初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第3讲充满活力的韦达定理

1、第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这 类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例1】已知【例题求解】是方程X2 X 1 0的两个

2、实数根，则代数式2( 2 2)的值为思路点拨：所求代数式为的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a、b都是质数，且a2 13a m0，b2b a13b m 0，那么;b的值为(1232212522D、思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程X2 13x m 0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于X1、X2的对称式，这类问题可通过变形用 X1+X2、X1 X2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。2【例3】已知关

3、于X的方程：X2 (m 2)x 04(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。(2)若这个方程的两个实根 X1、X2满足X2収1 2 ,求m的值及相应的X1、x?。思路点拨：对于(2),先判定X1、X2的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】 设x1、X2是方程2X2 4mx 2m2 3m 2 0的两个实数根，当 m为何值时，x/ X22有最小值？并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的。注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式厶0这一条件，转化是

4、一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。1 7【例5】 已知：四边形ABCD中，AB / CD ,且AB、CD的长是关于X的方程x2 2mx (m -)2 - 02 4 的两个根。(1)当m = 2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由。若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P, Q, PQ= 1,且AB<CD ,求AB、 CD的长.思路点拨 ：对于 (2)，易建立含 AC 、 BD 及 m 的关系式，要求出 m 值，还需运用与中点相关知识找寻 CD 、AB 的另一隐含关系式。注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过

5、韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数” (方程 )转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持2充满活力的韦达定理学历训练4/4 7 rHrT-MLt.二一、r-i口22x 2x 3m 10的两个实根，并X1和X2满足不等式X1X2彳1，1、(1)已知X1和X2为 兀二次力程X1X2 4则实数m取值范围是O(2)已知关于X的一元二次方程28x (m 1)xm 70有两个负数根，那么实数Im的取值范围是2、已知、是方程的两个实数根，则代数式3222的值为。3、CD是Rt ABC斜边上的高线，A

6、D、BD是方程X26x4 0的两根，则厶ABC的面积是OA曰.*:二±、” 缺j壬口, 2px q 0的两根，X1 +1P 0的两根，4、 X1、X2 是关 X I=IJ 方X、x2+ 1疋天于X 的方程Xqx则P、q的值分别等于()A . 1，-3B .1，3C. -1，-3D . -1，35、在 RtA ABC 中，/C= 90°，a、-C分别是 A、/ B、 C的对边，a、b是关于X的方程2 X7x c 70的两根，那么AB边上的中线长是()35A.B .C. 5D . 2226、方程2 XPX 19970恰有两个正整数根 X1、X2 ,则P的值是()(X11)(X2

7、1)A.1B . -I1C.2 D1.27、若关于X的一元二次方程的两个实数根满足关系式：Xi (x 1) X2(X2 1) (x I)(x2 1),判断(a b)24是否正确？8、已知关于X的方程X2(2k 3)x k210。(1)当k是为何值时，此方程有实数根；若此方程的两个实数根 X1、X2满足：x2 X1 3 ,求k的值。29、已知方程X PX q的两根均为正整数，且p q 28 ,那么这个方程两根为10、已知是方程XX 10的两个根，则4 3的值为11、 ABC的一边长为5，另两边长恰为方程 2 X212、两个质数a、b恰好是整系数方程的两个根，则A. 9413B.型C.941312

8、x m 0的两根，则m的取值范围是-旦的值是()a bD.峭1949997此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持313、设方程有一个正根 Xi ,一个负根X2 ,则以X1、X2为根的元二次方程为(2A. X 3x m 202B. X 3x m 202 JC. X 1 4mx 20D . X21 4mx 2014、如果方程(X21)(x 2x m)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是15、如图，在矩形求rn的值；3B . m -4ABCD中，对角线 AC的长为10,且AB、3D - m 14BC(AB>BC)的长是关于X

9、的方程的两个根。(2)若E是AB上的一点，CF丄DE于F,求BE为何值时, CEF的面积是厶CED的面积的1 ,请说3明理由.22(m 2) X m 3m 3X1、X2。22(1)若X12 X226 ,求m的值。(2)求产一m 2的最大值。1 X11 X216、设m是不小于1的实数，使得关于X的方程工X20有两个不相等的实数根(第 17®)此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持817、如图，已知在厶 ABC 中， ACB=90° ,过 C 作 CD 丄AB 于 D,且 AD = m, BD=n , AC2： BC2= 2:122

10、1;又关于X的方程；X 2(n 1)x m 12 0两实数根的差的平方小于 192 ,求整数m、n的值。418、设a、b、C为三个不同的实数，使得方程和X2 ax 1 0和X2 bx C 0有一个相同的实数根，并且使方程2 X a 0和2 CX b 0也有一个相同的实数根，试求a b C的值。参考答案充需活力的电达宦理f例麵求解】j 1 O 原贰 q4 -21- (ff+j?) ; I-L O阳 选H =*j晦式f 剂2为方稈F-gf=o的两Ffmg门皿上只議为m絲戌=普+ = I25Ti-JF,ft 3tlM=3tjrt-I)=+>0<Jjj7j-*0t Ji .jp0, ll0

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