天津大学概率论与数理统计ppt课件

1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 本章要处理的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的位置？ 大样本统计推断的实际根底 是什么？大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在，那么对于恣意实数 0,)()(XEXP证证 仅证延续型随机变量的情形仅证延续型随机变量的情形dxxfXP)()(dxxfx)(0)(1dxxxf)( XE 重要不等式 5.1 大数定律大数定律设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在，那么对于恣意

2、实数 0,kkXEXP)|(|)|(|设随机变量 X 的方差 D ( X )存在，那么对于恣意实数 0,2)()| )(|XDXEXP切贝雪夫切贝雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式或2)(1)| )(|XDXEXP当 2 D(X) 无实践意义,马尔可夫马尔可夫 (Markov) (Markov) 不等式不等式知某种股票每股价钱知某种股票每股价钱X X的平均值为的平均值为1 1元，元，规范差为规范差为0.10.1元，求元，求a,a,使股价超越使股价超越1+a1+a元元或低于或低于1-a1-a元的概率小于元的概率小于10%10%。解解:由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式;0

3、1. 0| 1|2aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a例例1 1 设有一大批种子，其中良种占设有一大批种子，其中良种占1/6. 1/6. 试试估计在任选的估计在任选的 6000 6000 粒种子中粒种子中, , 良种所占比良种所占比例与例与1/6 1/6 比较上下小于比较上下小于1%1%的概率的概率. .解解 设设 X 表示表示 6000 粒种子中的良种数粒种子中的良种数 ,X B (6000,1/6 )01. 0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685. 010883实践准确计算1060940XP01

4、. 0616000XP1059941600060006561kkkkC959036. 0用Poisson 分布近似计算1060940XP01. 0616000XP937934. 010599411000!1000kkke取 = 1000例例2 2 设每次实验中，事件设每次实验中，事件 A A 发生的概率为发生的概率为 0.75, 0.75, 试用试用 Chebyshev Chebyshev 不等式估计不等式估计, n , n 多大多大时时, , 才干在才干在 n n 次独立反复实验中次独立反复实验中, , 事件事件 A A 出出现的频率在现的频率在0.74 0.76 0.74 0.76 之间的

5、概率大于之间的概率大于 0.90? 0.90?解解 设设 X 表示表示 n 次独立反复实验中事件次独立反复实验中事件 A发生的次数发生的次数 , 那么那么X B(n,0.75)nXDnXE1875. 0)(,75. 0)(90. 076. 074. 0nXP要使，求 n即90. 076. 074. 0nXnP即90. 001. 0|75. 0|nnXP由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故2)01. 0(1875. 0101. 0|75. 0|nnnnXP令90. 0)01. 0(1875. 012nn解得18750n大数定律大数定律贝努里Bernoulli 大数定律设 nA

6、是 n 次独立反复实验中事件 A 发生的次数, p 是每次实验中 A 发生的概率, 那么0有0limpnnPAn或1limpnnPAn证证 引入随机变量序列引入随机变量序列Xk发生次试验第发生次试验第AkAkXk,0,1设,) 1(pXPk那么pqXDpXEkk)(,)(nXXX,21相互独立，nkkAXn1记,11nkknXnYnpqYDpYEnn)(,)(由 Chebyshev 不等式pnnPA0故0limpnnPAn)(nnYEYPnpq21)(1knkkXEnXP在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于事件 A 在一次实验中发生的概率是指：nnA频率与 p 有较大偏向pn

7、nA是小概率事件, 因此在 n 足够大时, 可以用频率近似替代 p . 这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义nnA伯努里大数定律阐明：伯努里大数定律阐明： A发生的频率 与概率p有较大偏向的能够性愈来愈小，但这并不意味着较大偏向永远不能够发生了，只是说小偏向发生的概率大，而大偏向发生的概率小，小到可以忽略不不计。mn定义定义a 是一常数，0limaYPnn(或)1limaYPnn那么称 r.v. 序列,21nYYY依概率收敛于常数 a , 记作aYnPn故pnnnPA,21nYYY是一系列 r.v.设0有假设aXPn如如意

8、思是意思是:当当aaanXaXn而而意思是意思是:0, 0n|aXnn时时,Xn落在落在),(aa内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当00,nnn0nn 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从 (0 , 1) 分布的随机变量序列Xk 的算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量 序列Chebyshev 大数定律,21nXXX相互独立，设随机变量序列(指恣意给定 n 1, 相互独立)且具有一样的数学期望和方差nXXX,21, 2 , 1,)(,)(2kXDXEkk那么0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP 如称量某一物体的分量，假设衡器不存在系统偏向，由于衡器的精度等各种要素的影响，对同一物体反复称量多次，能够得到多个不同的分量数值，但它们的算术平均值普通来说将随称量次数的添加而逐渐接近于物体的真实分量。定理的意义定理的意义当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.具有一样数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术算术均值均值数学数学期望期望近似替代可被,21nXXX相 设 r.v.序列, 2 , 1,)(iXEkki那么0有01lim1knik