四年级抽屉原理

1、抽屉原理Page2 Of 15知识结构一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题， 并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.、抽屉原理的定义(1) 举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。(2) 定义般情况下，把 n+1

2、或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案(一)、利用公式进行解题苹果÷抽屉=商余数余数：(1)余数=1,结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(2)余数=X 1 X n 1I I结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数=O,(二)、利用最值原理解题结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法.例题精讲一、直接利用公式进行解题【例1】 六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇

3、到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】 略【答案】假设共有 n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个 苹果”再把每个小朋友遇到的熟人数目看作 抽屉”那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0, 1，2，；n 1.其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见 n 1个熟人，所以共有n个抽屉”.下面分两种情况来讨论：如果在这 n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n 2个熟人，这样熟人数目只有n1种可能：0,1,2,；n 2 这样，苹果”数（n个小朋友）

4、超过抽屉”数（n 1种熟人数目 ），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有 n 1种可能：1,2,3, ,n 1.这时， 苹果”数（n个小朋友）仍然超过 抽屉”数（n 1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋 友，他们遇到的熟人数目相等.总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等【巩固】 五年级数学小组共有 20 名同学, 他们在数学小组中都有一些朋友, 请你说明： 至少有两名同学, 他们的朋友人数一样多.【考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答【解析】

5、略 .【答案】数学小组共有 20 名同学,因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友,所以每个同学 至少有1个朋友.因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有 19种可能：1,2, 3, ；19.把 这 20 名同学看作 20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作 19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有 2 名同学,他们的朋友人数一样多例 2】 证明：任取 8个自然数,必有两个数的差是 7的倍数.考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答解析】 略 .【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b,它们除以自然数 m的余数相同，那么它们的差a b是m的倍数.根据这个性质，本题

6、只需证明这 8个自然数中有2个自然数，它们 除以 7的余数相同 .我们可以把所有自然数按被 7除所得的 7种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7个抽屉.任取 8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就 是它们除以 7的余数相同,因此这两个数的差一定是 7 的倍数Page2 of 15【巩固】 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是 5的倍数。【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答Page6 Of 15【解析】略。【答案】把自然数按照除以 5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相

7、同，因此它们的差是5的倍数【例3】 任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】把这2008个数先排成一行：a , a2, a3, ,a?。*,第1个数为a ；前2个数的和为a1 a2 ；前3个数的和为a a2 a3 ； 前2008个数的和为a a2卅a2008.如果这2008个和中有一个是 2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以 2008的余数只能为1, 2, ,2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的

8、差（仍然是a ,a2,a3,；a2008中若干个数的和）是2008的倍数.所以结论成立【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题证明：小明一定在连续的若干天内恰好 做了 7道题目.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】设小明第1天做了 a道题，前2天共做了 a2道题，前3天共做了 a3道题，前14天共做了 道题显然 a1420 ,而 a1a3都小于 20.考虑 a ,a2,a3, ,及 47 ,a27 ,a37 , ,al47这28个数，它们都不超过 27.根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等.由于a1,a2,a3 , ,a14互不相等，37 ,a27

9、, a37 , ,au 7也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有：aj a 7 ,所以aj a 7 这表明从第i 1天到第j天，小明恰好做了 7道题.【例4】把1、2、3、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】（法1）把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为a、a2、a3、a10.相邻的三个数为组，有 a1 a2a3、a2a3a4、a3 a4a5、a9 a10a1、a10a1a2 共 10 组.这十组三个数之和的总和为:a1a2a3 + a2a3a4 + H

10、 + a10a1 a23 a1 a2 川a1055 165165 16 105 ,根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于17.（法 2）在10个数中一定有一个数是1 ,不妨设a10 1 ,除去a10之外，把个数按顺序分为三组 a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9 .因为这三组数之和的总和为：a1a2a3+a4a5a6+ a7asa923卅1054，根据抽屉原理，这三组数中至少有一组数之和不小于17【巩固】 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,1,2,川,1999 （每一点只标一个数，不同的点标上不同【难度】3星【题型】解答的数）.证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所

11、标的三个数之和不小于2999【考点】抽屉原理【解析】略.【答案】把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为a1 a2、a3、a200。.相邻的三个数为一组,有 a1a2a3、a2a3a4、a3 a4a5、a1999 a2000 a 、a2000 a1 a2 共 2000 组.这2000组三个数之和的总和为：a1 a2a3+ a2a3a4+ I +a2000a1a23a1a2 卅a20003 （1 2 3 卅 1999） 59970005997000 2998 2000 1000 ,根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不小于2999【例5】 证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认

12、识，或者相互不认识.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色， 那么只需证明其中有一个同色三角形即可 从这 6个点中随意选取一点 A ， 从 A 点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同，不妨设有 3 条线段为红色，它们 另外一个端点分别为 B、C、D ,那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果 B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝 色，这样 B 、 C 、 D3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以

13、结论成立【巩固】 平面上给定 6 个点，没有 3 个点在一条直线上证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中， 一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边【考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答【解析】 略 【答案】我们先把题目解释一下一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最 小边在等腰三角形 （或等边三角形中 ），会出现两条边，甚至三条边都是最大边（或最小边 ）我们用染色的办法来解决这个问题分两步染色：第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂色的线段都涂 上另外一种颜色，比如蓝色这样，我们就将所有三角形的边都用红、

14、蓝两色涂好根据上题题的结论可知，这些三角形中至 少有一个同色三角形由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色 三角形必然是红色三角形由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说 明这条最小边必定是某个三角形的最大边结论得证【例6】 自制的一幅玩具牌共计 52张（含4种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有1点、2点、 13点牌各一张 ）。洗好后背面朝上放好。一次至少抽取 张牌，才能保证其中必定有 2张牌的点数和颜色都相同。 如果要求一次抽出的牌中必定有 3张牌的点数是相邻的 （不计颜色 ）。那么至 少要取 _张牌。考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】填空

15、关键词】 2006 年，第 11 届，华杯赛，初赛，第 13题解析】 对前一种情况，可取红、黑色的 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13 点各 1 张， 共13× 2=26（张）,那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同。这是最杯的情况， 因此，至少要取 27张牌，必能保证有 2张牌点数、 颜色都相同。 对后一种情况，有以下的搭配：（1， 2， 3）、（4， 5， 6）、（7， 8， 9）、（10， 11， 12）， 13。因而对涂阴影的9个数，四种花色的牌都取，这样可以取到（4× 2+1 &#

16、215; 4=36（张）牌，其中没有Page5 of 153张牌的点数是相邻的。现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13,则至少要有33张牌取自（1 ,2,3）、 （4，5, 6）、（乙8，9）、（ 10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有 9个数来自其中一个抽屉，这个抽屉中就一定有 3张牌的点数相邻的。因此，至少要取 37张牌。【答案】27张牌，37张牌【巩固】 一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空【关键词】2004年，第9届，华杯赛，初赛，第 8题a）如果不算大、小王，每个花色13张牌，只需

17、14张便一定有两张相同点数的牌，加上大、小王，则需要16张牌.【答案】16张二、构造抽屉【例7】 从2、4、6、8、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52 ？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】 构造抽屉：2,50，4,48，6,46，8,44，24,28，26,共 13 种搭配，即 13 个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52 ,所以应取出14个数.或者从小数入手考虑，2、4、6、26 ,当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52 .【答案】14【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数

18、中任取6个，一定有2个数的和是20.【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】将10个奇数分为五组（1、19）, （3、17）, （5、15）, （7、13）, （9、11）,任取6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为20【例8】从1 , 2, 3, 4,，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【关键词】北京市，第十一届，迎春杯刊赛【解析】 方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成 111组即1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1

19、2, 13, 14, 15, 16, 17, 18;19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36;1963 , 1964 ,1979 , 1980 ; 1981 , 1982 ,，1994 .每一组中取前 9 个数，共取出9 111 999 （个）数，这些数中任两个的差都不等于9.因此，最多可以取 999个数.方法二：构造公差为 9的9个数列（除以9的余数）1.10.19.28, （,1990 ,共计 222个数2.11.20.29, 卅,1991 ,共计 222 个数3.12.21.30, ,19

20、92 ,共计 222 个数4.13.22.31, ,1993 ,共计 222 个数5.14.23.32, ,1994 ,共计 222 个数6.15.24.33, ,1986 ,共计 221 个数7.16.25.34, H ,1987 ,共计 221 个数8.17.26.35, ,1988 ,共计 221 个数9.18.27.36, H,1989 ,共计 221 个数每个数列相邻两项的差是9,因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9,每个数列中不能取相邻的项.因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111 9999 个数【答案】999个数【巩固】 从1至36个数

21、中，最多可以取出 个数，使得这些数种没有两数的差是5的倍数.【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空【关键词】南京市，首届，兴趣杯，少年数学邀请赛【解析】 构造公差为5的数列，如图，有五条链，看成 5个抽屉，每条链上取 1个数，最多取5个数.1- 6-11 16-21 26-31 36 2- 7- 12- 17-22- 27-323 813- 18-23- 28- 334 9- 14- 19-24- 29- 345 10- 15-20- 25 - 30- 35【答案】5个数【例9】从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一一个数

22、的2倍.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛【解析】 把这12个数分成6个组：第 1 组：1，2，4，8第 2 组：3，6，12第3组：5，10第4组：7第5组：9第6组：11每组中相邻两数都是 2倍关系，不同组中没有 2倍关系.选没有2倍关系的数，第1组最多2个(1, 4或2, 8或1 , 8),第2组最多2个(3, 12),第 3组只有1个，第4, 5, 6组都可以取，一共2 2 11118个.如果任意取9个数，因为第3, 4, 5, 6组一共5个数中，最多能取 4个数，剩下9 4 5个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是

23、同一组的，必有2个数是同组相邻的数， 是2倍关系.【答案】8个数【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1, 2,4,8 , 16),(3,6, 12), (5, 10, 20), (7,14), (9, 18), (11), (13), (15), (17), (19),前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系.从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前 5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求【例10】从1 , 3,

24、 5, 7 ,，97 , 99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另Page10 Of 15个数的倍数 ?【考点】抽屉原理 【难度】 3 星 【题型】解答【解析】 方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是 3、5、7等奇数倍.3 × 33 99,于 是从35开始，199的奇数中没有一个是 3599的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35,37,39,， 99 这些奇数即可共可选出 33 个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数方法二： 利用 3 的若干次幂与质数的乘积对这 50个奇数分组 (1, 3, 9, 27, 81), (5, 15, 4

25、5), (7, 21,63), (11, 33), (13, 39), (17, 51), (19, 57), (23, 69), (25, 75), (29, 87), (31, 93), (35), (37), (41), (43),，(97)共33组.前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数.即最多可以选出 33 个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数评注：12n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2,3. , 2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1, 2, 3.3中任取2

26、n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1, 2, 3, ,mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).【答案】 33 个数【巩固】 从整数1、2、3、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其 中的一个是另一个的倍数 .考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答a) 略 .答案】把这 200 个数分类如下：(1)1,1232 , 122 , 123 , , 1 27236(2) 3,32 ,322,323 , 326,(3) 5,52 ,522,523 , 525

27、,(50) 99, 99 2,(51) 101,(52) 103,(100) 199,以上共分为 100类,即 100个抽屉,显然在同一类中的数若不少于两个,那么这类中的任意两个 数都有倍数关系 .从中任取 101 个数,根据抽屉原理,一定至少有两个数取自同一类,因此其中一 个数是另一个数的倍数Page9 of 15【例11】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于【考点】抽屉原理【难度】【题型】解答Page13 Of 15【解析】略.【答案】将边长为3的正三角形等分为 9个小正三角形，根据抽屉原理，10个点中必有两个点落入同一个小正三角形的内部或边上，那么这两个

28、点之间的距离不会超过小正三角形的边长，故必有两个点的距离不大于1【巩固】 边长为1的等边三角形内有 5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】5个点的分布是任意的。如果要证明在边长为1的等边三角形内（包括边界）有 5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点 ”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以 分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于 0.5。可以继续拓展：边长为1的等边三角形内，若有n2 1个点，则至少存在 2点距离小于-n、最

29、不利原则【例12】一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：至少有5张牌的花色相同； 四种花色的牌都有；至少有3张牌是红桃.（4）至少有2张梅花和3张红桃.【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌，共54张.为了保证”5长牌花色相同，我们应从最 坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌， 再把四种花 色看作4个抽屉，要想有5张牌属于同一个抽屉，只需再摸出4 4 1 17（张），也就是共摸出19张牌即至少摸出19张牌，才能保证其中有 5张牌的花色相同.因为每种花色有13张牌，若考虑最 坏”的情况，即摸出了 2张王牌和三种花

30、色的所有牌共计13 3 2 41 （张），这时，只需再摸一张即一共 42张牌，就保证四种花色的牌都有了即至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有.最坏”的情形是先摸出了 2张王牌和黑桃、梅花、方块三种花色所有牌共计 13 3241张，只剩红桃牌这时只需再摸 3张，就保证有3张牌是红桃了，即至少摸出 44张牌，才能保证其 中至少有3张红桃牌.因为每种花色有13张牌，若考虑最 坏”的情况，即摸出2张王牌、方块和黑桃两种花色的所有 牌共计：13 2 2 28 ,然后是摸出所有的梅花和3张红桃（想想若摸出所有的红桃和2张梅花，是最坏的情况么？），共计：28 13 344张.【答案】19张牌42张牌44

31、张牌44张【巩固】一副扑克牌共54张，其中113点各有4张，还有两张王牌，至少要取出 张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同。【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市，第三届，兴趣杯，少年数学邀请赛，决赛【解析】由于3 13 2 142 ,取出42张牌，其中必有4张点数相同。如果只取 41张，那么其中可能有3张A,3张2,3张3,，3张K及两张王牌，没有 4张一样的点数相同。所以，至少要取42张,才能保证其中必有 4张牌的点数相同。【答案】42张课堂检测【随练1】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形.证明：一定有一个三角形

32、三边的颜色相同.【考点】抽屉原理【难度】4星【题型】解答【解析】略.【答案】从这17个点钟任取一个点 A ,把A点与其它16个点相连可以得到16条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有 6条，不妨设为红色.考虑这 6条线段的除A点外的6个端点：如果6个点两两之间有1条红色线段，那么就有 1个红色三角形符合条件；如果6个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的2题可知，这6个点中必有3个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件.综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求【随练2】从1, 2, 3,，99, 100这100个数中任意选出51个数.证明：（1）在这51个数中

33、，一定有两Page11 Of 15个数互质； (2)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50；(3)在这 51 个数中，一定存在 9个数， 它们的最大公约数大于 1考点】抽屉原理 【难度】 2 星 【题型】解答解析】 略【答案】 我们将1100分成(1, 2), (3,4), (5, 6), (7, 8),，(99, 100)这50组，每组内的数相邻.而 相邻的两个自然数互质 将这 50组数作为 50个抽屉， 同一个抽屉内的两个数互质 而现在 51 个数,放进 50 个抽屉,则必定有两个数在同一抽屉,于是这两个数互质问题得证(2) 我们将 1100 分成(1, 51), (2, 52),

34、 (3, 53), , (40, 90), (50, 100)这 50组,每组内的数相差 50将这 50组数视为抽屉,则现在有 51 个数放进 50个抽屉内,则必定有 2个数在同 一抽屉,那么这两个数的差为50问题得证(3) 我们将 1100按2 的倍数、 3的奇数倍、既不是 2 又不是 3的倍数的情况分组,有 (2, 4, 6,8, , 98, 100), (3, 9, 15, 21, 27, , 93, 99), (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, , 95, 97)这三组第一、二、三组分别有50、 1 7、33个元素最不利的情况下, 51 个数中有 33个元素在第三组,

35、 那么剩下的 1 8个数分到第一、 二两组内, 那么至少有 9个数在同一组 所以这 9个数的最大公约数为 2或 3或它们的倍数, 显然大于 1问 题得证随练 3】 两个布袋各有 1 2个大小一样的小球, 且都是红、白、蓝各 4个。从第一袋中拿出尽可能少的球, 但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中,使第 一袋中每种颜色的球不少于 3个。这时,两袋中各有多少个球？考点】抽屉原理【难度】 3 星【题型】解答解析】 第一次取完后,只需知道第一袋中有某种颜色的球不足 3个即可(取了多少个球,怎样取的都可 以不考虑)。第二次取后,要保证第一袋中每种颜色的球不少于 3

36、 个,最不利的情况是两种颜色 的球各有8个，另一种颜色的球有 3个。所以，第一袋中有球 8+ 8+ 3 = 19 (个)，第二袋中有球 4× 3×29= 5 (个)。答案】第一袋中有球 19个,第二袋中有球 5个家庭作业【作业 1】 假设在一个平面上有任意六个点, 无三点共线, 每两点用红色或蓝色的线段连起来, 都连好后,问你能不能找到一个由这些线构成的三角形,使三角形的三边同色？【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略.【答案】从这6个点中随意选取一点 A ,从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外一个端点分别为B、C、D ,那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那么A、B、C 3点组成红色三角形；如果 B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3点组成蓝色三角形，也符合条件.所以结论成立.(可以拓展玩转数学)【作业2】从1, 4, 7, 10,，37, 40这14个数中任取8个