第24讲 波函数、薛定谔方程

1、第第24讲讲 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程波函数波函数薛定谔方程薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限深势井一维无限深势井波函数波函数微观粒子的运动状态称为微观粒子的运动状态称为量子态量子态，是用，是用波函数波函数 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一） ),(tr玻恩指出：玻恩指出：德布罗意波或德布罗意波或波函数波函数 不代表实际不代表实际物理量的波动，而是描述物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的粒子在空间的概率分布的概率波。概率波。 )

2、,( tr自由粒子的波函数 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。 设描述粒子运动状态的波函数为 ，则 空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与 的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称 概率波概率波波函数又称 概率幅概率幅取比例系数为1，即1926 年提出了对 波函数的统计解释因概率密度故在 矢端的

3、体积元 内发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。此条件称为 波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件符合不符合不符合不符合德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经 典 波是振动状态的传播不代表任何物

4、理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。波动方程无归一化问题。某粒子的波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求积分得：积分得：得得 到到 归归 一

5、一 化化 波波 函函 数数 ：概率密度得得令求极大值的求极大值的 x 坐标坐标解得解得另外两个解另外两个解处题设处题设处处最大薛定谔方程薛定谔方程经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学 针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获获19331933年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖它的波函数 所满足的方程为当其运动速度远小于光速时质量为 的粒子在势能函数为 的势场中运动 它反映微观粒子运动状态随时间变

6、化的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中， 为哈密顿算符，（能量算符）ttxExmi),(2p22则一维运动粒子的则一维运动粒子的含时薛定谔方程含时薛定谔方程 若粒子在势能为若粒子在势能为 的势场中运动的势场中运动pkEEEpE定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态波函数定态波函数：能量算符能量算符薛定谔方程薛定谔方程其概率密度与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：所谓“定态”，就是波函数具有 形式定态波函数中的 称为 振幅函数（有时直称 为波函数）。的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。 若已知势能函数 ，应用定态薛

7、定谔方程可求解出 ，并得到定态波函数续上一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱。 应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。一维无限深势井一维无限深势井续上求解阱内阱外只有因及要连续、有限，薛定谔方程才成立，在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。 设质量为 的微观粒子，处在一维无限深势阱中，该势阱的势能函数为阱外阱内建立定态薛定谔方程一维问题续上求解求定态薛定谔方程的通解阱内即令得此微分方程的通解为其三角函数表达形式为式中 和 为待定常数根据标准条

8、件确定常数和并求能量 的可能取值以及在边界 和处又因得的取值应与阱外 连续，边界处的故得及时阱内 不合理 舍去的负值和正值概率密度相同。同一取得续求解求归一化定态波函数由上述结果阱外阱内及得应满足归一化条件得积分归一化定态波函数概率密度势阱问题小结能量量子化极不明显，可视为经典连续。间距太小间距太小在微观粒子可能取如，电子9.110 31 kg处在宽度 10 - - 10 m ( 原子线度)的势阱中算得 37.7 eV能量量子化明显处在宽度 10 2 m ( 宏观尺度)的势阱中算得 37.7 10 - -15 eV 能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看，从能级相对间隔看，则的各种能态

9、中，随着 值增大，逐渐向经典过渡。一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）能量 量子化称 基态能或 零点能相邻能级的能量间隔波函数好比驻波概率密度的 称节点位置节点位置极大的 称最概然位置最概然位置增大, ,节点数增多,最概然位置间隔变小。 很大，概率密度趋近经典均匀分布。例：例： 设质量为设质量为 m 的微观粒子处在宽度为的微观粒子处在宽度为 a 的一维无的一维无限深势阱中，限深势阱中，试求：试求：(1)粒子在粒子在 0 x a/4 区间中出区间中出现的几率，并对现的几率，并对 n = 1 和和 n = 的情况算出概率值。的情况算出概率值。(2)在哪些量子态上，在哪些量子态上，a/4 处的概率密

10、度最大？处的概率密度最大？xanax sin2)( 粒子出现在粒子出现在 0 x a/4 区间中的几率为：区间中的几率为：dxxPa240)( dxanaa 402sin2 2sin2141 nn 2141 P%9 41 P1 n 时，时， n 时时 ，解：解：(1) 已知已知xanax 22sin2)( 4sin2)(22aanax 4sin22 na 14sin2 n24 kn, 1 , 0 k24 kn(2) 4a处：处：最大时有：最大时有：,10, 6 , 2: n即即例：例： 设质量为设质量为 m 的微观粒子处在宽度为的微观粒子处在宽度为 a 的一维无的一维无限深势阱中，限深势阱中，试求：试求：(1)粒子在粒子在 0 x a/4 区间中出区间中出现的几率，并对现的几率，并对 n = 1 和和 n = 的情况算出概率值。的情况算出概率值。(2)在哪些量子态上，在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？处的概率密度最大？势垒粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式该势能函数称作一维矩形势垒。按经典力学观点，在量子力学中，能量 的粒子不可能穿越势垒。后才能下结论。应求解定态薛定谔方程隧道效应区区区 式中 得上述微分方程的解为设：一矩形势垒的势能函数 在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程一质量为 、能量为的