现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法

1、第第4章章 稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法 4.1 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 4.3 4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 4.4 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用1x2xex)(S)( S李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定1x2xex)(S)( S渐近稳定渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定线性系统线性系统稳定性与初始条件稳定性与初始条件无关无关，如果渐，如果渐近稳定，则近稳定，则必然必然大范围渐近稳定；非线性大范围渐近稳定；非线性系统则不一定

2、。系统则不一定。不稳定不稳定1x2xex)(S)( S输出稳定输出稳定的的充要条件：充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于点全部位于s s的左半平面。的左半平面。李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（外部稳定性）（外部稳定性）(1)(1)若系统对若系统对有界输入有界输入所产生的输出也是有界的，称该所产生的输出也是有界的，称该系统为系统为输出稳定输出稳定。(2)(2)线性定常系统，线性定常系统，A A阵所有特征值均具有负实部，则阵所有特征值均具有负实部，则渐进稳定；若同时还有一个特征值为渐进稳定；若同时还有一个特征值为0 0，则具有李雅，则具有李雅普诺夫意义下的稳定

3、性；若等于普诺夫意义下的稳定性；若等于0 0的特征值不止一个，的特征值不止一个，或有特征根实部为正，则不稳定。或有特征根实部为正，则不稳定。状态稳定性状态稳定性 线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定是输出稳定的是输出稳定的 。 线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未必是状态稳定的。必是状态稳定的。两个推论：两个推论：参见例参见例4.14.14.3 4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法无需无需求解微分方程，求解微分方程，直接直接判断系统稳定性。判断系统稳定性。系统运动需要能量。系统运动需要能量。在非零初始状态作

4、用下的运动过在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统会达到平衡状态，即系统渐近稳定渐近稳定。反之，反之，系统则系统则不稳定不稳定。若能量在运动过程中不增不减，。若能量在运动过程中不增不减，则称为则称为李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定。需引入需引入虚构的能量函数虚构的能量函数v(x)。若若v(x) 0，并且，并且 0, 011p, 022211211pppp, 0 ,1111nnnnpppp二次型定号性的判别方法一二次型定号性的判别方法一PxxxTtV),(二次型二次型负定负定矩阵矩

5、阵P负定负定P的各阶顺序主子式负正相间的各阶顺序主子式负正相间, 011p, 022211211pppp0 ) 1( ,1111nnnnnpppp-二次型定号性的判别方法一二次型定号性的判别方法一PxxxTtV),(二次型二次型半正定半正定矩阵矩阵P半正定半正定P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式0PxxxTtV),(二次型二次型半负定半负定矩阵矩阵P半负定半负定P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零的各阶顺序主子式负正相间，或等于零二次型定号性的判别方法二二次型定号性的判别方法二矩阵矩阵P正定正定0P0P矩阵矩阵P负定负定0P矩阵矩阵P半正定半正定0P矩阵矩阵P半负定半负定 确定下列二次型的定号

6、性。确定下列二次型的定号性。323121232221242210)( xxxxxxxxxVx3213211121212110)( xxxxxxV x0101019211102正定正定)(xV0511212121103P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式0 确定定号性确定定号性2322212)( xxxVx321321100020001)( xxxxxxV x0) 1)(2)(1(100020001P-I 1, 2, 1 321矩阵矩阵P的特征值的符号的特征值的符号有正有负，即符号不定有正有负，即符号不定不定不定)(xV 二次型为正定，确定系数的取值范围。二次型为正定，确定系数的取值范围。3231

7、21231221211242)( xxxxxxxcxbxaVx321111321121121)( xxxcbaxxxV x011a011112ba01211211113cba(1) (1) 正定正定)(xV(2) (2) 负定负定)(xV(3)(3),(,tV xx则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。 （线性（线性/ /非线性非线性) )定常定常系统：系统： ，其，其中中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数数 ，在，在 时满足：时满足：0 ),(txfx 0)(0f0)( ),(0 xVV0 x定理定理14.3.2 4

8、.3.2 几个稳定性判据几个稳定性判据 几何意义几何意义：以二：以二维状态空间为例，设李维状态空间为例，设李雅普诺夫函数为二次型雅普诺夫函数为二次型函数，函数， 即即 v(x) = x12 + x22 物理意义：物理意义：李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数v(x，t)是一个能量函是一个能量函数，能量总是大于零的，即数，能量总是大于零的，即v(x) 0。若随系统的运动，。若随系统的运动，能量在连续地减小，则能量在连续地减小，则 。当能量最终耗尽，。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。是渐近稳定的。0),(tv x

9、x1x20c1c2x0(1) (1) 正定正定)(xV(2) (2) 半负定半负定)(xV则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。 （线性（线性/ /非线性非线性) )定常定常系统：系统： ，其，其中中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数数 ，在，在 时满足：时满足：0 ),(txfx 0)(0f0)( ),(0 xVV0 x(4)(4),(,tV xx(3)(3)0)( ,xxVX定理定理2(1) (1) 正定正定)(xV(2) (2) 半负定半负定)(xV(3)(3)0)( ,xxVX则系统原点平衡状态为则系统原点平衡

10、状态为李雅普诺夫意义下的稳定。李雅普诺夫意义下的稳定。 （线性（线性/ /非线性非线性) )定常定常系统：系统： ，其，其中中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数数 ，在，在 时满足：时满足：0 ),(txfx 0)(0f0)( ),(0 xVV0 x(4)(4),(,tV xx系统保持稳定的等幅振系统保持稳定的等幅振荡，荡，非渐近稳定非渐近稳定！能量不变！能量不变！定理定理3例：机械位移系统例：机械位移系统 选选xxxx21x状态方程状态方程21221xmxmkxxx)(),(txtxxkxxm 00ex系统能量系统能量 )(xV22212121mxk

11、x 正定正定 2121210021xxmkxx例：机械位移系统例：机械位移系统 21221xmxmkxxx)(),(txtxxkxxm 系统能量系统能量 )(xV22212121mxkx 00ex正定正定 )(xV222211xxmxxkx2121000 xxxx正定正定 半负定半负定02x0)(xV但不恒等于但不恒等于0能量不断衰减能量不断衰减 ex渐近稳定渐近稳定 例：机械位移系统例：机械位移系统 1221xmkxxx)(),(txtxkxxm 系统能量系统能量 )(xV22212121mxkx 00ex)(xV02211xmxxkx正定正定 恒等于恒等于0能量不变能量不变 李雅普诺夫意义

12、下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定 选选xxxx21x状态方程状态方程则系统原点平衡状态则系统原点平衡状态不稳定不稳定。定理定理4 时变系统时变系统 定常定常系统：系统： 如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数其中，其中， 且满足：且满足：0 ),(txfx )( ),(xxVtV0)( , 0),(00VtV0 ),(tttxfx (1)(1)正定有界),(tV x正定)(xV(2)(2)正定有界),(tVtx正定)(xV注注 意意存在具有连续一阶偏导数的标量函数存在具有连续一阶偏导数的标量函数 上述定理是系统平衡状态稳定的上述定理是系统平衡状态稳定的充分充分条

13、件。如条件。如果不满足定理，系统零平衡状态果不满足定理，系统零平衡状态不一定不稳定不一定不稳定！应！应该该重新选取重新选取李雅普诺夫函数进行分析。李雅普诺夫函数进行分析。仅有数学方程，没有物理意义的系统仅有数学方程，没有物理意义的系统 求出能量随时间变化率求出能量随时间变化率 。),(tV x 依据系统的依据系统的状态方程状态方程考察考察能量函数能量函数在运动过程在运动过程 中的变化规律。中的变化规律。 利用利用 和和 的符号特征，判断平衡状的符号特征，判断平衡状 态稳定性。态稳定性。),(tV x),(tV x 虚构一个与时间有关的虚构一个与时间有关的能量函数能量函数（李雅普诺夫李雅普诺夫函

14、数函数） 标量标量函数。函数。),(tV x例：分析下列系统平衡状态的稳定性。例：分析下列系统平衡状态的稳定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx解：解：0 xfx),(t0, 021eexx0ex选取：选取：2221)(xxVx0正定正定 0)(222)(222212211xxxxxxVx负定负定)(,xxV0ex大范围渐近稳定大范围渐近稳定2221)(xxVx0)(2)(22221xxV x几何意义：几何意义：)(xV表示系统状态表示系统状态 到空间原点的距离。到空间原点的距离。x)(xV表示状态表示状态 趋向原点的速度。趋向原点的速度。x1x2xex1)(cVx2c

15、3c1x2xex1)(cVx2c3c例：分析下列系统平衡状态的稳定性。例：分析下列系统平衡状态的稳定性。21221xxxxx解法一：求解法一：求平衡状平衡状态态0 x 0, 021xx0ex选取李雅普诺夫函数：选取李雅普诺夫函数：2221221221)(xxxxVx0正定正定 负定负定221121212)(xxxxxxxxVx2221xx 0)(,xxV系统原点系统原点平衡状态平衡状态为为大范围渐近稳定大范围渐近稳定例：分析下列系统平衡状态的稳定性。例：分析下列系统平衡状态的稳定性。21221xxxxx解法二：求解法二：求平衡状平衡状态态0 x 0, 021xx0ex选取李雅普诺夫函数：选取李

16、雅普诺夫函数：2221)(xxVx0正定正定 半负定半负定22112)(xxxxVx222x0)(,xxV系统原点系统原点平衡状态平衡状态为为大范围渐近稳定大范围渐近稳定02)(22xV x02 x02 x 021xx01 x)(xV只在原点为零只在原点为零0)( xV4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性定常连续系统线性定常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数线性连续系统渐近稳定判据线性连续系统渐近稳定判据Axx 0 ,)0(0txx0A原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态PxxxTV)(线性定常连续系统线性定

17、常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数Axx 0 ,)0(0txx0A原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态PxxxTV)(xPxPxxxTTV)(PAxxPxAxTTTxPAPAxTTAxPxPxAxTTQxxxTV)(令令QPAPAT线性定常连续系统线性定常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数Axx 0 ,)0(0txx0A原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态PxxxTV)(QxxxTV)(线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定QPAPAT给定给定0P存在存在0Q满足满足李雅普诺夫矩阵代数方程李

18、雅普诺夫矩阵代数方程线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定QPAPAT给定给定0P存在存在0Q满足满足李雅普诺夫矩阵代数方程李雅普诺夫矩阵代数方程判别步骤：判别步骤：(2)(2)求解求解QPAPAT(1)(1)选取选取 为为正定正定实实对称对称矩阵（对角阵或单位阵）；矩阵（对角阵或单位阵）；Q(3)(3)若若P P为为正定正定实实对称对称矩阵，则系统渐近稳定。矩阵，则系统渐近稳定。若若 可选取可选取 为为半正定半正定实实对称对称矩阵矩阵Q0)( 0,xxV例：机械位移系统例：机械位移系统 选选xxxx21x状态方程状态方程21221xmxmkxxx)(),(txtxxkxxm 22121211ppppP00ex21211110 xxxx解法一解法一 选取选取IQ 设设22121211ppppP解法一解法一 选取选取IQ 设设QPAPAT1001111011102212121122121211pppppppp1)(2012221212112212pppppp5 . 115 . 0112212ppp15 . 05 . 05 . 1PIQ 15 . 05 . 05 . 1P正定正定05 . 1111p负定负定025. 115 . 05 . 05 . 12系统平衡状态系统平衡状态状态空间原点状态空间原点渐近稳定渐近稳定。PxxxTV)(QxxxTV)(2