初中数学整式乘除培优讲义(含解析)

1、初中数学整式乘除培优考试要求:考试内容A (基本要求)B (略高要求)C (较高要求)幕的运算了解整数指数幕的意义和 基本性质能用幕的性质解决简单问题整式的乘法理解整式乘法的运算法则， 会进行简单的整式乘法运 算(其中的多项式乘法仅指 一次式相乘)会进行简单的整式乘法与加 法的混合运算能选用适当的方法进行相应 的代数式变形平方差公式、 完全平方公式理解平方差公式、完全平方 公式，了解貝几何背景能用平方差公式、完全平方 公式进行简单计算能根据需要,运用公式进行相 应的代数式的变形知识点汇总：模块一壽的运算需的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在/中，叫做底数, n叫做

2、指数.含义：水中，"为底数，为指数，即表示的个数，/表示有刃个连续相乘.例如：3'表示 3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -(3×3×3×3×3)z2 < . 2 222225. . 2x2x2x2x277 777777特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正” 口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一-(一3)

3、 = -3； -+(-3) = 3 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的 符号，例如：(3) × (2) × (6) = 36,而(3) × (2) X (+6) = 36 有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嫌为负；指数为 偶数，则幕为正，例如：(一3) = 9 , (一3)、= 一27 特别地：当“为奇数时，(一")”=一：而当“为偶数时，(-a)n =an负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为O的数的O次幕都是(1) 同底数幕相

4、乘同底数的彖相乘，底数不变，指数相加.用式子表示为：(m都是正整数)(2) 策的乘方.幕的乘方的运算性质：幕的乘方.底数不变，指数相乘.用式子麦示为: (町=旷(m9n都是正整数)积的乘方.积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的無相乘用 式子表示为： (ab)naflhfl (“是正整数)(4)同底数彖相除同底数的幕相除，底数不变，指数相减.用式子表示为:10(0 , In ,规定 0 = l (O);“都是正整数)(0, P是正整数)模块二整式的乘法单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个

5、因式以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：Ub 3a2byc2 = 3ac2,两个单项式的系数分 别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母的幕分别是和/,乘积中d的幕 是才,同理，乘积中b的幕是戻，另外，单项式“b中不含C的幕，而3il2bic2中含¢2,故乘 积中含疋单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加为单项式，a+b + c为 多项式.多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单 项式相乘，然后把积相加，公式为：( + n)(

6、a + b) = ma + mb + Ha + Hh模块三整式的除法(1) 单项式除以单项式系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有 的字母，則连同它的指数作为商的一个因式如：3a2b3c2 *ab = 3ab2c2 ,被除式为3a2b3c2, 除式为肪，系数分别为3和1,故商中的系数为3, 的彖分别为/和,故商中的 幕为=,同理，的幕为，另外，被除式中含Y,而除式中不含关于c的策，故 商中e的幕为c'(2) 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：(" + b + c)÷m = "*"2

7、+ b*m + c*"?,其中加为单项式，a + h + c为多项式.(3) 多项式除以多项式后有专题介绍.模块四平方差公式(a+ h)a-b) = a2 -h2平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。(1) 左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。(2) 右边是乘方中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)。注意：(1 )公式中的G和可以是具体的数也可以是单项式或多项式。如：(d + 2)(r-2) = «2 -4 ； (x + 3y)(x-3y)=x? -9y2: (a + h + c)a + b-c) = (U + h)2

8、 -C2 ；(a3+b5)(a3-b5) = a6-bwt>(2)不能直接运用平方差公式的，要基于转化变形，也可能运用公式。如：97 × 103 = ( 1OO - 3)( 1OO + 3) = 9991 ； ( + b)b + a) = (a + b)(a -b) = a2-b2.模块五完全平方公式(a+b)2=a2 + 2ab+b2; (a-b)2 =a2-2ab + b11 即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有 两项是公式左边二项式中的毎一项的平方，另一项是左边二项

9、式中二项乘积的2倍，可简单 概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央S注意：(1)公式中的“和b可以是单项式，也可以是多项式。(2) 一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：(a+b + c)2 =( + Z?) +CF =(a + b)2 +2(a + b)×c + c1=a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 =UI +b2 + C2 + 2ab + 2ac + IbC立方和公式：(a+b)(a2 -Ub + h2) = US + b' J立方差公式：(ii-b)(a2 + ah + b2) = a" -

10、b' ;和的完全立方公式：(< + =a3+3a2b + 3ab2 +b3 ；差的完全立方公式：(a - b)' =/ -3b + 3ub - c'例题精讲：板块一：幕的运算【例1】已知“ =5 b = -. “为正整数，你能求出a2n+2b2nb2的值吗？【解析】幕运算的综合应用【答案】a22b2nb2(ab22"2当 a11b2nb2(ab)229原式=5×【例2】若(9x2)3 =4,求P的值【解析】略【答案 1 (9)38 =(3x)2 J-(I)8 =1()2 ()2=36/. X3 = ±6【例3】已知b互为相反数Od互为

11、倒数，兀的绝对值等于2, 试求：X2 - (a + h + Cd)X + (U + b)2' + (-)20°3 的值.【解析】由题意可知a + b = O 9 Cd = 1 , x = ±2x2-(a + b + Cd)X + ( + b)200i + (-cd)20°3 = (±2) 一(O + I)x(±2) + O2003 + (-)20ai当 X = 2 吋，A-2-(a + b + Cd)X + (a + b)2,xB + (-)20°3 = 1当 x = -2t, X2 一(a + h + Cd)X + (U +

12、 b)2' + (-<)2 = 5【答案】见解析【例4】已知:“ =2002 + 2001× 2002 + 2001× 2000' + + 2001 x 2OO22(XX) + 2001× 20022, b = 20022试比较与的大小【解析】变形时，注意从简单情况入手找规律.【答案】“ = /?例5 你能比较两个数200829和2009z的大小吗？为了解决这个问题，我们先写岀它的一般形式，即比较严 与5 + 1)"的大小("是 自然数)，然后，我们分析n = 2, h = 2, h = 3,中发现规律，经归纳，猜想得 出

13、结论通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“ > ”、“ =J 号) l2_21； 2'_32；3'_43；4'_54：5&_65从帝)题的结果丽归纳，而猜想出严诵5 + 1)”的齐、关系是根据上而归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小2008'9 2009咖【解析】从简单情况找规律.【答案(1XD12<2i;23<32;34>43;45>54;56>65(2) n+l<(n + l)n(n = l9 2), n"+, >(n + l) (n3); (3)282009 >

14、2OO92008.【巩固】符号川表示正整数从1到刃的连乘积，读作卄的阶乘.例如5! = lx2x3x4x5试比 较3“与(n + l)!的大小(n是正整数)【解析】当 H = I 时，3m =3, (n + l)!=l×2 = 2当 n = 2Ht, 3 =9 , (n + l)!=l×2×3 = 6当农=3时.3=27, (n + l)! = l×2×3×4 = 24当 =43t, 了=81, (h + 1)! = 1×2×3×4×5 = 120当 /7 = 5 Ht, 3“ =243, (h

15、 + 1)! = 6! = 720当 n = l, 2, 3 时，3>( + 1)!,当 n>3Bt3fl <(w + l)l.【答案】见解析【巩固】比较/与(为正数，"为正整数)的大小.【解析】略【答案】方法1T“>0, 为正整数，6>0,T,+2=-, 分三种情况：当 a>i 則 / > 1, Ir>Cr :当 a = 9 则 u2=l, a2 =a当 OVdVl,则 a2 < 9 则 ar2 <an 方法 2 V a>09 ”为正整数，>0, T 一 = tr,Un分三种请况：当 a>lf SU2 &

16、gt;1, an2>an;当 U = If 则 a2 = , +2= :当 0 Vi, RU2 <1,2 < an 【例6】 计算：2-22 -23 -24 -25 -26 -27 一28 -2® +2,° =【解析】可直接计算求出结果，也可通过观察式子的特点，注意到2H)询面为“ + ”号，提 取公因式，再进行计算.原式= 2l° -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 +2= 29(2-1)-28 -27 -26 -25 -24 -23 -2z+2 = 22(2-l) + 2 = 6教师不防在此回忆巩固下面两个典型题目

17、的计算：厂 111IIIII1 IlIll2丿 刁+歹+尸+ 莎 +亍=厅+尹+歹+时 +歹+歹一亍=1一乔【答案】 20+2i+22 + 23 + 24+2=20+20+2i+22+23+24 + .+2-20=2,HBl-I 见解析【例7】 已知：an=2> am=3, ak=4,则a?"" 2k的值为【解析】利用同底数彖的乘法和除法法则的逆运算进行计算.【答案】当 an=2, am=3. ak=4 l,a2n+m'2k=a2nam÷a2k= (an) 2am÷ (ak) 2=4×3÷16=44【例8】比较3555,

18、 4444, 5333的大小关系，用大于号连接为.【解析】由于3个麻的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所 以逆用幕的乘方的运算性质，可将3个幕都转化为指数是Ill的幕的形式，然后只 需比较它们的底数即可.【答案V3555=35XlII= (35) 111=243111,4444=44Xlll= (44) 111=256111,5333=53x1II=(53)叫125】11,又 V256>243>125,256111>243111>125111,即 4444>3555>5b3.【巩固】比较2100与375的大小2100 375.【解

19、析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小.【答案V21= (24) 25=162 375= (33) 25=2725,且 1625 < 2725,2100<375 【例9】比较3555, 4444, 5333的大小关系，用大于号连接为.【解析】由于3个纂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所 以逆用嫌的乘方的运算性质，可将3个幕都转化为指数是Ill的幕的形式，然后只 需比较它们的底数即可.【答案】护S=35×111=(35)111=243111,4444=44xl Il= (44) 111=256111,5333=53XllI=

20、(53)叫125】1】,又 V256>243>125,256111>243111>125111,即 4444>3555>5b3.【巩固】比较2100与375的大小2100 375.【解析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小.【答案】2wo= (24) 25=162s, 375= (33) 25=272 且 1625<2725,2100<375 【例10】比较下列各题中幕的大小.比较大小：U = -OA29 = -4巴2(-丄严，(I = C丄)°44LL知“ =81" , b = 2741, c = 961

21、 »比较d, b , C的大小关系.(3) 比较2匕344 , 53 6"这4个数的大小关系(4) 15,6与3屮的大小关系是1严33° (填“ >”、“ < ”或).(5) 已知 =62,+72cm, 7V = 65+72,比较 M、N 的大小关系.已知P =畚,Q =器,比较P、0的大小关系.3> + a2007 +1已知A = 討，B = =，试比较A与的大小对于“>b>c>o,加>心0(八是正整数)，比较汽r, /b, “VH的大小 关系.【解析】本题介绍了幕的大小比较常用的8个方法.(1 )</ = 0.1

22、6 , b = = 0.0625 , C = I6, d = 1 . a <b<d <c .直接计算.(2)w = (34)3,=3,24 , h = (33)4,=3,23 t c = (32)6,=3,22 ,所以a>b>c.比较指数. 255=(25),=32h, 344 =(34),=81,1, 533 =(53)u =125n, 622 = (62)n =36", 32u<36"<81,<12511, 255 <622 <344 <533 .比较底数.(4)15,6<16l6=2 33l3 &

23、gt;32n = 265 >2,所以 1516<33n.放缩.因为 M-N= 6如 + 73-(6, + 721 )= 62(XH + 725 - 62B 一 72,q9° Q9 X119 q9°TF=L T?= L 所以P=Q-作商. ->0, B = I>0.3" +19“ +16/ + 1 3a + + l)(9 + l) 9 + 10d + l=62o(1-62) + 72(72-1)=48x72(IO,-35×6, >O , 所以M>N.作差.因为厶竺I=空Q 理 99°9" 119(7H

24、殳326=o,则 A = tA而_ _ 亠 J ' ' 1 4_、13l TfB3t + 1 9t + l (3" + l)29+6< + l 9+6t + '(8)因为 a>b>c>0 9 m>/?>0 (In , m + n-p = 0 为正整数)， 故可取 “ =3, Z? = 2 , c = l, tn = 3 , n = 2 ,则 ,7=33×22=1O8 ,h,c,n=22×i=4 , Cvn=I2×33 = 27 . 所 以Ombn > cnam >bncm 【答案】见

25、解析板块二：整式的乘除【例 11 】计算(2x+l)(3x-2)×(6-4)(4x+2).【解析】原式=(2x+1)(4 + 2) (6-4)(3 2)=(2x + l)2(2% + !) 2(3X 2)*(3x一2)=1在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算.实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数 通过约分，可更容易地解决问题其解如下：原式= (2x + D×-J-×(6x-4)×-! 3x-24x + 2(2x + 1).(6-4) I(3x-2)(4x + 2)【答案】见解析 【巩固】计算：（3Ay）2（才2

26、 一2）_（4牙2y2）2壬字+92/【解析】原式=9y2（x2-y2）-16x4/ ÷8y2 +9x2/ =9x4y2 -9x2y4 -2x4y2 +9 =7x4y2【答案】见解析【例12】已知a=v5 - 1,贝J 2a3+7a22a - 12的值等于 【解析】将a = y5 一1转化为(a+l) 2=5,再进一步转化a2+2a=4将2a3 + Ja2 一 2“ 一 12转化为2/ + Aa2 + Ia + 3/ 一牝一 12,对前三项提取公因 式2纸 运用完全平方公式变为2a(a + )2+3a2-4a-n此时将(a+l) 2=5代入上式，变为3+6d-12,再对祈两项提取公因

27、数2,变 为 3(/+ 2d) 12此时将a2 + 2a = 4代入上式.最终问题得以解决.【答案】解：由已知得(a+l) 2=5,所以a2+2a=4則原式=2a3÷4a2+2a+3a2 - 4a - 12=2a (a2+2a+l) +3a' - 4a - 12=2a (a+l) '+3a' - 4a - 12=2a×5+3a2 - 4a - 12=3a2÷6a - 12=3 (a2+2a) - 12=3×4 - 12=O故答案0【例 13】先化简英中 x=-l> y=l,则-2 (3x2 - xy) ÷( - 6

28、x2+3xy - 1) =【解析】此题多项式中含有括号，則先进行去括号，然后合并同类项得到最简式，最后将X, y的值代入最简式求多项式的值.答案】解：原式=-(6x' - 2xy) + ( - 2x"÷xy - J)=-6x'+2Xy - 2x+xy -扌=-8x+3Xy -扌当X=-L y=l吋,原式=-S - 3 -寺=-11吉【例14】先化简，再求值：(1) 若 a=2, b=-2, (2a+2b2a) - 2 (a2b- 1) +3ab2+2=:(2) 已知：A - 2B=7a2 - 7ab> 且 B= - 4a2+6ab+7,A=；若 a+l

29、+ (b-2) 2=0,则 A=(3) 已知多项式(2mx2-2+3x+l) - (5x2y2+3x)化简后不含Q项.则多项式 2m3 - 3m3 - (4m - 5) +n=.【解析】(1) (2)关馋是化简，然后把给定的值代入求值.(3)先化简，再根据不含F项，即疋项的系数为0,得关于m的方程.求解再 代入多项式2m3 -3m3 -(4m-5) + m化简求值.【答案】解：(1)原=2a+2b2a - 2a2b - 2+3ab2+2=2a2b+2b2a - 2a+2 - 3ab2 - 2=-ab2 当 a=2, b= - 2 时,原式=-2× ( - 2 ) 2= - 8(2)由

30、题意知，A= (7a2-7ab) +2B=(7a2- 7ab) +2 ( - 4a2+6ab+7)=7a2 - 7ab - 8a2+12ab+14=-a2+5ab+14Va+l+ (b-2) 2=0,'a+l=0, b - 2=0,即 a= - L b=2当 a= - L b=2 时，原式=-I- 10+14=3.(3 ) (2mx2 - x2+3x+1 ) - (5x2 - 4y2+3)=2mx2 - x2+3x+1 - 5x2+4y2 - 3x=(2m - 6) x2+4y2+l不含X2项. 2m - 6=0 > 解得 m=3 '2m'3m' - (4

31、m -5) +m=2mj - 3n? - 4m+5÷m=2m' - 3m'+4m - 5 -In=-m'+3m - 5当m=3时原式=- 27+9 - 5=- 23 【例 15】已知 2x+y=7, x2+y2=5t 则(4x+2y) 2 - 3x2 - y2+2 (1 - y2)的值为【解析】把(4.r + 2y)2 一3x2 一y2 + 2(1-/)化简为2(2 + y)f -3x2-y2+2-2y2,合 并同类项得4(2x + y)2-3(x2 + y2) + 2, V2x+y=7, x2+y2=5,代入可求值.【答案】解：原式=2 (2x+y) J2

32、- 3x2 - y2+2 - 2y2=4 (2x+y ) 2 - 3 (x2+y2 ) +2 V2x+y=7, x2+y2=5原式=183.【例 16】若 Y=箸，则壬(9y-3) +33 (9y-3) =.【解析】把原式去括号，合并同类项，再代入求值.【答案】解：解法一：I (9y-3) +33 (9y- 3) =3y - l+297y - 99=3OOy - 100,7Q当 尸塔孑时，原式=2009 - 100=1909解法二：I (9y-3) +33 (9y- 3)=(9y-3)(扣3)=(9y-3) X晋=30Oy- 100 (以下同法一)【例 17】计算:(1)(x5-1)÷

33、;(-1);(2)(3x4-5+2 + 2)÷(x2+3).【解析】用竖式除法a2+x÷1X-I)A-3+02÷0-1-3-X2 + Ox兀一1A-I0所以，商式为x2+x+l,余式为0.3F-5x-8(2) X2 + 3)3疋一5丘+十+0.丫 + 23疋 +9F5x* - 8a* ÷ OX5x3 1SX-8a2 + 15 + 2-8十-2415x+26所以，商式为32-5x-8,余式为15x+26说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算计算时注意降慕排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式=除式X商式+余式，其

34、中余式的最 1鬲次数低于除式的最爲次数当余式为O吋，我们也称除式整除被除式，用“除式I 被除式"表示如，我们可记(A-I)I(X3-I):当余式不为O时，被除式不能整 除被除式：当余式为常数时，我们也称余式为余数.显然，当除式为一次多项式时， 余式必为常数后有专题讲解！【答案】见解析板块三：乘法公式【例18】若×2+kxy+49y2是一个完全平方式，则k=.【解析】这里首末两项是X和7y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去X和7y枳的 2倍.【答案】2+kxy+49y2是一个完全平方式，±2×x×7y=kxy,. k=±14 【例

35、19】已知m2+2km+16是完全平方式，则k=-【解析】这里首末两项是m和4这两个数的平方.那么中间一项为加上或减去m和4积的 2倍.【答案】.m2+2km+16是完全平方式，2kn=±8m,解得k=±4.【例20】用简便方法计算：212 - 4002×2000+20002=【解析】观察可得原式可整理得：200P-2×2001×2000-20002r 2001和2000两数的平方和 减去他们它们乘积的2倍，符合完全平方公式结构特紅，因此可应用完全平方公式 进行计算.【答案】20012 - 2×2001×2000+20002

36、,=(2001 - 2000) 2,=I2=I.【例21】a2x2 - 4x+b2是一个完全平方式，则ab=【解析】这里首末两项是ax和b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去ax和b积的 2 倍，故 2ab=±4, ab=±2 【答案】中间一项为加上或减去ax和b积的2倍，故 2ab=±4,ab=±2故填±2.【例22】用乘法公式计算：(1) 59.8×60.2=: (2) 1982=【解析】(1) 59.8与60.2都与60差Oz 所以可变形为(600.2) (60+0.2)后利用平方 差公式解题；(2)中可变形为(200 -

37、2) 2后利用完全平方公式计算.【答案】(1)原式=(60 - 0.2) (60+0.2)=60 0.22=3599.96(2)原式=(200 - 2) 2=2002 - 2×200×2+22=39204【例23】1232122×124=【解析】观察可得122=123 - 1, 124=123+1,代入原式后，配成平方差公式，应用该公式解 题可得答案.【答案】原式=1232 - (123 - 1) × (123+1) =1232 - (1232 - 1) =1.【例24】P二=()612-3923AX 117Cx 11B、D、5_H2H【解析】先根据平方

38、差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可.【答案】53三竺612 -392(53 +47)(53 47)(61 + 39)(61 - 39) 100X6100X22故选A.【例25】推导(a + b)2+(b + c)2+(c + a)2的展开式，并总结公式.【解析】(d + by + (b + c)2 +(c + a)2 = 2(a2 + b2 + c2 + Ub + he + Ca)或 *(“ + b)2 +(b + c)2 +(c + a)2 = 62 +h2 +c2 + Clb + be + Ca 帮助学生认淸每一项是由哪一部分产生的！【答案】见解析【巩固】根据例题结论请直接写

39、岀下而式子的答案()(a + b)2 + (h - c)2 +(c + a)2(2) (a + b)2 +(b-c)' +(c-d)'【解析】(I)(U+ b)2 +(b-c)2 +(c + a)2 = 2(Cr +b2 +c2 +ab-bc + ca)(2) (a + b)2 + (b Cy + (c - a)2 = 2(a2 +b2 +c2 + Ub 一 be Ca)【答案】见解析巩固】 填空：(1)2 +b2 + c2 -ab-be-ca =:(2) Cr +b2 + c2 + Uh + be Ca =；(3) a2 +h2 + c2 - Uh + be _ Ca =【解

40、析(1)1 (-b)2 +(b-c)? + (c-“)2: * (" + b)2 +(b + c)2 +c-a)2 J : (3)1(" 一 b)2 +(b + c)2 +(c-a)2【答案】见解析【例26】推导(a + b + c)2 > (a + h + c + d)2 的公式，比较(a + b)2 X (a + h + c)2 X (a + b + c + d)2 的公式，并探索规律.【解析】(a + b)2=a2+b2+2ab(a+ h + c)2 = u2 +b2 + c2 + 2ab + 2hc + 2ca(a + b + c + d)2 = (U + b

41、)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + J)2=U2 + Iy +c2 +d2 + 2ab + 2cc + 2cd + Tbc + Uxl + 2ccl观察上述三个公式，可发現如下规律：一、项数：设字母(或者说元)的个数为“，则公式的展开式的项数为 丄。丄丄nn+1)2二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2：三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1,其余均为2.根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【答案】见解析【巩固】利用例题得出的规律推导(a + b + c-d) (么+ 尸、(a + h + c + d + e)2的展 开式.【解析】令(“ + b

42、 + f + d = Cr + h2 +c2 + d2 + 2ah + 2ac + 2nd + 2bc + 2bd + 2cd 中=,也就是以-替换d可得，(a + b + c-d)2 = a2 + b1 +c2 ÷ cl2 + 2ch + 2ac 一 2ad + 2bc- 2bd 一 2cd同理可知.(U + /?-C-J)2 = / +h2+c2+ d2 + Zab 一 ICIC 一 ICUl 一 2bc- 2bd + led根据例題中归纳出来的规律，(a + b + c + d+e)2的展开式共有15项，所有字母的 二次项的系数均为1,其他项的系数均为2,每一项的次数均为2,由

43、上述特点可知(a + b + c + d + e)2 = Cr + b2 +c2 +d2 +e2 + 2ab + 2ac + fIcid + 2ae + IbC + 2bd + 2/疋 + 2ccl + 2ce + 2de 【答案】见解析巩固(a + b-c + d-e)2 =.【解析】Ul +b2 + c2 + d2 +e2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2ce 一 2bc + 2hd 2Je 2cd + 2ce - Ide . 【答案】见解析板块四：立方公式【例27】计算:(2m + n2)(4m2 - 2mn2 +n4) :(2)(3x2 -2y×9 +6x2y +

44、4y2):(3)(Xm + )(x2m -Zln +x2n);( + 2y)2 (十 一2xy + 4y2)2:【解析】(D(2w + )(4n2 -2fnn2 +n4) = 8zn3 +n :(2) (32 一 2y×9x4 + 6x2y + 4y2) = (3x2 )3 - (2y)' = 27 一 8/ :(D (Xm + )(2m - Xw, +X2JI) = (,it)3 + (Z)3 = m + j,:(2) ( + 2y)2. (x2 - 2>* + 4y2 )2 = (x + 2y)(x2 -2>4)2=(x3 + 8y3 )2=+l 6 + 64

45、y6【答案】见解析【巩固】利用立方和、立方差公式填空：(b -)(4t2 + 2ab + b2) = lf - 8/ (2) (x + 3y)(x2 一+ 9y2) = + 27:(3) (m + 2n)(- Imn +) = nr + 8/?3 【解析】加：(2)3), ： (3),n2, 4 .【答案】见解析【例28】已知.+y = l, 2+ y2 =2,求x6 + /的值.【解析】由 Xy = -(X+y)2 -(2 + y2)J=-!-,2 2.+/=()3+(r)3 = ( + )3- 3a-2(+y2)=.【答案】见解析【巩固】若a + b = 5,求/+戻+ 15"的

46、值. 【解析】解法一：由a+b = 5f故a3 + b = (U + b)(a2 -ab + b2) = (U + b)(“ + b)2 乂力=125-1 Sab从而可知，/+戻+15" = 125解法二：由a+ b = 5 ,故(a + b)' = Cr + 3a2b + Sab2 + b' = a + 3ab(a + h) = / +1> +1 Sab = 125【答案】见解析课后作业：【习题1】通过讣算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是 ( )abA. (a - b) 2=a' 2ab+b2B、(a+b) 2=a2+2ab+b2C> 2a (a+b) =2,+2abD、(a+b) (a - b) =a' - b-【解析】由趣意知，长方形的面积等于长2a乘以宽(a+b),面积也等于四个小图形的面积 之和，从而建立两种算法的等量关系.【答案】解：长方形的面积等于：2a (a+b),也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2&