第二章(1) 数学模型(微分方程)A

1、教学重点：教学重点： 控制系统微分方程、控制系统微分方程、传递函数传递函数、系统系统结构图结构图。教学难点：教学难点： 根据根据系统工作系统工作原理图绘制系统原理图绘制系统”结构图结构图”。教学内容：教学内容： 2.1 概述概述 2.2 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 2.3 传递函数传递函数 2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图 2.5 控制系统的信号流图控制系统的信号流图 2.6 控制系统的传递函数控制系统的传递函数第二章第二章 连续系统的数学模型连续系统的数学模型1、控制系统的分析、设计过程、控制系统的分析、设计过程拟定方案器件组装提出课题设计装置试验调试性能测试修改设

2、计修改方案 系统设计系统设计：根据用户对被控对象性能的要求，设计控根据用户对被控对象性能的要求，设计控制装置，使被控对象的性能指标满足用户提出的要求制装置，使被控对象的性能指标满足用户提出的要求. 系统分析系统分析：对已经存在的控制系统，分析系统的性能对已经存在的控制系统，分析系统的性能指标，作出系统性能优劣状况的判断。指标，作出系统性能优劣状况的判断。 系统分析是系统设计的基础系统分析是系统设计的基础.系统设计是系统分析的结系统设计是系统分析的结果果. 系统分析设计的对象是什么系统分析设计的对象是什么?2.1 概述概述2、什么是系统物理模型？、什么是系统物理模型？ 任何元件或系统实际上都是很

3、复杂的，在对系统进任何元件或系统实际上都是很复杂的，在对系统进行初步分析设计时行初步分析设计时,难以对它作出精确、全面的描述，必难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。例如须进行简化或理想化。例如:电阻器电阻器电阻电阻. 简化后的元件或系统为该元件或系统的简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型物理模型。 系统的简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的系统的简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。精确要求，来确定出合理的物理模型。3、什么是系统的数学模型？、什么是系统的数学模型？ 根据系统运动过程的物理根据系统运动过程的物理、 化学规律化学规律,

4、描述系统或元描述系统或元件运动规律件运动规律、特性和输入输出关系的数学表达式特性和输入输出关系的数学表达式(曲线曲线,表表格和计算机程序等格和计算机程序等),统称为系统或元件的统称为系统或元件的数学模型数学模型。为什么要对实际模型进行简化为什么要对实际模型进行简化?数学模型怎么表示数学模型怎么表示?4、控制系统数学模型的几种表示方式、控制系统数学模型的几种表示方式（微分方程）微分方程） （传递函数）（传递函数） （伯德图）（伯德图） （微分方程组）（微分方程组） 传递函数传递函数,结构图结构图,频域模型将是本门课程主要涉及的数频域模型将是本门课程主要涉及的数学模型学模型. 。如何建立实际系统的

5、数学模型如何建立实际系统的数学模型?数学模型数学模型时域模型时域模型复域模型复域模型频域模型频域模型结构图结构图状态空间状态空间5、建立系统的数学模型、建立系统的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立系统输深入了解元件及系统的动态特性，准确建立系统输入输出的关系入输出的关系(数学模型数学模型)称为称为建模建模。常用方法：常用方法： 1）机理分析）机理分析 6）图解法）图解法 2）直接相似法）直接相似法 7）隔舱法）隔舱法 3）系统辨识）系统辨识 8）蒙特卡罗）蒙特卡罗 4）定理推理）定理推理 9）量纲分析）量纲分析 5）层次分析）层次分析 10）计算机）计算机建立系统（元件）数学模型

6、常用方法：建立系统（元件）数学模型常用方法：1.分析法分析法对系统对系统（元件）（元件）各部分的运动各部分的运动”机理机理”进进 行分析，应用物理规律、化学规律找出系统输行分析，应用物理规律、化学规律找出系统输 入入/输出变量之间的数学关系。输出变量之间的数学关系。 应用：系统内部运动机理（原理）比较清楚应用：系统内部运动机理（原理）比较清楚.2.实验法实验法人为施加某种测试信号，记录系统的输人为施加某种测试信号，记录系统的输 出响应出响应.然后再根据测得的系统输入输出之间的然后再根据测得的系统输入输出之间的 关系关系,找出系统中变量之间的数学关系。找出系统中变量之间的数学关系。 应用：系统内

7、部运动机理原理不清楚。应用：系统内部运动机理原理不清楚。举例举例1. 分析法建立系统数学模型的几个步骤分析法建立系统数学模型的几个步骤：1）建立系统和元件的物理模型。）建立系统和元件的物理模型。2）列写原始方程。）列写原始方程。 利用适当的物理定律利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等电流和电压定律、能量守恒定律等.3）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。立适当的输入输出模型或状态空间模型

8、。4)对模型进行检验对模型进行检验.建立微分方程的关键是什么建立微分方程的关键是什么?举例举例2. 实验法实验法建立系统数学模型的几个步骤： 黑黑匣匣子子输输入入（已已知知）输输出出（已已知知）.已知知识和辨识目的已知知识和辨识目的.实验设计实验设计-选择实验条件选择实验条件.模型阶次模型阶次-适合于应用的适当的阶次适合于应用的适当的阶次.参数估计参数估计-最小二乘法最小二乘法.模型验证模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近. 系统最基本的数学模型是反映系统变量之间

9、系统最基本的数学模型是反映系统变量之间动态特性的动态特性的微分方程式微分方程式。 建立微分方程的步骤如下：建立微分方程的步骤如下： 将系统划分为若干环节将系统划分为若干环节,确定各个环节的输确定各个环节的输入量和输出量。入量和输出量。 从输入端开始，按信号传递的顺序，依据从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各各变量所遵循的物理变量所遵循的物理、化、化学定律，列出各个环节的学定律，列出各个环节的原始方程原始方程(线性化线性化) 。 消去中间变量，写出仅包含系统输入、输消去中间变量，写出仅包含系统输入、输出出变量的微分方程式。变量的微分方程式。建立微分方程的关键是什么建立微分方程的关键是什么?2.

10、2 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立【例例1 1】图由一图由一RCRC组成的四端无源网络。试列写以组成的四端无源网络。试列写以U Ui i（t t）为输入量，）为输入量，Uc(t)Uc(t)为输出量的微分方程。为输出量的微分方程。解：设电容两端的电压为解：设电容两端的电压为 .根据电路定理，得根据电路定理，得icuRiu cciduRCuudtdtduCic 将（将（1）代入（）代入（2），消取中间变量），消取中间变量i，得，得iuiCRcu上述问题中有上述问题中有3个变量个变量,需列出需列出2个独立方程个独立方程.由此推知由此推知,N个变量的问题应建立个变量的问题应建立N-1个独

11、立方程个独立方程cu( )1( )( )1ciUsG sUsRCs传递函数传递函数：【例例2 2】求图示求图示RLCRLC回回路的微分方程。路的微分方程。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输 入输 出解：以解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程作为中间变量，列写该回路的微分方程 消去中间变量消去中间变量 ，得，得)(),(tituL( )( )( )( )Lu tRi tuty t( )( )cdu tdy tiCCdtdtdtdiLuL22( )( )( )( )d y tdy tLCRCy tu tdtdt)(),(tituLC2( )1( )( )1Y sG sU sLCs

12、RCs传递函数传递函数：222dyLsdtd yLsdt拉氏变换拉氏变换2( )( )( )( )LCs Y sRCsY sY sU s【例3】如图所示为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的微分方程。U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2图图2 2- -1 1 R RC C组组成成的的四四端端网网络络解：解： 设回路电流为设回路电流为i1、i2，根据克希霍夫定律，根据克希霍夫定律， 列写方程如下：列写方程如下： 1111cUiRU dtiiCUc)(12111 2221ccUiRU dtiCUc2221 22cUU 由、

13、得由、得:i1U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2图图2 2- -1 1 R RC C组组成成的的四四端端网网络络2i1i1idtdUCdtdUCic22222由于 dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111将i1、i2代入、，则得 11 12 22cURiR iU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc22222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCC

14、RR这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。整理,得微分方程:【例例4 4】建立惯性环节的微分方程。其中，建立惯性环节的微分方程。其中，U1U1（t t）为输入量，为输入量，U2(t)U2(t)为输出量为输出量。2RC12 0 0 K1R1 0 0 KD /A 1A /D 11u2u0R1 0 0 K111uiR解：利用运算放大器解：利用运算放大器“虚地虚地” ” 的概念，得的概念，得2222()uduiCRdt22121duuuCdtRR由由i i1 1=i=i2 2，得，得i1i2212/( )1RRG sR Cs传递函数传递函数： 【例5】建立比例微分器（建立比例微分

15、器（PDPD）的微分方程。其中，）的微分方程。其中，U1U1（t t）为输入量，）为输入量，U2(t)U2(t)为输出量为输出量。11111uduiCRdt解：利用运算放大器解：利用运算放大器“虚地虚地” ” 的概念，得的概念，得22222()uduiCRdt22112121duuduuCCdtRdtR 由由i i1 1=i=i2 2，得，得i1i22R2C0.01100K1CD/A1A/D111R100K0R100K2121212122/( )(/)1R C sRRG sR C sRRR C s 【例例6 6】. .建立下列机械系统的微分方程建立下列机械系统的微分方程. .bfby Ku(t

16、)my(t)b( )kbu tffmakfky解：根据牛顿力学:( )dymybkyu tdt& &微分方程微分方程:bfky【例例7 7】建立建立单容水箱单容水箱的的微分方程的的微分方程。解：HVCQHR水头（高度）的变化被储存液体变化液容流量变化液面差变化液阻根据物料平衡原理，根据物料平衡原理，dt时间内水箱液体时间内水箱液体的增加，应与进水量相等：的增加，应与进水量相等：12d hqqCdt根据托里拆定理，出水量与水位高度的根据托里拆定理，出水量与水位高度的平方根成正比：平方根成正比：20hqR10dhhCqdtR非线性非线性!微分方程微分方程:10012dhhCqdth

17、 R 12dhqqCdt2hqR1d hhCqdtR 1( )1hRG sqRCs线性化线性化线性化线性化0012Rh R线性线性【例例8 8】建立建立有延迟的单容水箱有延迟的单容水箱的微分方程的微分方程。解：根据物料平衡原理，根据物料平衡原理，dt时间内时间内水箱液体的增加，应与进水量水箱液体的增加，应与进水量相等：相等：根据出水量的增量与水位高度的增量近根据出水量的增量与水位高度的增量近似成正比：似成正比：微分方程微分方程:12()( )dhqtqtCdt2hqR10()d hhCqtdtR 1( )1shRG seqRCs传递函数：传递函数：拉氏变换：拉氏变换：1( )( )( )sRC

18、s h sh sR qs e ()( )sL f tf s e/l v【例9】建立热容系统的微分方程建立热容系统的微分方程。rucicq0qRC，热阻箱体热容解：根据热容定义和热平衡方程，解：根据热容定义和热平衡方程， dt时间内加给热炉的热量应时间内加给热炉的热量应 与其炉内温度的上升所需热量与其炉内温度的上升所需热量 平衡。平衡。dtqqCdcc)(0Rqic0热炉向外散出的热量与炉内外温差成正比：热炉向外散出的热量与炉内外温差成正比：微分方程：微分方程：irccrRudtdRC2ruqrc2电炉丝通电发出的热量为：电炉丝通电发出的热量为：【例10】建立无自恒水箱的微分方程建立无自恒水箱的

19、微分方程。解：由于输出流量解：由于输出流量q2为定值，因此为定值，因此 水箱水位高度的变化与输入流水箱水位高度的变化与输入流 量成正比量成正比 1d hCqdt1( )G sCs传递函数：传递函数：积分环节积分环节【例例1111】建立建立电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程 图图2-3 所示为电枢控制直流所示为电枢控制直流电动机的电动机的原理图。原理图。要求要求以以电枢电枢电压电压Ua(t)（v）为输入量，电）为输入量，电动机转速动机转速m（t）（）（rad/s）为输出量，列写微分方程。为输出量，列写微分方程。 图中图中Ra()、La(H)分别是分别是电枢电路的电阻和电感，

20、电枢电路的电阻和电感，Mc是是折合到电动机轴上的总负载转折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。距。激磁磁通为常值。图图2 2- -3 3 电电枢枢控控制制直直流流电电动动机机原原理理图图S SM M负载- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a激磁磁通激磁磁通输入输入输出输出例例1212、电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程 解：解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能的电能转换为机械能. .也就是由输入的电枢电压也就是由输入的电

21、枢电压U Ua a(t)(t)在电枢回路中产生在电枢回路中产生电枢电流电枢电流i ia a(t)(t)，再由电流再由电流i ia a（t t）与）与激磁磁通相互作用产生激磁磁通相互作用产生电磁转距电磁转距M Mm m(t)(t)，从从而拖动负载运动。而拖动负载运动。即：即：电压电压电流电流转距转距 因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成组成: : 1 1）电枢回路电压平衡方程）电枢回路电压平衡方程; ; 2 2）电磁转矩方程）电磁转矩方程; ; 3 3）电动机轴上的转矩平衡方程）电动机轴上的转矩平衡方程. .1）电枢回路电压平衡方程）电枢回路电压平

22、衡方程：Eb是电枢反电势，它是当电枢旋转是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即相反，即 Eb=Cem（t） Ce反电势系数反电势系数（v/rad/s）( )( )( )aaaa abdi tUtLR i tEdt图图 2 2- -3 3 电电 枢枢 控控 制制 直直 流流 电电 动动 机机 原原 理理 图图S SM M负载- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a由电枢电压由电枢电压Ua

23、(t)在电枢回路在电枢回路中产生电枢电流中产生电枢电流ia(t)2）电磁转距方程：）电磁转距方程：-电动机电动机转矩系数转矩系数 （Nm/A） -由电枢电流产生的由电枢电流产生的电磁转矩电磁转矩（Nm）3)电动机轴上的转矩平衡方程电动机轴上的转矩平衡方程： Jm转动惯量转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgm fm-粘性摩擦系数粘性摩擦系数(电动机和负载折合到电动机轴上的电动机和负载折合到电动机轴上的)（Nm/rad/s）)()(tiCtMamm( )( )( )mmmmmdtJftMtdt mC)(tMm图图 2 2- -3 3 电电 枢枢 控控

24、制制 直直 流流 电电 动动 机机 原原 理理 图图S SM M负载- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a电流电流ia（t）与激磁磁通相互）与激磁磁通相互作用产生电磁转距作用产生电磁转距Mm(t)，由电磁转距由电磁转距Mm(t)拖动负载运动，拖动负载运动，、求出求出ia(t)，代入，代入同时同时亦代入亦代入得：得：2( )( )()()( )( )mmamamamammemmadtdtL JL fR JR fC CtC Utdtdt微分方程微分方程:这是一个线性二阶微分方程这是一个线性二阶微分方程.不同系统的

25、微分方程的形式有什么相同之处不同系统的微分方程的形式有什么相同之处?简化简化2）:如果电枢电阻如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时都很小而忽略不计时 还可进一步简化为还可进一步简化为( )mt()aU t)()(tUtCame电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。简化简化1）:在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常较小，通常忽略不计，因而忽略不计，因而可简化为：可简化为：( )( )( )mmmmadtTtK UtdtemmamamCCfRJRTemmaCCRafRK2mmammeCKR f

26、C C电动机机电时间常数（s） 一.傅里叶变换: 如果定义在 上的函数 满足条件; 1) 在任一区间满足荻利克雷条件; a)除去有限个第一类间断点外,处处连续; b)分段单调,单调区间的个数有限; 2) 绝对可积:则称表达式为傅里叶变换.( ) t(,) ( ) t( ) t dt ( ) t1( )( )j tFt edt 拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换的问题1)绝对可积的条件太强;2)要求在 上有意义较难;改造傅里叶变换1)用 乘以 可以使 绝对可积;2)用 乘以 可以使区间变为 ;(0)te0,)(,) ( ) t( ) t( )u t( ) t二.拉普拉斯变换,( )( ) ( )

27、sjf tt u t()00()( ) ( )( )( )tjtjtstFt u t eedtf t edtf t edt11( )()( )sFFF sj其中,而所以0( )( )stF sf t edt( ) ( )F sL f t1( )( )j tFt edt拉普拉斯变换简单即为：拉氏变换定义：拉氏变换定义： 设函数f(t)满足: t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理n线性定理 n位移定理 dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()( 原函数原函数f(t) f(t) 拉氏变换拉氏变换F(t)F(t) 1 1(t

28、) kTse21s( ) t()tkTt1s1saatesintcost22ss22s拉氏变换拉氏变换表表三.拉普拉斯变换的性质:设设1.1.线性性质线性性质: :2.2.微分性质微分性质: :3.3.积分性质积分性质: :4.4.位移性质位移性质: :5.5.延迟定理延迟定理 6.6.终值定理终值定理1212( )( )( )( )Laf tbfta L f tb L ft ( )( )(0)L f tsF sf01( )( )tLfdF ss1122()( ),()( )L f tF sL f tF s ()( )(0)(0)L f tsF ssff&)()(asFtfeLat)(

29、)(sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst ( )( )L f tsF s& ()( )L f tsF s& &零初始条件：四四.拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换F(s)F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式： a. F(s)F(s)中具有不同的极点时，可展开为中具有不同的极点时，可展开为 )()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)(kpskkpssAsBa)()()(1( )( ),02jstjf tF s e dstj 查表求得f(t)ka可以采用待定系数法，或留数法确定

30、。可以采用待定系数法，或留数法确定。定义：定义：b.F(s)b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为含有共扼复数极点时，可展开为: : nnpsapsapspsasasF 332121)()(11)()()(2121pspspspssAsBasac.F(s)c.F(s)含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为: : )()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)()()(1psrrpssAsBb111)()()(psrrpssAsBdsdb11)()()(!1psrjjjrpssAsBdsdjb1)()()()!1(11111psrrr

31、pssAsBdsdrb其余各极点的留数确定方法与上同。例例1.1.求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。 11( )()aF ss s ass a 解得，解得，a=1/2,b=-1,c=1/2a=1/2,b=-1,c=1/21( )(1)(2)F ss ss( )()aF ss s a解：解：( ) 1atf te 查表：查表：例例2.2.求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。 21()(32)2( )(1)(2)12(1)(2)abcabc sabc saF ss ssssss ss解解：查表：查表：211( )22ttf tee例例1.1.求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。 222( )(2)nn

32、nF ss ss解：解：查表：查表：222222222222222222222221( )(2)222112()()()(1)1()(1)()(1)11()(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsF ss sssssssssssssssssss 2222()(1)nns222222( )1 cos(1)sin(1)1111sin(1tan)1nnnttnntnf tt et eetarc 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或切线法或小偏差法小偏差法。在一个小范围内，将非线性。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替特性用

33、一段直线来代替 一个变量的非线性函数一个变量的非线性函数 y=f(x)y=f(x)在在x x0 0处连续可处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开：微，则可将它在该点附件用台劳级数展开： 200 000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxfy增量较小时略去其高次幂项，则有增量较小时略去其高次幂项，则有 )()()(0000 xxxfxfxfyy则则 y=kx k k比例系数，函数在比例系数，函数在x x0 0点切线的斜率点切线的斜率。2.2.2非线性微分方程的线性化00()yf x 两个变量的非线性函数两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)y=f(x1,x2)，同样可在某工作点

34、，同样可在某工作点（x10,x20 x10,x20）附近用台劳级数展开为）附近用台劳级数展开为： )201(2)20,10()20)(10(21)20,10(2)101(1)20,10(! 21)202(2)20,10()101(1)20,10()20,10() 2, 1(222222xxxxxfxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfy略去二级以上导数项，并令略去二级以上导数项，并令yyy-f(x10,x20y-f(x10,x20) 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏小偏差点差点”。 20221011xxxxxx2211222010112010),(),(xKxKxxxxfxxxxfy例例1 将非线性方程将非线性方程 线性化。线性化。解：解：1）写出增量方程）写出增量方程10QRHdtdHC110000)(QQ