概率论与数理统计期末试卷及答案

1、概率论与数理统计期末试卷、填空(每小题2分，共10分)1 .设AB,C是三个随机事件，则乂,B,C至少发生两个可表示为o2 .掷一颗骰子，工表示“出现奇数点”，B表示“点数不大于3”，则幺-8表示o3 .已知互斥的两个事件AB满足44)二小P(AU8)=则可少。4 .设48为两个随机事件，P=0.6,F(j4-B)=0.2,则，(抽)=。5 .设43"是三个随机事件，-(切")=泊咐=”(期=0、?=0,则4,B,C至少发生一个的概率为o2分，共二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题20分)1 .从装有2只红球，2只白球的袋

2、中任取两球，记A-“取到2只白球”，则)二()(A)取到2只红球(B)取到1只白球(C)没有取到白球(D)至少取到1只红球2 .对掷一枚硬币的试验，“出现正面”称为()。(A)随机事件(B)必然事件(C)不可能事件(D)样本空间3 .设A、B为随机事件，则(AB+项(4+画=()。4.5.6.(A) A(B) B(C) AB(D) 4设工和3是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是()O(A)乂与3 互斥(B)工与£ 不互斥©一二加二:(D)土MT设Wj B为两随机事件，且 BqA, 则下列式子正确的是()。(A)-L门(B)"(C)小工仍(D)

3、一设a, s, c相互独立尸网"=尸(04则制川c)=()21(A)19(C) 2 一7.设A, B, C是三个随机事件, ( )。(B) -1(D) 2 一(止。9平=。8,则P代初卜(B) 0.6(D) 0.7(A)0.1(C)0.8(B) 4 p (1 p)3(D) 4 p (1 p)8 .进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为()(A)P2(1P)3,(C)5p(1p)9 .设A、B为两随机事件，且3匚，则下列式子正确的是()。一厂；(C)；»；(士)：10 .设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则()o(A)P(AB

4、)=P(C)(B)P(A)+P(B)P(C)<1(C)P(A)+P(B)P(C)>1(D)P(A)+P(B)<P(C)三、计算与应用题(每小题8分，共64分)1 .袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2 .10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3 .一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。4 .50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求至少取到一个次品的概率。5 .加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2,0.1,0.1,并且任何一道工序是否出次

5、品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6 .已知某品的合格率为0.95,而合格品中的一级品率为0.65o求该产品的一级品率。7 .一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8 .某厂的产品，80%按甲工艺加工，20%按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9o现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题(共6分)设P网二白(儡戚大于口)。证明试卷一参考答案一、填空1. mBCAC或ABCUABC)A

6、BC3ABC2. 出现的点数恰为53. :'幺与B互斥尸加尸间+P则咽"吓尸(/F-P4. 0.6vP(A-B)=P(A-P(AB：.P(AB)P(A)-P(A-B)=0.6-12故-1-0.45. j-:'4B,C至少发生一个，即为如他。又由一一一得L”故一.一：;一：,”一3 1二4 67=12、单项选择1. D2. A3. A利用集合的运算性质可得.4. D:'幺与S互斥P（AB）=O；-；可5. B,：ScA.T那回、故：门6. C:'4瓦C相互独立P见公二1n和欢=-P（A）P（B）P（C）Zp3二1一-19277.二:AjC_二"

7、且，二一j=0.8贝U二厂：,=0.5-0.2=0.78. _10.BABcC9. B-P(AB)=+尸(乂)+尸(m一P®M<P故P(A)+P(B)P(C)&1三、计算与应用题1.解:2.3.故解:设R表示“能把门锁打开”?闺二，则%二 c；c；+c；,而解二 c：15设A表示"有而样本点总数为4个人的生日在同一月份”，则用人=圾。n -12。4.故解:P二126= 0.0073设力表示“取到的两球颜色不同”，则沟0而样本点总数巴二包二逑二11故解:，耳C；28="没有取到次品”乂表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件幺包含的样本点数为二

8、或。而样本点总数为也二5.故解:尸=1-F国=1-冬%02255设J“任取一个零件为次品”幺表示通过三道工序都合格,由题意咛尸（金），但较复杂，考虑逆事件X二"任取一个零件为正品”则，一“1二二-6.于是一，二解：设幺表示“产品是一极品”，B表示“产品是合格品”显然幺cl,则&=R二：一I；二一二口也二一一一”一即该产品的一级品率为0.61757.解：设4=“箱中有i件次品”,由题设,有尸2)又设二“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有尸（B）=Z产（A）F（B|A）2-0C1011=1x271-100uiao于是P小空臀1ixl1x2.7131=2718.解:二037依题意

9、，该厂产品的合格率为，;一一.二于是，次品率为-1-设乂表示“有放回取5件，最多取到一件次品”则；二=(0.82)5+5x0.18x(0.82/=0.78四、证明题证明一、P(姐;尸力丽中"尹/由概率的性质知4B匚则P(AB<PA)a卜口；二八"-.1"；且口“如小1P(AB)>a+b->PiAB>a+b-rlb故？.试卷二、填空（每小题2分，共10分）1.2.3.4.5.若随机变量设随机变量设随机变量设随机变量若随机变量X的概率分布为不服从用2,p）k网登身飞，依L2,3）,则°.，且9,则P=。X服从W卜1,虬则平+1<

10、0=Y服从12）,则月炉二。A的概率分布为X0P020.50.3O、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题分）1.设段1）分别是两个随机变量的分布函数，为使2分，共20是某一随机变2.量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（(A)a(C)Acos3(B)(D)设随机变量X的概率密度为其)。_1=-92132界<x<2其它，则二（A）.（C）.匚3.下列函数为随机变量分布密度的是（(B)-(D)-(A)(C)sinar0<x<jtPW=在。，其它V.am，0,以"In(D)10网=4(B)2其它，0<x<

11、其它4.下列函数为随机变量分布密度的是（5.以力(A)p(x)(C)2_(2r+lPw=r&(B)1-0(一设随机变量X的概率密度为P卜),Y=-X,的概率密度为(A)I:；(C)，'；门6 .设丫服从二项分布B(%p)，则()(A)1-|'：'1-'/1(二T二】_7 .设鹿购网0，4)则,X(Y-2)广(A)-(C)吠方=7r8 .设随机变量X的分布密度为2而(B)11；£(D)苗(B)I-l<y；/-I(D)噂()。(B)口(D)-14(-00<X<+00),则比二(A)2(C)1/2(B)1(D)49.对随机变量来说，

12、如果EXDX,则可断定二不服从(A)二项分布(C)正态分布io.设牙为服从正态分布，(-L2)的随机变量，则(A)9(B)(C)4(D)(B)指数分布(D)泊松分布；(6-3三、计算与应用题(每小题8分，共64分)1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数X的概率分布。2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求(1)在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？(2)若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为-x>1000

13、x<100求(1)常数C；(2)若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。4.某种电池的寿命(单位：小时)是一个随机变量求(1)这样的电池寿命在250小时以上的概率;XX方(300,352)（2）。，使电池寿命在'w-处Jw+aj内的概率不小于0.95.设随机变量''1 1求YL既率密度p/H。6.若随机变量X服从泊松分布，即,且知EX2二2。P-叫-00工7.设随机变量/的概率密度为2求SXDX8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯

14、显示的时间相等。以/表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）X的概率分布；（1£（2）11+到。四、证明题（共6分）设随机变量X服从参数为2的指数分布。证明：（二1一k盆在区间仙1）上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1.6工刊丫=目=1由概率分布的性质有-1C C C ,得c二6。12. _:公电力则叩M=C6（1-p广伏网2）.PZ>l=l-P7=0=l-（l-rf51=-=p=-933. 0.5v4）：.?M<O）=P7<-1=-（；I=（。）=0.514.1v矛“2）EX=-,DX=-24则EX*:DX11I44_125. 0.25由题设，可设一匚

15、二户0=O=F佃口l=Q=FX=Q+rniX=;r=0.2+0,3=0.5PY-1）二尸inX=1）=F，jV=>=015即12Jyoi一p0.50.5：'现尸）=o"y叫+f/p=q=o,5。/尸）-伊（麻=0.5-05a=0.25、单项选择1 .（-'）由分布函数的性质，知，；.；.；则a-6=1,经验证只有C满足，;选C2 .（J）_'+8.r/加=1=2j4cosxdx-nA由概率密度的性质，有L、J0川彳）欧二In2sinxd工二一cosx1=1由概率密度的性质，有1。1IJob4 .（）广=广二"何威=r3产e碑Z)=1由密度函数的

16、性质，有、i，,.5 .(_1):y二-X是单减函数，其反函数为工=g()二-y,求导数得g'(y)二一1.由公式，F=4的密度为项加Pg(川|g卜P6 .(二)由已知*服从二项分布的同，则DX二研1-p)又由方差的性质知，OQXT)=4侬(1-p)7 .()v工服从河口，4):EX=OtDX7于是£阳2)=欧?-2应或+(蝴-2眈，4闫f工Hf-CO<X4+8)8 .(A)由正态分布密度的定义，有J2k仃1L由奴工=-J=94(-COCTC+B)nq,9.(10.(2册2研=43/=2D):逢月纵泊松分布，则EX=DX=X.如果EXDX时，只能选择泊松分布.D),X为

17、服从正态分布N(-1,2),EX=-1E(2X-1)=-3三、计算与应用题1.解:设X为抽取的次数只有3个旧球，所以X的可能取值为：1由古典概型，有2.解:PX=2=PZ=3=399A=1211443299XX二121110220=4).2xlxlxJ.L1211109220X1234P349449220122。则，八工服从5&-设A表示同一时刻需用小吊车的人数，则上是一随机变量，由题意有IPX=k=CJ15(i)品=卜+1>X的最可能值为L74P*二七达到最大的卜0(2)广耽虹作二PX>2)=1-PX«25.二1-£小口)t-03.解:=0.0989(

18、1)(2)C-亍 dx 1 y 7T4.故解:因此，若用幺表7K“线路正常工作”，则827+«150100 , 2dx 93”=3。0, o=35产(工 > 250 = 1 -尸X W 250 = 1-5>(1)(250-300)-35 j二1 一1,网工>250)二1一(1一(1428)= 0(1428)(查正态分布表)=0.9236P300-a<X<300+a = (2)由题意-)f300+a-300'35.一 _357300-12-300-中35-4<e=1=>OD串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件

19、的工作是相互独立的,呜卜21=0.9即解:1+09_09；2查表得&二5775。6.7.8.y=/'对应的函数了二,"单调增加，其反函数为又由题设知取（工）=4；l<x<2其它2,求导数得g（"-2y,为3二处故由公式知：解：解:故解:1石0,e2<y<&其它二,加跳柏树而©则尸3词=*而二."!由题设知二二即一：1二可得：131f（m4）=1-?（兄二人二刀厂“兑！，途仕=0,1,2,)=0,981查泊松分布表得，二"1=1-0,981=0.019EX=由数学期望的定义知，（1）x的可能取值为L

20、且由题意，可得产二;PX=2=-PX=3=1-81-8X0123P124SS-X-X222即(2)由离散型随机变量函数的数学期望，有xFJr=O)+x?Jr=l)+xpAr=2+xP=31U+yJ1+0l1+1lJ1+2lJ1+31J1111111=X+X-+X之24384g67*96四、证明题证明：由已知魏从蹴分蛔2）则,1r（I'f0t彳，口又由丫=1-产得yT-gj连续，单调，存在反函数1，、=-”（"»且-而j当r0时,ln（l-y0则。”1小；0,其它0<y<1试卷三2分，共10分）"K其它、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题1

21、 .设二维随机变量（无丫）则.2 .设随机变量1和F相互独立，其概率分布分别为,X11Y1P22尸22则 px=y=.3.4.5.若随机变量1与y相互独立，且丫服从9）,y服从16）,则x+y服从分布.已知x与y相互独立同分布，且设随机变量x的数学期望为EX=u、方差DX=,则由切比雪夫不等式有P依-心2/k_2分，共20二、单项选择（在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题分）1.若二维随机变量幺二（兄，）的联合概率密度为y)=(x>0 , ”0)，则系数(A)(B)2.3.(A)(C)(D)设两个相互独立的随机变量x和y分别服从正态分布7TM。，1）

22、和昨 1）,则下列结论正确的是(A)(C)FX + F*O) = ：(B)设随机向量（X , Y）的联合分布密度为 （X , Y）服从指数分布（C） X与Y相互独立(D)1=m2不(B)(D)/*片1产5,则(X与Y不独立 cov(X , Y) W04.设随机变量屿？ 相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有(A)(C).X2 (XJ)(B)(D)X+YX-YP(X = -1) = P(Y = -1)=5.设随机变量X与随机变量F相互独立且同分布，且p（x=D=pW=i）=L2,则下列各式中成立的是（(A)'-2C）"）；6.设随机变量X,Y的

23、期望与方差都存在，则下列各式中成立的是（）.(A)(C)E(XiY)=EX+EYD(X+Y)=DX+DY(B)7.若随机变量y是x的线性函数,关系数P灯二（）.(D)Y=aX+ba>0)EXYyEXEYD(XY)=DXDY且随机变量x存在数学期望与方差，则比与y的相(A)8.设(无(A).(B)J(C).(D)-丫）是二维随机变量，则随机变量u=x+y与二x-丫不相关的充要条件是（EX=EY(B)(C)(D)9.设，鹿y双时龈，（既），靖+（必/EX2二EY2莅，是R个相互独立同分布的随机变量,蹈力,必二4（i=L2.M则对于(A)(C)_1«X<3理m，有II<1

24、9盟>1-9盟(B)(D)io.设儿&Z/''，为独立同分布随机变量序列，且（i=1,2，）服从参数为人的指数分布，正态分布N（0,1）的密度函数为n<A(A)limP4KTQD立占-i.l(C)liraP<乳Tg-1<XlimPMTs三、计算与应用题（每小题1.将2个球随机地放入8分，共64分）3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数,Y表示有球的盒子个数.求二维随机变量2.设二维随机变量（无依y)y)的联合概率分布.y)=的联合概率密度为f也6f0,z>0,y>0其它（1）确定幺的值;3.求FOWXW1,0<r<2）设（

25、元y）的联合密度为4.5.6.国80.C<A=歹<1其它（1）求边缘密度Px卜）和Py仅）；（2）判断x与y是否相互独立.设（X1的联合密度为1y）=<召1°，z=-求Y的概率密度.x>l,>1其它设正纵均匀分布中4,般从懒分检，且"y相互独立求（1）(2)(3)（x,y）的联合概率密度;侬+4”设的联合概率密度为0<x<2,0<j<2其它求一；二7 .对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8 .抽样检查产品质量时，如果发现

26、次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%勺这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题（共6分）设随机变量X的数学期望存在，证明随机变量丫与任一常数b的协方差是零试卷三参考解答一、填空1,1a.b1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得11.=1-12312.2px=y=px=-,y=-i)+?y=Ly=i)11111X-1HF-X-=222223.4.?相互独立的正态变量之和仍服从正态分布必从+/"+书且电+吃+必二1+2二3,氏X+Y)二万+W=9+16=250.31.E(XY)=EXEY=(EJQ2,=(0x0.1+lx0,9)

27、2二0团5.<14/|X-u>2a<4?I-4二、单项选择1.(B)=>工=37i匚匚加沙加1备右加j4xx-=1即22.选择(B).2. (B)由题设可知，.正:故将X+Y标准化得出】+丫Ml)=0>(0)3.选择(B).(C)9if*广一,:由（月月二丁g2知，环o,则cov（kz）=o27r故£?相互独立.4.选择（C）.（C）随机变量丫与y相互独立且都服从区间1上的均匀分布，则5.6.7.1> 00彳”10,其它选择(C).(A)：p(x = r)= p(x = 1)(7 = i)+ p(x=-i)p(r = -i) 11111=x + X

28、 = 2 2 2 2 2 选择(A).(A)由期望的性质知E(X+Y)BX+EY选择(A).(D)EXY-EXUEY>0)EXaXb)-EXEaXbaDXa8.选择(D).(B)U.X+Y与F.hY不相关的充要条件是cov（匕，）=09.选择(B).(C)DX=-nDX9标10.(A)选择(C).XXi(i=1,2,)服从参数为人的指数分布，则选择(A).三、计算与应用题1.解显然X的可能取值为0,注意到将2个球随机的放入L2；y的可能取值为L3个盒子共有个种放法，则有d2产发二口，Y=2二2!92-s=1,Y=l=02.解PX=1,Y=2PX=2Y=l)(%的联合分布律为G呢U3。-9卜（F£=2,Y=2J=。YX120292510452J_90(1)由概率密度的性质有匚尸，以呦=可产数二吟广产义冲A可得(2)12=1幺二12设。二(玄了)PO<X<f0£理1,0”匐，则0<y<2)=?(XYeD=Jp(再1yxWD=C%-箝域4产0=£/23寸：1“4y3.解(1)母)=：2,丁协(0<1<1Px 卜)二，即0 <