxl tuxxluut定解问题定解问题(wnt)的分解的分解第35页/共47页第三十五页，共47页。叠加原理叠加原理(yunl)II.(yunl)II.,1,2,kux tk 设是非齐次方程 222, ,kuuafx tx tGtx,的解，若函数级数1,kkkux tG在 内收敛，且可逐项求一阶、二阶导数，则和函数1,kkku x tux t是非齐次方程 2221, ,kkkuuafx tx tGtx,G在 内的解.非齐次方程非齐次方

56、程(fngchng)第36页/共47页第三十六页，共47页。（积分形式（积分形式(xngsh)(xngsh)的）叠加原理的）叠加原理III.III., ,uu x t MMD设是含参数的非齐次方程 222, , ,uuaf x t Mx tGtx,的解，若函数, ,dDU x tu x t MM,U x tG可逐项求一阶、二阶导数，则函数在 上是非齐次方程222, ,dDUUaf x t MMtx的解.非齐次方程非齐次方程(fngchng)第37页/共47页第三十七页，共47页。叠加原理叠加原理(yunl)IV.(yunl)IV.,vv x t设是定解问题22200, 0,00, 00,0,

57、0txx luuaf x tlxttxvlxvvt,的解，,u x tv x tw x t则函数是定解问题的解.,ww x t设是定解问题 22200 0,0, 00,0, 0txx lwwalxttxwxlxwwt,的解， 22200, 0,0, 00,0, 0txx luuaf x tlxttxvxlxvvt,带带齐次边界条件齐次边界条件的初边值问题的初边值问题第38页/共47页第三十八页，共47页。例如例如. 考虑考虑(kol)弦振动的初值问题弦振动的初值问题2( , ),0,( ,0)( ),( ,0)( )ttxxtua uf x ttu xx u xx利用利用(lyng)叠加原理叠加原理IV，可以分解成如下两个问题，可以分解成如下两个问题 20, 0,1( ,0)( ),( ,0)( )ttxxtua utu xxuxx和和说明说明(shumng)： 2( , ),0,2( ,0)0,( ,0)0ttxxtua uf x ttu xux利用利用Duhamel原理求解原理求解问题是由两部分干扰引起的，一是外界的强迫力，另一是弦所处的初始状态.由物理意义知，这种振动可看成是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态由物理意义知，